Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 91
Текст из файла (страница 91)
2181 а л. Злмкнл ггненмьганых моино, прежде всего, пользоваться изложенным только чго общим методом. Например, лиффереицируя формулы (б) по г (причем х, у, и считаем функциями от г), получим 1=а»сх[ч .У>ь ах[=))»х]-'.[)су[, откуда Й - ага[, а»И- [)х а»1)у( — и'»Я а»))» — а>()» и, наконец, хххгб >)х Ух = г)у — и> и) Проще, однако, в этом случае поступить так, каь сели бы проделывали о братитн ый переход от переменных г, и к переменным.с, у.
Продифференцировав формулы (б) по л (считая у функцией от х), получи»а г„'- а„'ч а,'у,'., и,' = Я+Йу', так чзо а); (>(>»с а»- «И» (7) 218. Примеры. 1) Пусть дано уравнение хау,',1] хус+у=-0; преобразовать его, полагая х=ег. По формулам (2) имеем ух=с — цу[, у»~= с-и (у[1 — уг), и уравнение примет более простой вид: у»1 Е у -- С. 2) Преобразовать выражение Ух' У»( +Ух) полагая х=г — у. Пе», )а откуда для ус получается то же выражение, что и выше. И здесь мы различаем производные г,'., и„', и„'., ))»': первые означают«цолныев производные по х, с учетом и зависимости > от х, а вгорые считаются с х лишь как с одним нз двух аргументов функций а, ]Ч.
Заметим, что переход от переменных х, у к переменным г, и по формулам (б) может быть истолкован геометрически как некоторое точечное пре. образование плоскости (или ес »асти): если х, у рассматривать как координаты некоторой точки М плоскости, а г, и — как координаты некоторой точки Р, то преобразование переводит точку М в точку Р. Возьмем затем какую- либо кривую со>( на плсскоспь с уравнением у=Дх); этой функциональной зависимости между х и > отвечает некоторая зависимость между г н и: и8 й(г), которая также определяет на плоскости некоторую кривую»". Итак, в рассматриваемом преобразовании кривая 1)( переходит в кривую же»". Если в точке М первой кривой провести касательную с угловым коэффициентом уг, то в соответствующей точке Р вторая кривая будет иметь касательную с угловым коэффициентом иг, которьгй определяется по формуле (7). Таким образом, по координатам точки М на кривой а( и угловому коэффициенту касательной в М о днов н ач но определиотся как коордннаты соответствующей точки Р на преобразованной кривой»", так и угловой коэффициент касательной в Р.
Поэтому, если через точку М провести две кривые, касающиеся в этой точке, то преобразованные кривые будут татке касаться в соответствующей точке Р. Рассматриваемое точечное преобразоеапие плоскости сохраияет касание [Ср. ниже примЕр 5)]. 496 Гл. уг. Функционлльныи ОпРеделители; их пРилОжения 1218 Под общую схему это преобразование подойдет, если написать х = г — я, у = и. По формулам (2) хМ(- хлу) — у'(хю+у!)г (х) ~.у))в С другой стороны, формула преобразования дает х) = 1-у)! подставляя, найдем окончательно 5'-У(1 — Уг.
3) Перестановка ролей переменных. Предположим, что независимая переменная х и фуикцня от нее у обмениваются ролями; под общую схему это преобразование подойдет, если положить х=и, у=г. Поставим себе задачей выразить производные от У по х через производные от х по У. Снова прибегаем к формулам (2), заменяя с через У. Если учесть, что у» = 1 (и у»1 = У»" =... = 0), то сразу получим х» х»ум Зх»цг — х»х»" Ух' = У»' Например, выра".кение Н'= у„'у'„"— — Зулз, если применить к лему это х»' преобразование, получит вид И' — — — —. х х»»м 4) Переход к полярным Рис. 114, к о ор дни агам.
Если х, у рассматривать как прямоугольные координаты точки, то уравнение у - у'(х) выразит кривую. Часто бывает полезно перейти к полярным координатам г, О, выражая кривую ее п о л я р и ы м у р а в н е н я е м г = В(6). Тогда, естественно, представляется необходимость, исходя из выражений различных геометрических элементов кривой через х, у, у„', у,",, ..., получить соответствующие выражения ик через 6, г, гг, гг~, - ° .
Формулы преобразования в этом случае, как известно, имеют вид х= г соз В, У= гзш 6. дифференцируя их по 9 (причем учитываем, что г есть функция от 8), получим ха ---ггсозВ-»ыпВ, УВ=гВылВ+гсозО; х(г = г,': соа О -2»г ып О -г соз 6, Ур' = »9! з!и 9-1-2»' соз 6 — г зш 9,... Отсюда, по формулам (2), найдем (подставляя 9 вместо с): г„'и!пВЬ»соя О, г'Ь2гь* — г»11 У»= Ух* = гВ сов  — гз!иВ (ггсоз — гзшВ)' Таким образом, например, угловой коэффициент касательной будет г„'йп 8.1- г соя 8 !В и = Ух = гг'соз 8-гып О тангенс угла гс, образованного касательной с продолженным радиусом-вектором (рис.
114), 16а-!66 ху„'-у 19 =16(и-6)= 16!Ох.!66 Х";Уух 21В) з ж 3АменА певеменных теперь выразится простой формулой г св си г,', в связи с чем при полярном задании кривой положение касательной предпочитают опредесшть именно углом ш.
рассмотрим еше выражение 4 (1+у„'.) ух' представляющее, как увцлим ниже (в и' 251), ваяаьщ геометрический элемент крсшой (срациус кривизныс). Если подставить сюда найденные выше выражения лля у„' н у„'1, то после упрощений получим ч (гг=. 'г,',)с )с г'+ 2сф — ггац 5) Преобразование Лежандра. Поставленную в предыдущем и' задачу замены переменных мсскно обобщить, допустив присутствие прои з в о д н ы х уже в формулах преобразования. Мы ограничимся одним примером этого рода: с=ух и=х ух — у' это преобразование называется преобразованием Л е ж а н д р а.
Продиффереицируем вторую формулу преобразования по х, рассматривая слева и как функцию от х через посредство с (зависимость с оз х дастся первой формулой): ис у'„'=у'.4-х уб — у'=-х.у'„'.. Отсюда (в предположении, что у„'(НО) и ис —.е. Таким образом, если учесть и обе формуссьс преобразования, имеем т-.ис, у==с ис-и, чем выявляется взаимность преобразования: с, и, ис выражаются через х, у, у„' совершенно так же, как эти последние величины выражаются через лсрвыс. Дифференцируя подобным же образом по х формулу ис = х, получим 1 ис( Дальнейшее дифференцирование дает исч' ис 4 и т.
д. Заметим, что есяи преобразование Л е ж а н д р а истолковать геометрически как преобразование плоскости, то оио отнюдь не будет т о ч е ч ны м преобразованием. Для определения координат с, и точки )я недостаточно знать координаты х, у точки М, но нужен и углоной коэффидиент у,'. касательной в этой точке к рассматриваемой кривой у=с(х). Тем не менее, кривая преобразуется здесь снова в кривую, и касание с о яр ан яетс я 4).
*) Подобные преобразования, сохраняющие касание, играют важную роль в различных областях геометрии и анализа. Они носят название касательных преобразований, или преобразований прикосновсн и я. Точсчныс преобразования и преобразования Л с ж а н др а являются лишь частными примерами их. 488 ГЛ. Ч! ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [219 219.
Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных. Перейдем теперь к задаче о преобразовании выражения Э!с дзг ' '"' 'д ' ду' "' д'' Эхду' "' ' содержашего, кроме независимых переменных х, у, ..., и функции от них г, также частные производные г по ее аргументам, до определенного порядка. По тем же мотивам, что и в простейшем случае, рассмотренном выше, и здесь может понадобиться перейти к но в ым переменным, которые со старым и связаны с помошью сбормул яреобриговииия.
Если обозначить новые независимые переменные через с, и, ..., а функцию от них — через е, та задача состоит в том, чтобы выразить И' через с, и, ..., е и через производные ат о по ее аргументам. Очевидно, достаточно научиться делать это по отношению к с т а р ы м пропадя дг д'г д'г водным —, —,..., —, —,... Для простоты письма мы будем предполагать, дх ду дхг дх ду что независимых переменных всего две: старые х и у, а новые с и и. Начнем н здесь с того случая, когда заменшотся лвшь независимые переменные, и формулы преобразования непосредственно связывают старые переменные х, у с новыми с, и.
Предположим, что формулы преобразования разрешены опюсн !елька старых переменных: х--ф(с, и), у=-и(с, и). (8) Рассматривая г как сложную функцию от с и и через посредспю х и у, по правилу днфбюренцирования сложных функций получим: дг дх дг ду дг дг дх дг Эу дг — = — — + — —. ди ди дх ди ду (9) дс дс Эх дс ду дг дг Таким образом, для определения старых производных — и — мы имеем систему дх ду линейньсх уравнений; отсюда старые производчые линейно выразятся через новые дг дг дг дг дг дг — =А — + —, — =С вЂ” +Р—. д дс ди' ду дс д (10) При этом важно отметить, что коэ$фаципсты А, В, С, Р составляются нз проюводньсх функций 9, 1р, фигурирующих в формулах (8), но во все не зависят от г.
д. Эг Это замечание позволяет применить формулы (10) к производным д'г д 'ду (вместо г). Таким путем, например, для — получится выражение дх' — = — ~ — )=А — ~ — )~- — ~ — )= д'г дег дА дг ЭВ дг) ( д'г д'г ЭА дг дВ Эг) =А ~А — ФВ -- + — — + — — ~+В~А — + — + — — + — — ). ЭН дс ди Эс дс дс ди~ ~ дс ди ди' ди дс ди Эи) с = (х, у), - Э(х, у), Применяя (1О) к производным второго порядка (вместо г), можно получить выражения для производных третьего порядка, и т. д. Еали формулы преобразования разрешены относительно новых перемевиых: 22О) 489 1 ь злмшсА пегсмегсгсых дх дг дх ди дх дх дс дк ди дк дх дх дс дх ди ду ду дс ду д» На этот раз коэффициенты дг А= —, дх аи д В= —, С= —, ах' ау' ди 0=— ду будут функциями от х, у, но также не з а в и с я т от г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
