Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Поэтому, если нам удастся доказать, что системой (10) в достаточно малой окрестности г(1 точки (ход, ..., уо г) т — 1 переменных у„..., у г определяются как однозначные функции отхг,..., х Уз=Як~,, хо),, У -2 =Хл г(х„., хо), (12) то в силу (7) и переменная уо, определится как такая однозначная функция: =9(х„..., х„; Яхю ..., х„), ..., 7' г(х„..., х„)), (12а) и заключение а) будет полностью оправдано *). Обратимся же к системе (10) и покажем, что в окрестности точки (хо, ..., у",) для нее выполняются условия, аналогичные 1), 2), 3), 4). Справедливость первых двух непосредственно вытекает из свойств функций Р и 92, ввиду (11). Точно так же условие 3), в связи с (11) и (9), дает нам (для /= 1„..., т — 1) Ф,(у1,..., )д г) = Р;(х1, ..., у' 1, Т( ю ..., У,)) =- к( о,о .о) ") Поясним, что (ло т — 1)-мерный (открытый) параллелепипед 4* предполагается настолько малым, чтобы определяющие его промежутки содержалнсь 1 соответствующих промежутках, определяющих («+гл)-мерный параллелепипед (й)*.
Та окрестность точки (хо, ..., уж~), о которой упоминается в заключении а), и определится всеми промежутками, связанными с по, с присоединением к ним последнего из промежутков, связанных с сз)*, 458 Гл, чь ФункциОЯАльные ОпРеделители; их пРилОжения 1208 Остается лишь рассмотреть я к о б и а н (аналогичный У) ЭФ, ЭФ, дуи дул| — 1 дФ, дФ, дУ~ ' ' 'дут -ь ц(Ф„..., Фт — ь) п(у.", у -) дФт-З ЭФт-1 ЭФт-1 ду1 дул ' 'дут-ь и УбедитьсЯ в том, что он отличен от нУлЯ в точке (хы ..., Ув т). С этой целью преобразуем определитель ъ, прибавляя к элементам первых его и-1 столбцов элементы т-го столбца, умноженные соответственно на —, ..., д% д~, ' ' ' '' ду»,, ' дгь дг1 др — + дУ1 дут дуь дГ» дГ.
ЭР— — в + дуь ЪУт дуь ЭФ ЭГ,, ЭГ ду, '' ЭУт, ду дт дрт дГт Эуь дут-ь дут дгл — 1 ду дГт дут Э~ Эут — ь Если считать здесь у„=у(хы ..., у,), то все элементы, кроме находящихся в последней строке и в последнем столбце, будут представлять собой частные производные от функций Фу (по ут, °, У -т) Именно, ввиду (11), дифференцируя Ф) как сложную функцию по уы ..., у т )пользуясь правилом и' 1811, получим для у=1, ..., щ — 1 дФ) ЭГ) ЭГ) де дФ) ЭГ) ЭГ) ди Эу, ду, дут ду1 ' ' ' ' дУт ь дут-1 дут дут-ь С другой стороны, если продифференцировать по уы ..., у т тождество (8) "), то окажется, что дГт ЭГт ЭР 0 ЭГ-+ЭГ.
ЭР О ЭУ~ дут ду~ Эу п — т Эут дут — ь л) Ведь если (сложная) Функция, стоящая в (8) слева, тождественно равна нулю, то и пронзводиыс се по любому аргументу — также нули. дгт — 1 + ЭУ1 ЭГт ЭУ~ дгт — 1 ду»1 дрт дул ЭФ, ду| дФ. ду1 дг, дут-ь Эг, дут — ь эг, д дуа дут др дут ь Эр дут — 1 Эг1 дут дг, дут заа1 459 ь а нсявныа еункции Таким образом, элементы в последней строке (кроме последнего) все равны нулю. Окончательно ДФ дуг дегг дУ, дф ''' ду„г двг2 дУ~ г дГ ду дР, дут ду дУ~ дФ,п-1 ду, дФ '' дУ дГ„ 0 Разложив этот определитель по элементам последней строки, придем к результату л=в* —. 'д Положим, наконец, здесь х,=хв, ..., у г=у" г; тогда у = 9'(х„..., у,), в силу (9), обратится в уь . Так как в этом случае, по условию 4), л отлично от нуля, то не может быть нулем и.Р„ч.
и тр. д. Для системы (10), содержащей т — 1 уравнений, наша теорема предположена верной. Следовательно, система эта в окрестности точки (хь, ..., ув,) определяет однозначные функции (12), непрерывные и имеющие непрерывные производные; кроме того, эти функции удовлетворяют и требованию б): /;(хы ..., хь) =ув ..., Д 1(хв„..., хь) ==ув,. (13) Отсюда следует, что т-я функция (12а) также непрерывна и имеет непрерывные производные, и, наконец, принимая во внимание (13) и (9): Теорема доказана. Замечание. Мы обращаем внимание читателя на ло к альпыйй характер всех теорем существования неявных функций: речь идет все время лишь о некоторой окрестности рассматриваемой точки.
Но и в таком виде эти теоремы полезны; например, читатель увидит это в главе ЧП, где при изучении свойств г е о м е т р и ч ескогоо образа в данной его точке совершенно достаточно ограничиться непосредственной ее окрестностью. Яхы ..., 4) =9(хо,..., хь; ахо, ..., хв), ..., Х 1(лог,,, хо)) = -9(ы, 4* Угь * У'-г)=У'. 4бс гл. чь отнкциональнын опвьдаиитнли; их приложения 1ЗВ9 209. Вычисление производных неявных функций.
Ход рассуждений, с помощью которых устанавливались теоремы существования неявных функций, в общем случае не давал представления о самом с и особее вычисления производных (первого порядка) от неявных функций. О производных высшего порядка и вовсе не было речи. Теперь на этих важных вопросах мы остановимся специально. Начнем с простейшего случая, когда дано уравнение (1). Будем считать выполненными, в окрестности рассматриваемой точки, условия теоремы П; существенную роль в дальнейшем будет играть требование гу' »» О.
Покажем простой прием для в ы ч и с л е н и я производной у„ (если существование ее наперед известно). Мы знаем, что если неявную функцию у=Дх) подставить в уравнение (1), то оно обратится в тождество [см. (2), 205]. Итак, если под у разуметь именно эту функцию от х, то левам часть равенства (1), Г(х, у), представит собой сложную функцию от х, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Если продифференцировать эту функцию по правилу и' 181, то получим .г»(х» > ) - Уу(х, ») у„= О *), (14) откуда (так как и'у'иО) г»(х, у) (15) гу(х, у) ' мы пришли к уже известной нам формуле [ср.
(3) 206]. Теперь можем пойти дальше. Если функция г(х, у) имеет непрерывные производные в т о р о г о порядка, то выражение, стоящее в формуле (15) справа, может быть продифференцировано по х, следовательно существует и производная от у„', т. е. в т о р а я производная у„'., от неявной функции у. Выполняя дифференцирование и подставляя всякий раз вместо у,' ее выражение (15), найдем ° (Р»у-~-ту* у»)'и» (р»'+г»у у»).р» р»у' Зд.гу г»у — "т .~" — т» ~у'.
р»З отсюда же видим, что вторая производная будет непрерывной функцией от х. Е с л и функция Г(х, у) имеет непрерывные производные тр е т ье г о порядка, то, очевидно, существует и т р е т ь я производная от неявной функции: у'„"; ее выражение снова может быть получено ') Собственно, такога же типа рассуждение мы уже проводили вьппе. Ср.
сноску на стр. 458. 2091 ь а неявные Функции откуда (ведь рс,~О!) Р„Ч 2Г»У У„+Р»- Х», р» подставив вместо у,'. его выражение (15), вернемся к уже найденному выражению для у,"; н т. д. Аналогично обстоит дело н в случае уравнения (4) с ббльшим числом переменных. Здесь предполагаем выполненными условия теоремы 111. Если под у разуметь неявную функцию, определяемую уравнением (4), то(4)превращаетсяв тождество. Фиксируя значения х,..., хп н рассматривая у как функцию лишь от х,, продифференцнруем это тождество по х,: Г», откуда у,'» = — —;,' Р„'., »Р;, у,',=О, точно так же получим и т.
д, Если нужны в с е производные первого, второго, ... порядка, то проще сразу вычислять с(у, с(»у, ... Продифференцируем же наше тождество полным образом„т. е. приравняем нулю полный дифференциал от его левой части (используя при этом и н в а р н- а нт ность формы первого дифференциала, 185): дГ , ду , др ди — с1хс ь — — суке ... — — с(х„~,— с1у:= О, д.', ' д. - ''' д'.'" дх так что дà — с!х„. дх дГ с(г= — —, . с(х, д, дз В то же время с1у — - -- с(х, ... с, — с(хп, дб д.' дх, '' '' дх» непосредственным дифференцированием выражения для у'„;, и т. д.
С помощью математической индукции легко доказать, что существование непрерывных производных функции с(х, у) до к-го порядка (к» 1) включительно обеспечивает и существование (непрерывной) производной к-го порядка от неявной функции. После того как, таким образом, самый факт существования последовательных производных от неявной функции установлен, вычисление их проще производить путем повторного дифференцирования тождества (14), с учетом того, что у есть функция от х. Например, первое же дифференцирование этого тождества даст нам с",~ ь с"„';, . у',; (Р„" с»~ у„'.) у„', с,'.
у,''» = О, (16) 442 Гл. Тг. ФункциОнАльные ОпРеделители; их пРилОжения (2(8 Ввиду произвольности ййх„..., й(х„, отсюда ясно, что дг ду дх, ду дхй др '' ' дхл ду как мы и получили выше. Дифференцируя еще раз, получим дх дхл [: ° дйУ дйУ дйу 1 дУ вЂ”; й(хй 4 ... + 1(х„~- — г(у~ й(хй Ф... Ф вЂ” г(йу = 0 дх,' ' ''' дхдхл л дхду ~ ' ''' ду и определим йййу, что приведет нас к выражениям для дйу дйу дйу дхй* дхдх' дхй'''' и т.
д. Мы видим, что во всех этих выкладках Основную роль играет условие, что Г'= — ~О. дЕ У ду — + — — Ф... -~- ддй ду, дУй ду,„ =О, дхй ду, дх, " ду дх, днл дг)л дуй дглй духа Π— +...Ф вЂ” — --=О. дх, дУ, дхй ' ' дУлй дх, Это — система линейных уравнений относительно неизвестных дуй дуйл —,..., —, с отличным от нуля определителем дх,''' ' дх,' ))(Г„..., Глй) х= — '"' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
