Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 87
Текст из файла (страница 87)
))(уй, ". ут) ' Отсюда Жу„..., ут) ду Г)(хй, . ° ., Улй) дхй Гй(лй " йхлв)) г)(уй, ", ъ,) ))(нй, ", ун) ду„'гй(у„..., х,) дх, (У(К. ° °, Ет) ))(У„", У ) Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений (5). Будем предполагать, что в окрестности взятой точки выполняются условия теоремы Пг. Снова обращаем внимание на роль, которую будет играть требование Х~ О. Мы знаем, что неявные функции у„..., у имеют частные производные по х„..., хл. Самое в ыч ислен ие их производится дифференцированием тождеств, которые получаются из (5), если под у„, ..., у разуметь именно упомянутые неявные функции.
Дифференцирование по х„например„дает мо) 1 2. НБЯВНЫБ ФУНКЦИИ 4бз Аналогичные выражения получаются и для производных от уд, ..., у по хя, Если функции Г, ..., Г имеют непрерывные частные производные в т о р о г о порядка, то правые части всех полученных формул имеют (непрерывные) производные по всем аргументам, следовательно, существуют (непрерывные) в т о р ы е производные от неявных Функций. Вообще (как это легко доказать индуктивно) существование для функций Гы ...„Г, непрерывных производных до /г-го порядка включительно влечет за собой существование и непрерывность всех производных й-го порядка и для неявных функций.
Вычисление производных от неявных фующий и в общем случае также производится либо дифференцированием т о ж д е с т в (5) по тем или другим переменным, либо дифференцированием их полным образом. Получаемая для определения производных нли дифференциалов система л и н е й н ы х уравнений своим определителем всегда имеет отличный от нуля якобнан Х. Эти замечания станут более ясными на примерах. 310. Примеры. 1) Пусть у связано с х уравнением у 1п )/х'+ут= ага~а —. х Дифференпируя последова~ельно по х (причем у считаем фуикпией от х), получим х+уу' ху'-у или х+уу'=ху'-у; хк+у' х'Ч-у' затем 1->у'-ьуу" = ху"; и т.
д. Из первого уравнения находим хьу У = х-у из второго (если подставить найденное значение у') 1+у'к хкьу' у"= — -2 —, х-у (х-у)' н т. д. 2) Дано уравнение Г(х„у) = х' Фу' — Заху = О. Требуется найти экстремумы определяемой нм неявной функции у от л. Имеем здесь Г„'=З(хв-ау), Гу=.з(ук-ах). Ввиду (15), для того чтобы было у„'=О, должно выполняться равенство Г„'=О. Решая совмеспю уравнения Г.— -О и Г,'„.=О, найдем д в е пары соответственнык значений х и у: э э У-.О и л.=а)(2, у=а)4. х —.О, По в первой точке обращается в нуль и гу, так что мы не можем утверждатгч что в ее окрестности ыаше уравыевие определяет у как однозначную функцию от х; поэтому точку (О, 0) оставляем в стороне.
Во второй точке гу = Заз'1'2 О, и к ней прнложнма теорема П. Чтобы убедиться з в ыаличии экстремума, вычислим у„при х=а[/2! проще всего исходить из (!б), полагая там у„'=0; ° Рзз УР = — —, *). ТаК КаК Г„=бХьО ПРК Х= а[12, та у[«0, И НаЛИцО М а К С ИМ у М. 3) Пусть неявная функция х от х, у определяется уравнением хз уз Хз —.+ — + — =1. аз Ь' с' Имеем последовательно сзх сзу дх = — — з(х - — з(у, а'х Ь'з х г[т у г(у х г(г — — Р- — 4 — =О, а' Ьз г' так что дг с'у ду Ь'х дг сзх дх а'х ' Затем з(хз з)уз г)хз х дзх — + — + — 4 =О, а' Ьз с' с' откуда (если воспользоваться известным уже выражеыием для з)г) что лает нам д'х с'ху дхду Ьз и т. д. 4) Пусть х определяется, как функция от х и у, из уравнения х = х+ 1" а(х).
Предполагая 1-у р'(г) РО, доказать, что дг дх — =р( ) —. ду дх Имеем д р(г) ду =1-у р(х)' дх 1 дх 1 — у.р'(г) откуда н вытекает требуемое. 5) Пусть нз уравнения у=хй(г)+Р(х) *) Это — не общее выражение для у„*; оыо годится лишь в интересующей ыас з з точке Ха'12, а[(4/. 464 ГЛ. Уг. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДРЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [210 216! 1 г. неявные еункцыы 465 переменная г определяется как неявная функция от х и у.
Предполагая х у'(г)у -Гу'(г)и О, устаыовить, что зта функция удовлетворяет дифференциальному урав- нению иля г д'-2рд.туг р'=О, гле лля врач кости положено дг дг ==Р. =д дх ду двг д "г д"г — =г, .— -=г, — =-с. д'- ' дхду ' д Последовательно дифференцируя по х и по у, получим уоф+ [х у(г)+у(г)! р= О, [х.у(г)+ду(г)! 9 =1 и, далее, 2у(г) ру[х.у"(г)уу (г))'р*+[х у(г)+д'(г)) г=о,[ дв у(г).
В-Ь [х у"(г)-~- и"(г)!.Рд+ [х.у(г) т и'(г)[ г = О, -2рд [х.у"(г)уу"(г)) дв+ [х у'(г)+у'(г)) г=о. Рв Сложив последние три равенства, предварительно умыоженвые ыа д', -2рд, р"", и придем к требуемому соотношению. 6) Пусп дана система х+уугуи=а, хе+у'+г'+и' Ьв, хв-~)и-!-ге+ив св, определяюшая у, г, и как функции от х. Имеем 1 ' у' — ', г'-гй=-о, хч.уу'чгг'ч-яр=о, х'ху'у'+г'г'+и'и' О. Предполашя определитель )! 1 !! ~у г и =(г-у)(и-у)(и-г) ! ув гг ив! нс равным нулю, имеем отсюла (г — х)(и — х) у'=- — — — и т.
д, (г — у)(и — у) 7) Пусть переменные х, у, - связаны с переменными г, В, у соотношениями х-г сов В сову, у г ил В сову, г=-г.япу, л я где О г ";, — — В 2 2 я х — — -у †. Якобиан 2 2 , 'сов В сову — гйп 6 сову — г сов 6 в!ну ~ 0(х, у,г) =~в!пв сову гсовВ сову — гв!п Вв!Пу =г'сову О. Ж'Ву) ! в!пу О г сову сов 9 сову дг- г в!п 6 сов у 96 — г.сов В вш у г(у = г(х, яп В сов ур г(г+ г сов В сову 99 — г.вш 9 япу ду=г(у, япу гуг + г.сову ду Ж ЗО Г.
М. Фв. тсигеи и, г. ! Упомянутые соотыошения определяют г, В, у как функции от х, у, г. Для вычисления производных зтих фувхций продифференцируем зги соотношения п о лным образом: 466 гл ч1. ФункциОИАльные ОПРеделители: их пРилОжения 1210 Отсюда определнм»зг, »»8 и йр: г'созВсоРу гззшВсоФу г'яву соку й= »гх+ л«+ »уя Х Х у гяпВ г сов В 48= — — лх+ «. х у г сок В 1»пу соку »гу =— у г зш Вйпу сок у г соФу »ух— с»«у »»з. у у Этим, собственно, уже и найдены указанное выше значение у): дг — =сов В сову, дх интересуюшие нас производные 1если учесть аг — =зш В соку, а« 89 соз 9 д«г соку' ау з!п 8 япу а« дг — япу, аз дз зш9 дх г сову ау Взел у дх г дз — =о, дз ау лозу дз г г, В,у: Предложенные уравнения легко решить относительно 9-азсеа— « х г- )гхз+«з Ьза у атсга )'хе+«' Это дает возмолшость вычислить все зти производные и тем проверить найденные результаты.
Г»ТÄÄ..., Гл) г)<«„«„..., «,) отличным от нуля, рассмотрим у, уз, ..., У„как функции от х „х,..., х„, определяемые этой системой уравнений и, следовательно, обращающие их в тождества. Дифференцируя зти тождества по каждому х), результаты можем представить в виде дГ1 ВГ д«дГ а«» ВГ д« + — — +... -~- — —. дху д«, дху д«1 дх) ' ' ' д«л ах) ' (1, ) = 1, 2, ..., И). Определитель, составленный из левык частей этих равенств, есть ( ))л)ДГ1.
Гз," щх„хз, ..., хл) ' 8) В качестве заклзочительного примера на дифференцирование неявных функций выведем еще одну формулу, снова подчеркивающую аналогию между якобианом системы функций и производной одной функщщ. Пусть дана система и уравнений с 2п переменными: Г11хт хз» '» хл у1» уз ' '» ул) О 11 ~ 2 ' '» и)' Предполагая якобиан 21Н 1 а НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 4л7 определитель же, составленный из правых частей, очевидно, пред- ставляет собой произведение определителей ))(Г„У1, ..., Р1) ))(У1.
Ул * Ул) 2)(У, У ° ' Ул) 0(хо х,, ...,Хл) (см. 203 (3)1. Отсюда получается формула то под рассмотренный случай это подойдет, если положить У; — (Р, — х;. аг( Так как здесь — — -- — 1 или О, смотря по тому, будет ли 1'=-/ или дх) 1и у, то числитель сведется к — 1 О... 0 Π— 1 О ( 1)л О О... -1', и формула примет вид ))(У„", У.) ) 2)(х1, ..., хл) п(х1, ..., хл) ' 1)(Р1 * ° Ул) Этот результат нам уже знаком (203 (4)). й 3. Некоторые врнложеннн теории неявных функций 2П. Относительные экстремумы. Рассмотрим вопрос об экстремуме функции Дх,, ..., х,Ф ) от л+и переменных в предположении, что этн переменные подчинены еще и уравнениям связи Ф;(х„..., х„, х„„1, ..., х,ь„,) =О (1 = 1 „2, ..., и).
Мы уточним понятие о таком относительном экстрему- м е н укажем приемы для его разыскания. являющаяся аналогом формулы (15). Если уравнения даны в виде, хл '. МУ1 УВ Ул) ))(у1К..,, л,) ()(х1, ..., хл) ))(У1, ..., .Г ) П(У„"", ) л) разрешенном относ~п ельно х, „ (1'=1, 2, ..., Л), 463 гл. уг. ФункциОИАльные Определители; их пРилОжения 1211 Говорят, что в точке Мв(хе ..., Хал+„)„удовлетворяюи(ей уравнениям связи, ргункция Лх„..., хл+„) имеет откосс и т е л ь н и й максимум (минимум), если неравенство у(х„..., х..г. )--,Г'(хлг,..., Хол+ ) (- ) ЭФ, ЭФ, ЭФ, ЭФ, Эх," Эх.
Э ...'"Э.л „ Эгд ЭФ> ЭФ. ЭФ, Эх, ' ' 'Эхл Эхлв, ' ' 'Эхл+л>' (2) ЭФ>л ЭФ>л ЭФл> ЭФ>л Эх, ' ' Эхл Эхл ы ' " Э ., например, определитель ЭФ> ЭФ, Эхльг Эха+>л ЭФ, ЭФ, Эх,>ч> ' ' 'Эхл+~ )г(Ф„..., Ф„) (г(х,.>„..., х»члл) ЭФ ЭФ Эхлег Эхл-г-щ Тогда, если ограничиться достаточно малой окрестностью точки Ме, по теореме юг система(1) равносильна системе вида Хл ~т=гуг(хг, ...> Хл)> ..., Хл+л>=гу>л(хг> ..., Хл), (4) где>рм ...,>р суть неявные функции, определяемые системой(1). Иными словами, требование,.чтобы значения переменнык х„..., х„, х,„г, ..., хл+ удовлетворяли уравнениям связи (1), можно заменить предположением, что переменные х,+г, ..., Х„~„представляют собой функции (4) от х, ..., х„.
Таким образом, вопрос об относительном экстремуме для функции з(х„..., хл+ ) от и+т переменных в точке Ме(хл„..., хе, хе+д, ..., хе+„) сводится к вопросу об обыкновенном (абсолютном) экстремуме для *) В этом случае говорят, что матрица (2) имеет (в точке г>(е) р а и г т. вьтолняетсл в некоторой окреглпности точки Ме для всех ее ггго>гек (х„..., х,ь ), у д о в л е т в о р я ю иг и х у р а в н е и и я м с в л з и. Мы будем предполагать, что как функция у", так и функции Ф, имеют в окрестности рассматриваемой точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Пусть, далее, в точке Ме о т л ичен от нуля хоть один из определителей т-го порядка, составленных из матрицы частных производных *) 311] 1 3.
нскОтОРые пРилОженин теОРии неяВных Фун!<ций 469 сложной функции от п переменных 7(хы..., х,; »рт(х„..., х„), ..., 4»и(хг, ..., х„)) (5) в точке Р,(х'„..., х,'). Эти соображения указывают н на реальный путь для нахождения точки, доставляющей относительный экстремум функцииу (х„..., х,«): если мы умеем фактически разрешить уравнения связи, например, относительно переменных х„+т,..., х,«и, и найти я в н ые выражения для функций (4), то дело сводится к нахождению абсолютного экстремума для сложной функции (5). Собственно говоря, мы так именно и поступали в ряде ранее решенных задач [200, 201), например, когда мы искали наименьшее значение для суммы хеуьг-~ г при условии хукг=с«, и т.
и. Укажем теперь другой путь дпя нахождения точки Мь(хь, ..., хь+ ), не предполагая, что мы имеем явнью выражения для (неявных) функций (4), хотя существованием этих функций мы будем пользоваться и здесь. Итак, пусть в точке Мь функция г(х„..., х„.е) имеет о т н ос и т е л ь н ы й экстремум или — что то же — сложная функция (5) вточкер„пмеетзкстремум абсолютный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
