Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 76
Текст из файла (страница 76)
а а а Из чертежа же имеем непосредственно: Ь-с-соса=а соку, с-Ь сова=а сокр, Ьс з(па=а Ьа, где Ьс есть высота треугольника, опущенная из вершины А. Таким образом оказывается, что ба=соку ЬЬ+созР.дс+Ьа Ьа; по этой формуле легко судить о влиянии на да отдельиь|х погпешносгсй ЬЬ, дс, да. Определяя по нашей формуле Ьа, положим в ней дк нужно выразить в радианах, а один радиан = 206265"). Мы получим 12" ЬЬ=0,05, а да= „(ведь 206265" 60" 60.360 равен именно 2л 399 1871 Ь 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 187. Однородные функции.
Как известно, однородными много- членами называются многочлены, состоящие из членов одного и того же измерения. Например, выражение З -~ у+5у есть однородный многочлен второй степени. Если умножить здесь х и у на некоторый множитель б то весь многочлен приобретет мно- житель з во второй степени. Подобное обстоятельство имеет место для любого однородного многочлена. Однако и функции'более сложной природы могут обладать таким же свойством; если взять, например, выражение 1А'+У' х х. — ° !и —, х — у у' то и оно приобретает множитель зз при умножении обоих аргумен- тов х и у на й уподобляясь в этом отношении однородному много- члену второй степени. Подобную функцию естественно также назвать одно родной функцией второй степени.
Дадим общее определение: Функиия у(х„, ..., х ) от п аргументов, определенная в области ф, называется однородной функцией т-й сгп еле ни, если при умножении всех ее аргументов на множитель г функция приобре- тает этот же множитель в т-й степени, т. е. если тождественно вы- полняется равенспю 1'(Гх„..., зх„) =1" Г(х„..., х„). (19) Для простоты мы ограничимся предположением, что х„..., х„ и з здесь принимают лишь положительные значения. Обласп й, в которой мы рассматриваем функцию у', вместе с любой своей точ- кой М(х„..., х„) предполагается содержащей и все точки вида М,(зх„..., Зх ) при 1 О, т. е. весь луч, исходящий из начальной точки и проходящий через точку М.
Степень однородности т может быть любым вещественным числом; так, например, функция х х х в)п — +у савв У У является однородной функцией степени л от аргументов х и у. Постараемся теперь получить общее выражение однородной функции степени т. Пусть сперва Ях„..., х„) есть однородная функция ну л е в о й степени; тогда У(гхт, Зхз, ..., Зхь) — 1(хз хе э ° ° ° хп).
1 Положив з = —, получим х,' Л.„;, ..)=Х(1,'— „', ...," — „"1. х! Хи ! гл. у. Функции нескольких пеРеменных 1188 Если ввести функцию от и — 1 аргументов: Ю(пс,,и -г)=У(1. 1«з.. -), то окажется, что [х« бп] )(Хз~Хя, ...,хп) =97 (х, ' ' ' ' хс) Итак, всякая однородная функция нулевой степени представляется в виде функции отношений всех аргументов к одному из них. Обратное, очевидно, также верно, так что предшествующее равенство дает общее выражение однородной функции нулевой степени. Если Ях„х„..., хп) есть однородная функция и-Й степени (н только в этом случае), отношение ее к х, будет однородной функцией нулевой степени, так что Ях,, х„..., х ) ['х«хп'1 хт [хг хс/ Таким образом, мы получаем общий вид однородной функции степени вк Пример: х у у — — 1 Х 188.
Формула Эйлера. Предположим теперь, что однородная (степени зп) функция у(х, у, г) *) имеет в (открытой) области р]) непрерывные частные производные по всем аргументам. Фиксируя по произволу точку (хо, уо, хо) из ~), в силу основного тождества (19), будем иметь для любого 1 О: Лух„гу„)го) =1 Ях„уо«ко). Продифференцируем теперь это равенство по 1: левую часть равенства — по правилу дифференцирования сложной функции «о), правую — просто как степенную функцию. Получим .Ух()хо* гуо "о) 'оо 'У«(1хо 1уо )то) Уоч У'«(гхо гдо тле) Яо= =л)1 -'Яхо, у„о).
") Лишь для упрошения письма мы ограничияаемся здесь случаем трех переменных. «') Именно для того, чтобы иметь право применить зто правило, мы и предположили непрерывность частных производных [181]. 1881 401 о а лоонзводньгв и днееаевнциолы Если положить здесы= 1, то придем к следующей формуле: .(~(хо Уо хо)'ха Яхо Уо го)'Уо ьЛ(ха Уо зо) хо=т Х(хо Уо хо) Таким образом, для любой точки (х, у, к) имеет место равенство 1'„'(х, у. к) х ' 1;;(х, у, х) у '. Ях, у, г) г == т.Ях, у, г).
(20) Это равенство носит название формулы Э й л ер а (1.. Ен!ег). Мы видели, что этому равенству удовлепюряет любая однородная функция степени т, имеющая непрерывные частные производные. Покажем теперь, что и обратно — каждая функция, непрерывная вмесге со своими частными производными и удовлетворяющая равенству Э й л е р а (20), необходимо является однородной функцией степени т.
Действительно, пусть у'(х,у, г) будет такой функцией. Фиксируя по произволу значения хо, у,, хо„рассмотрим следующую функцию от г(прн г 0): у(г) = — '- —" у(гхо гро гео) г)о Она определена и непрерывна при всех г -О. Вычислив ее производную 9'(г) по правилу дифференцирования дроби, получим также дробь, числитель которой равен К(гхо гуо гхо)'хо+ Ыхо гуо гго)'Уо+ ьЯгхо, Гуо Гхо)'хо)'Г т.Г(Гхо гУ,,Гхо), Заменив в формуле Эйлера (20) х,у, г на гхо, гуо, гх,, видим, что этот числитель обращается в нуль, так что 9'(г) =0 н у(г) = с = сопке (при г 0).
Чтобы определить постоянную с, положим с = 1 в равенстве„ определяющем у(г). Получим что с=Лхо Уо ко)- Итак, 9'(г) = от ' =.г(хо уо хо) багха гхоз ыо) или Лгх., гу, гхо) =г .1(хо, Уо хо), ч. и тр. д. Можно сказать, что формула Эйлера в такой же мере характеризует однородную функцию степени т, как и основное равенство (19). 26 Г. Ы. Фи:пьаооььо. о ! 402 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 4. Производные и дифференциалы высших порядков 1189 189.
Провзводвые высшвх порядков. Если функция Н=Лх, у, к) *) имеет в некоторой (открытой) области р1) частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь фушщией от х, у, я, может в свою очередь в некоторой точке (х, у, г ) иметь частные производные по той же или по любой другой йеремевной. Для исходной функции Н=Дх,у,г) зти последние производные будут частными производными в т о р о г о п о р я д к а (или в т о р ы м и частными производными). Если первая производная была взята, например, по х, то ее производные по х, у, х обозначаются так: Э и ау (ха, у, к) ааи Э у(х, у, г) э = аз ' эхЬ= ахЬ аа.
аЛ „,«„а,) э:а = ахэ йаа=уааФо~Уо~хо)а их«=у«ау(хо Уо га) Ци =Уха(хо Уоа хо) *). Аналогичным образом определяются производные З-го, 4-го и т. д. порядков (третьи, четвертые, ... производные). Общее определение частной производной п-го п о р я д к а может быть дано индуктивно. Заметим, что частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, напрвмер, э' а' э'и а 1«' Ьах а Ьа" "' называется смешанной частной производной.
Примеры. 1) Пусп» и-хауааа; тогда; «) Мы и здесь для простоты письма ограничиваемся случаен функции от трех переменных. *а) Разумеется, дифференциальные обозначения следует рассматривать как цельные символы. Квадрат Эх' в знаменателе заменяет условно дх ох и указывает иа дифференцирование д в а жд ы по х; точно так ие значок ха внизу заменяет хх.
Это нужно иметь в виду и дальапе. и,', = 4хауааа, иу Зхауааа, иа 2хауах, иауа 24хауах, иуаа 36хауааа иму 24х~Уих, иау 12хауааа, и ух 12хоуааа, ий 8хауаг, ихуаа 72Х Уаа, ач и и уа, аз 4"„,и-т зуда. х 2) Мы имели уже (1с)) частные производные для функции и агссй —: у д у д х дх= м~-" ду ."+)*' вычислим теперь дальнейшие производные: ди д х 2х.г (х'+у')' х'-у' (хе 9 уз)' хе ЗВ (хе+уз)з 2ху (хзвза)з дзи д с 2. .'ду д ( ('+з бху'-2хч д )з) (хе+уз)з дзи д ~ х'-ус ) бхуе-2хэ ду дли дх ((хе+уз)з.) (хе+У')з н т.
д. 1 3) Длл функции и= (х'+у'+с') * имеем последовательно: )схг+у'+г' ди — = — х (хсЧ-уз+хе) з дх дти — Зх'(хз-~-уз+хе) '-(х'+у'+х') '; д* д'и д'и аналогичные выражения получим и для —, —. Сложив их, убедимся, что функду д ция и удовлепюряет уравнению д'и д'и деи — ч- — + — = О. дх' дуз дг* 4) Пусть у=у(х+ас)+(с(х — ас), где а=салаг, ау(и),(г(и) — две про из в о л ь- н ы е функции, имеющие первую и вторую производные.
Поыиатгч что у удовлетдсу д'у воряет уравнеивю — а' —, иаковы бы ни были фукнции с'и (с. дс д"' Пользуясь пранилом дифференцирования сложной функции находим ч)с ду д гу — = С'(х+ас)+р(х-ас), — = С'"(хч-ас) < еи(х-ас), дх дх' ду — = С'(х; ас) азсу(х- ас). (- а), дс дзу „„д'у — =Г'(х+ас) а'99"(х-ас).(-а)*=а' —, ч. н тр. д.
дс д.е' ' *) Штрихи в обозначениях у', р', ... означают произнодные по аргументу и функций С(и), й(и). 189) 1 а пгоизводнын и диоонвннциалы высших погядкоз,вз 1190 гл. ю оункции нескольких пканмннных з1 Доказать, что выраиение где р н р означают л р о и з в о л ь н ы е функции (нмеюпще первую и вторую производные), удовлетворлет уравнению Озк лех лет хе. — ь 2ху — Ь уз — = О. 'Охе ' ах ау 'буй Имеем: умножал последние три производные, соответственно, на х', 2ху, р' н складывал, действительно получаем О. 190.
Теорема о смешаияых производных. Нрн рассмотрении примеров 1) и 2) бросается в глаза совпадение смешанных производньгх, взятых по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Нужно сразу же отметить, что это вовсе не вытекает с необходимостью из определения смешанных производных, так что существуют случаи, когда упомянутого совпадения нет. Длл примера рассмотрим функцию хз-уе у(х, у)-ху — (прн х'+у' О), у(0, 0)-0. х'+у' гхз — уе 4х'уз ~„'(х, у) у ~ — + 1 (при хе+уз 0), х'+уз (х'-Ьу')'1 у((о, о)=о.
Придав х часпюе значение, равное нулю„будем иметь при любом у (в том числе и прн у - 0): У„'(О, у) = — у. Проднффереипировав зту фующню по у, получим Я(0, у) — 1. Отсюда следует, в часпюсти, что в точке (О, 0) будем иметь УЬ(0 0) Вычислив таким ие образом у"увх в точке (О, 0), получим УУ„(О, О)-1. Итак, длл рассматрннаемой функции у"ЯО, 0) нуЯО, 0). Тем не менее, подмеченное на примерах совпадение смешанных производных, отличающихся лишь порядком дифференцирований, не г901 5 4. шоизводные и диеегввнцихлы высших погядков 405 случайно: оно имеет место в широком классе случаев — при соблюдении определенных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
