Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 83
Текст из файла (страница 83)
5!П х «) Это обстоятельство следует из того, что функция — — монотонно убывает 5 при возрастании г от 0 до т [см. 1ЗЗ, !]. 201] ! А зкстньмумы, ИАииольшиь и нАимвньшин знлчения 437 Очевидно, достаточно ограничиться расслютрением одного из проводов, скажем ААп, так как другой провод находится в совершенно аналогичных условиях. Обозначим через 1„1„..., 1п длины частей ААо А,А„..., Ап,АЛ (в м), через Ч„ чл ° ° чл — площади нх поперечных сечений (в лглгл). тогда выражение и! = 15Чл 4.
1545 4" ° + !пол как раз и представит объем всей затраченной меди (в смл); для него нам нужно добиться наименьшей величины, принимая во внимание, что общее падение по- тенциала в проводе ААл должно равняться е. Рис. 110. Легко подсчнтать, какие токи Х„йм ..., зл будут протекать в отрезках ААН А,Ал, ° ., Ал 5АЛ цепи: Х,=(л+154-. +1л, Ул-15-~ ° 4-1л ..
Хл=-(л. Если обозначить через Ч сопротивление лгедной проволоки длшюй в 1 м и с сече- нием в 1 мм*, то сопротивления этих отрезков будут Ч1, Е1е Ч1„ 1 2 г1! Ч! Чл так что соответствующие падения потенциала в этих отрезках, согласно закону О ма, выразятся так: Чтобы избежать сложных выклаЦок, мы, вместо пеРеменных Ч„Че, ..., Чл, введем именно эти величины е„ее, ..., ел, связанные простым условием е,+е,+...чеп=глеп=-е, откУда ел=е — ег-ез —...-ел Тогда, в свою очередь, Ч)лУг Ч15Уе Ч)луп Ч(ЛХп е, " е, ел е — е,— е,—...— ел Р5У! 1й -5Уп — ! 1ллУп и=р, ...+ + е! ел-1 е-е1- . -еп-! причем область изменения не зависимых переменных е„е.„..,, еп ! опре. делается неравенствалш Е, О, Е, О,, Гл ! О, Е,ЧЕз~н.
° +Гл ! Е (открытый симплекс), Е1,А, е, = ггуг= —, Ч! Ч)л гз Ч(п гп ел=-глул== * °, Ел=глуп= —— Чл Чл 438 ГЛ, У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (201 Приравинваиия нулю производные и по всем переменным, получим систему уравнений 1эуэ 1,'Х, Π— + еэ| (е-ег —...-ел,)э 12 Хэ Π— — + е, '(е-е| —... — ел |)' 1„*Х„ =О + е„', (е-е,—...-ел-|)' откуда (снова вводя ел) р|Х1 1|Х2 1,'Хл еэ еэ е' 1 э 1 Удобно обозначить общую величину всех этих отношений через — (Л О).
Тогда Лг е,= Л),Я, е,= Л1,11Х|, ..., ел = Л)л~/Хэ ° причем Л легко определяется из условия е,+е,-~... +ел = е: 1, Д + 1г )|Хе+ ° . ° +1| 11Хл Так как, при приближении точки (ео еэ, ..., ел,) к гравице области, и растет до бесконечности, то найденные значения ео ен ..., ел, (е„) действительно доставляк|т функции и наименьшее значение. НаКОНЕЦ,ВСЗВРашаЯСЬ К НаШИМ ОСНОВНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ дь Еэ ..., дэ, ИаХОДИМ 0 Е 9| = — ) Хз Еэ — )|Хэ, " Ол = — 11Хл, Я " Л ' ' Л так что наивыгоднейшие сечения проводов оказываются пропорциональными корням квадратным из соответствующих сил тока. 9) Метод наименьших квадратов.
Так называетсяочень распространенный метод обработки наблюдений, суть которого заключается в следующем. Пусть требуется определить значения трех *) величин х, у, э, если для них усзановлено л 3 линейных уравнений а|х+Ь!уЧ-с|г-|(| (1=1, 2, ..., л), ~а, Ь, с, ,'а, Ь„с,,р, ~ оэ Ьа сз (14) *) Мы ограничиваемся тремя величинами лишь для простоты письма. причем некоторые из коэффициентов аы Ьг.
с|, |(| получены опытным путем и нзлестны лишь по приближению. При этом мы предположим, что хоть какие-нибудь три из этих уравнений имеют определитель, отличный от нуля: например, пусть 20ц е 5. зкстуеыумы, нАЯБОльшие и нлименьшие знАченил 439 Однако вычислеывые из первых трех уравнений значении х, у, г, вообще говоря, не будут точно удовлетворять остальным (либо ввиду неизбежыых погрешностей в коэффициентах уравнений, либо вследствие того, что сами равенства оказываются лишь приближенными). Не имея оснований предпочесть одни уравнения другим и считаясь с неизбежностью погрешностей д, а|х+ Ь|у Е с|г — |(|, какие бы ыи брать значения х, у, г, стараются достичь лишь того, чтобы с у м м а к в адр атон этих погрешностей И'- х~ Ь) = 2 (а|х+Ь!у-~-с|г- (!)г |=1 |1 была н а и меньшей (отсюда и название метода).
Иными словами, ыаилучше согласующимися с результатами опыта считаются те значения х, у, г, которые достаашпот наименьшую неличнну функцыи И'= И'(х, у, г). По общему правилу, чтобы найти эти значения, приравниваем нулю производные от И' ло х, у, г: 2 х,,а|4а!х-ЕЬ|у+с!г-|(!) = О, ! 1 ч 2 ХЬ!(а|к+ Ь!уч-с|г- ад О. |=1 2 ~с|(а!х-~-Ь!у+с|к — |(!) = О. Г а у с с (С.
г. Оапек) ввел другие обозначсния сумм однотипных слагаемых, разнящихся лишь указателями; именно, он пншег [аа] вместо а,а!', [аЬ] вместо ~а!Ь! и т. и. |-1 ,=1' В обозначениях Г а у с с а полученные для определеыня значений х, у, г уравнения перепишутся так: [аа]х+ [аЬ]у+ [ас)г = [аг(], [Ьа)х+ [ЬЬ]У+ [Ьс)г = [Ь!(], [са]х+ [сЬ]у+ [сс)г = [с|(]; их называют но рм а льны м и уравыениями. Для того чтобы быть уверевными, что этими уравнениями однозначно определятсн зыачения х, у, г, нужно установить, что определитель системы отличен от нуля. Но по известной теореме алгебры, квадрат этого определителя представляется в виде [аа) [аЬ] [ас] а; Ь с| [Ьа) [ЬЬ) [Ь ] = ~ а! Ь( с, [са) [сЬ] [сс) !' Ь !! ае Ьа са гл.
ж оункцнн нескОльких пеРеменных 12о1 причем суммирование распространяется на всевозможные с о ч е т а и и я (Ь у, й) нз л значков 1, 2, ..., л по три. Так как из всех определителей справа, по нашему предположению, хоть один отличен от нуля, то отсюда и следует, что определитель слева также не нуль.
Остается еще убедиться в том, что определяемые из нормальных уравнений значения переменных действительно доставляют фующин И" наименьшее значенне. Для этого достаточно, например, установить, что вне сферы достаточно большого радиуса И' будет сколь угодно велико. С этой целью рассмотрим значения первых трех скобок в выражении И' а,к+ЬЬРЧ-С,Х-Ыэ-им аэк+ЬэУ+Сээ-Нэ=-и„ лэх + Ььт т сэк — лэ = лэ. Ввиду (14) через эти значения, в свою очередь, линейно выражаются, с вполне определенными постоянными коэффициентами, и х, у, х, так что, пока все трн величины и„и„иэ остаются ограниченными, ограниченными необходимо будут сами х, у, х. Отсюда уже ясно, что при бесконечном возрастании г' х'+у'+ээ также растет до бесконечности н иэ+и$+л3 (а следовательно, н И'). ГЛАВА ШЕСТАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ д Е Формальные свойства функциональных определвтелек 2()х.
Определение функциональных определителей (якобванов). В настоящей главе (равно как и в других частях курса) важным формальным орудием исследования для нас явятся особого рода о п р е д ел и т е л и, составленные из частных производных. Изучим предварительно основные их свойства. Пусть даны л функций от л переменных у, = у (х, х„..., х„), Уя =.'з(хы Хт ...т хп)> у„=Д(хы хз,..., х„), КатОРЫЕ ОПРЕДСЛЕПЫ В ПЕКОтОРОЙ П-МЕРНОЙ ОбЛаСтИ оо И ИМСГОт В Псй непРеРывные частные производные по всем переменным, Составим из этих производных определитель ~ ду, ду, ду,', ~дх дх д дуз дз'2 даръ ( дх, дх, дхл дув ду~ дух ~ дх1 дх~ дхх Этот определитель называется обычно дУункуиояахьлым определителем Як о б и ипи лкобианом системы (1) — по имени немецкоГС 442 Гл.
у1. Функциональные ОПРеделитгли; их НРило1кения 1203 математика Якоби (С. О. 3. )асоЬ1), впервые изучившего его свойства и применения л). Обозначают его для краткости символом г2(у„у„, у.) ))121, хе, ° ., х1) сходным с обозначением производной. Якобиан имеет ряд свойств, подобных свойствам обыкновенной производной. 203. Умножение яиобванов.
Кроме системы функций (1), возьмем систему функций х1 р1(21 ~2> ' ' э гл)ю х2 2'2(21 22 ' ' '~ 2л) (2) Ха=2'л(21 12 ' ' "11л) определенных и имеющих непрерывные частные производные в об- ЛаСтИ З). ПУСтъ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТОЧКИ (2„2.„..., Гл) В Р СООтВЕтетВУЮ- щая точка(х„хе,..., х„) не выходит из области ф, так что у„уе,..., ул можно рассматривать как сложные функции от ÄÄ..., е„через посредство х„х„..., хл. Умножим теперь якобиан системы (1) на якобиан системы (2): дх. дхл дхл д1, д1, " ' дгл Из теории определителей нам известна теорема об умножении опре- делителей, выражающаяся формулой СНСН, .. Стл ~ Сетсж Сал д 1д, ...
д , д21д„ ... дел длтдле Рлл апа12 ° ° ° аи а,а ...с алла„е... а СЮС,1... Слл л) В НауКу ЯКОбнаиЫ бЫЛИ ВВЕДЕНЫ ОдНОВрЕМЕННО С Я К О б И И М. В. О С- троградским. дх, дх, д1, дс, дхе дх, д, д1, дх, "'д. дх, "' дел где общий элемент последнего определителя такой: Сгх = и,сасх + О1гдгсг +... 4 испэпх (с, 1с = 1, 2, ..., и) (умножение по правилу гстрока на столбецг). Применяя эту формулу к функциональным определитслям, получим дх, зх,', дсл, дх асл ~ ду, ау, Зу, ах, дх1 дхг дх ду, ау.
ау. дсг а, Эс дх, ( дс, дх1 дх зхл агп ау. Зуп дхг1 дхл д1л ~ дх, длг дхл ау, ах, дуга „ ау, ах, Зу, Эх. ~ — — +...+ дх, дс, дхл дсг дх1 дс д. „ ас. ду, дх, ду, дхл дуг дх, ау, дх ,Эх Э, '" диас,'''дас. '' а.з. 'ду дх дулдхп дулдх, дгпдхл ~ дх дсс дхп ас, дх, дсп дхл дсп Замечая, что, по формуле для производной сложной функции, общий элсмент этого определителя есть аус ах... Эу, а . Эу, д', ас,' 'Зх.дсх=асх (с, /с=1,2, ..., п) мы можем последний определитель переписать в виде ~ дуг дуг дж ~ дуг дуг дуг ' ~ дсг Зсг Эс Зу. Зул ау.
. дсс дсг дсл Доказанное только чго и е р в о е с в о й с т в о якобнана в кратких обозначениях можно переписать так: гС(ус Уг, ° °, Ул) Жхг хе» хп) )Э(ус Уг ° ° Уп) (3) г (Х1, ХВ ., Хл) сс1с1 сг сп) гс(сс Й ' ' сл) 2031 с 1. ФОРмА31ьные сВОйстВА ФункциОИАльнын ОЛРВлелителей 443 444 Гл. ч!. сункциОНАльные Опуелелитез!и; их пРилОжения 1204 Если бы имели одну функцию у от х, где х есть функция от т, то получили бы известную формулу для производной сложной функции: »!у Фх Иу — — — таким образом, выведенное свойство якобианов является »(Х й~ »)! ' обобщением формулы для производной сложной функции.
Отметим особо тот случай, когда переменные гт, Г„..., тл тождественны с у„у„..., уп, так что система функций (2) ес!ь результат об ращения системы (1)л). Тогда полученное соотношение сведется к следующему: )З(У„~....., Ул) ))(х„хь ..., хп) 6(х», х», . ° ° хл) Ю(у» Уь ° °, Ул) или П(у», З Ч " уп) 1 0(х! Х» Хп) т»(Х! Х» Хл) ))(У!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
