Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Вот как выглядят первые три ее члена даже для функпии лишь двух переменных: Лхо+ Ах. уо+ Ау) -У(хо уо) = -К(хо,уо) Ах~-уу(хо,уо) Ау)Р -» —;()о'(хо,уо) '1~'Ч 2Ууу(хо Уо) АХАУ4уу:(хо Уо) 4УЧ-~- + —, (!'"(хо, уо) . Ахз -» ЗЯ(хо, у«,) Ах'Ау+ + 31","(х„уо) АхАУ'+У '"(хо уо) "Ауа] + Формула (9) имеет место и при п=0; этот частный случай мы уже рассматривали в 183. 1961 ь ь экстРемумы, нАиБОльшие и нАименыяие знАчения 417 я 5.
Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 196. Экстремумы функции иесколькик перемеинык. Необходимые условия. Пусть функция И=ДХ„ХБ, ...,х„) определена в области Ви(х,', хь, ..., хь) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что фу!!куин дхг, х„..., х,) в точке (хв, хь„...
„хь) имеет максимум (мин им ум), если еемоэк77оокруэкить такойокрестностью (АВ5-дг АЗ~-дг ХБ-дг хэ-~-д; ";хи-дг ти-~-д), чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство )(х„хэ..... х„)~(хв7, хвь,..., хь). (- ) Если эту окрестность можно взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключен, т. е. чтобы в каждой точке ее, кроме самой точки (х7ь, х'„..., хь), выполнялось строгое неравенство Лхь, хь, ..., хи) «7 (хв5, хз, ..., х„), ( ) то говорят,чтов точке (хь, хь,..., хв) имеетместо собственный максимум (минимум); в противном случае, максимум (минимум) называется несобственным.
Для обозначения максимума н минимума употребляется и общий термин — э к с т р е м у м. Предположим, что наша функция в некоторой точке (хвд, хвь, ..., хь) имеет экстремум. Покажем, что е с л и в этой точке существуют (конечные) частные производные: 7'„'(хв ... Хь),...,Д )х7Б,... хь) то все эти частные производные равны нулю, так что обраи1ение в нуль частных производных первого порядки является необходимым условием существования экстремума. С этой целью положим х,=4, ..., х„=хь, сохраняя х, переменным; тогда у нас получится функция от одной переменной х,: и=Дх„хы..., Ап). так как мы предположили, что в точке (х,', хвь, ...,хь) существует экстремум (для определенности — пусть это будет максимум), то, 57 Г. М. Фиитиигоиии.
т. ! 41ь [196 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (хе-б, хге+ д) точки х, =хге необходимо должно выполняться неравенство ЛХ1» Х2 . » Хп) ~ЛХ1, Хв, ..., Хй)» так что упомянутая выше функция о д н о й переменной в точке х, =хо будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ф е р м а (109) следует, что Яххо, хае, ..., хе) = О.
Таким же образом можно показать,чтов точке (х,', хе, ..., х'„) и остальные частные производные также равны нулю. Итак, «нодозрительнымиь по экстремуму являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль; их координаты можно найти, решив систему уравнений *) ['„',(хг, х,..., х„) =О, .['»1(Х1, Х„, Хп) = О, .»»(.г1 х'2 .»х»)=О. Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называют стационарными. 3 а м е ч а н и я.
1. Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать еще так: 4'(х„х„..., х„) =О, так как, еслибы,=['„',=... =у'„'в=-О, то, каковы бы ни были «]хг, 1[х, ..., «]х„, всегда с»)(х1» х2»» хп)=ги'е[хг+у» 'г«ха-» ° .. -~-.гх '«»хо=О. И обратно: если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности 1гх„«]х„..., »гх„производные Д„Д„...,Я„порознь равны нулю. 11. Обычно рассматриваемая функция Дх„х„..., х,) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди с т ационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные рав- ') ддл случая функпии д и у к переменных 2-1"[х, у) — в предположении ее дафференпируемосги — условна ух[к, у) О, ау[к.
у)=0 допускают простое геометрическое толкование: касательная плоскость [см. 180 [6)] к поеерхпости 2 л[х, у) е ее точке, овмс«амтел экстремуму, долл«па быть л арал лелька плоскости ху. 197) О Е ЭКСГРЕМУМЬЬ НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ОЩ ны 0). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными точками (см. ниже: 201, 6)1 197. Достаточные условия (случай функпии двух переменных).
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Если для примера взять простую функцию г=ху, то для нее г„'=-у и г' =х обращаются одновременно в 0 в единственной — начальной точке (О, 0), в которой к =О. В то же время непосредственно ясно, что в любой окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, и экстремума нет. На рис. 92 изображена поверхность (гиперболический параболоцд), выражаемая уравнением г=ху; вблизи начальной точки она имеет седл о образную форму, изгибаясь в одной вертикальной плоскости вверх, а в другой — вниз. Таким образом, встает вопрос об условиях, д о с т а т о ч н ы х для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследовании, которому эта точка дол»кна быть дополнительно подвергнута.
Мы рассмотрим сначала случай функции двух переменных у(х, у). Предположим, что эта функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окреспюсти некоторой точки (х, уо)„ которал являетсястационарной, т. е. удовлетворяет условиям Ух(хо»уо)=0» Л(хо Уо)=0. (1а) Чтобы усгановить, действительно ли наша функция имеет в точке (хо, у,) экстремум или нет, естественно обратиться к рассмотрению разности «» = Ях, у) — Яхо, уо).
Разложим ее по формуле Тейлора [195), ограничиваясь двумя членами. Впрочем, так как точка (х„у,) предположена стационарной, то первый член исчезает, и мы будем иметь просто 1=«Ю '5)АЗ+2«У' 1 'Ф».У»' У)' При этом роль приращений «»х, г»у играют разности х-хо, у-уо и производные все вычислены в некоторой точке (х -»ОАх, у -»0«)у) (0«0 1). Введем в рассмотрение значения этих производных в самой испытуемой точке: ««и =А"(хо» Уо)~ а»« =Уху(хо Уо)» «»м =Л (хо Уо) и положим Х„':(хо+05)х, у, 505)у) =аич о«п, Х„"г(...)=а, +х»о, 1».(...)= + вгс ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1197 так что, ввнду непрерывности вторых производных, все а 0 при Ах О, Ау О.
(4) Разность А напишется в виде: А = - (а Ах ~ 2а, 4хАу > амАу' 1 КИАхв 1 2и»«АХАу -1 ииАу~). Как мы установим, поведение разности А существенно зависит от знака выражения анавв — агвв. Для облегчении рассужде- У ний введем «полярные коорди- наты», взяв за полюс исходную У точку (х, у») и проведя через Р 11У нее полярную ось параллельно 'т" оси х (рис.
105). Пусть с =- ок =)Ах»+ Ау' есть расстояние между токами (х„у,) и (х, у), а р означает угол, составленный 0 г соединяющим их отрезком с по- лярной осью, так что Рас. 105. Ау = 0 вге т. Ах=усов~р, Тогда интересующая нас разность А напишется так: Д» А = — (ан сов» р «2а, сов р в[п р Ф а в[п' р 2 + ан сов'у-» 2а»в совр ып в»-> а»в в)п'у). 1' Пусть, сначала, анаи - а~~в О. В этом случае ана»О, так что ан~О, и п е р в ы й трехчлен в скобках (...) может быть представлен в виде: (5) — [(аи сов~р+аив»п р)в «(ана»в-ав»в) в[п'ф. и Отсюда ясно, что выражение в скобках [...) всегда положительно, так что упомянутый трехчлен при всех значениях у, не обращаясь в нуль, сохраняет знак коэффиц и е н та ан.
Его абсолютная величина, кек непрерывная в промежутке [О, 2««) функция от в», имеет (очевидно, поло житель но е) наименьшее значение т [85]: ~ан сов«(»Ф2а, сов рып9»ч а в[Ив р~=-т О. С другой стороны, если обратиться ко в т о р о м у трехчлену в скобках (...), то, ввиду (4), [ан сов» Р «2сс»в сов У в)п в» ч ам в[Ив е»[ ~ )а»» ~ ~-2(а»«( -» [ки ! т 1971 1' 5. экстнемумь3. нАиБОльшие и нАименьшис знАчения 421 сразу для всех у, если только о (а с ним и л)х, лду) достаточно мало.
Но тогда все выражение в скобхах (...), а значит и разность А, будет сохранять тот же знак, что и первый из трехчленов, т. е. знак аи. Итак, если аи=.О, то и «5 О, т. е. функция в рассматриваемой точке (х„у,) имеет минимум, а при аи О будет и «5. О, т. е. налицо м а к с и м у м. 2' Предположим теперь, что ад»ада-адан О. Остановимся на случае, когда аи м О, тогда можно и здесь использовать преобразование (5).
При 9»=9»»=О выражение в скобках (...) будет положительно, ибо сведется к а,',. Наоборот, если определить 9»=9»к из УсловиЯ ан соа Рв-~ адз Яп 9»з=О (ЯЕ9,мО), то это выражение сведется к (аддин-авда)адп'9»а и будет отрипательно. При достаточно малом 1» второй трехчлен в скобках (...) как при ц»=9»„так и при у=9»„будет сколь угодно мал, и знак лд определится знаком перво го трехчлена. Таким образом, в любой близости от рассматриваемой точки (х,у ) — на лучах, определяемых углами 9»=9»д и 9»=9»е, разность л) будет иметь значения противоположных знаков. Следовательно, в этой точке экстремума быть не может. Если он=О, и первый трехчлен в скобках (...) сведется к 2адесоац япц»->а Бдп'9»=а>ну (2аисоз~у-ьаияпц»), то, пользУЯсь тем, что навеРное а, »«О, можно опРеделить Угол 9»5ыО так, что (а )(ыл9»д! 2~ада( ° (созцд!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
