Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 89
Текст из файла (страница 89)
2) Станем вновь [ср. 200, 2)] искать наименьшее и наибольшее значения функции и = а'хз+ Ьзуз+ сззз — (ах'+ Ьу'+ сзз)з (а Ь с и О) прн наличии связи из+уз+аз т. е. на сферической поверхности, выражевиой этим уравнением *). С этой целью, сначала найдем по методу Лагранжа все отвосительвыз экстремумы функцви. Вспомогательная функция Р а'хз+ Ь'у«4 с'зз- (ах«+ Ьуз+сзз)« Ь 2(х'+у'тзз) приводит к условиям х[(аз+ Л) — 2а(ахз Ь Ьуз+ схз)] = О, уНЬз+ А) — 2Ь(ах«+ Ьу'+ сз')] = О, з[(с' ь 2) — 2с(ах«+ Ьуз+ сзз)] = О, к которым надлежит присоединить еще уравнение связи. Отсюда (1) х=О, у О, х= х1 (и=О); (2) х=О, у= 01, х=О (и=О); (3) х= -'1, у=О, х=О (и=О); 1 ! ( 1 (4) х=О. у= й —, г= й — [и=-(Ь-с) ); ](2 [(2 4 1 1 ( 1 (з? х= Х вЂ”, у=О, х= ~ — и — (а — с)з); ](2 ](2 1 1 ( 1 (6) х= а —, у= х †. к= О ~и — (а- Ь)з) .
]"' ] ' Выбирая из ухазанных в скобках значений и иавмевьшее и наибольшее, мы н при- дем к решению задачи [ср. 200, 2)]. 3) Вернемся к задаче о наивыгоднейшвх сечениях проводов в электрической сети с параллельным включением [201, 8)]. Сохраняя принятые там обозначения, будем искать экстремум функции .((Чз Чз ' ' ' Чи) ?зсз+(«Ч«+ ' ' ~ (лшз при условии, что Ч(з?з Ч(«Уз Е( У Ч'(Чз Чз ' Чч) — + — + ° ° ° + — -- с; Чз Чз Чи «) Ввиду того, что эта поверхность представляет замкнутое ограниченное множество, существование на ней точек, где фушзция принимает наименьшее и наибольшее значевие, вытекает из теоремы Вейер ш трасса [см. замечание в конце и 173]. 214) 1 з. никотогын пгиложнния твогии плавных оункций 4уу при этом мы не станем даже вводить, взамен д„д„..., дл, другие переменные, как сделали это выше, ибо нашими новыми методами задача и так решается просто.
Итак, дифференцируя полным образом уравнение Ф=О, получим затем следующее выражение для дифференциала а~да: Чп ~1гУз 1л-зУл-л г [ з ~ х л л д дп-з Подставляя его в равенство г1~=1,дд,-~-.- -Ь1п,й)л, ~ 1пддп=о, придем к результату: < Чп з ! Чп 1л — з и — 1 ' 12'1 ( 3 1,— — — ~дд,+...+~1л з — — йгп з=.о. У„д', Так как й)„..., й)п, Уже пРоизвольны, то коэффициенты лРи них поРознь нУли, откуда з В Ч1 дп Чп 1 Чп 3 у уз Уп-з 1л Чз— - 2)1йм Ч,= 2)Х, .
°, Чп= Ц~Зл. (12) Множитель пропорциональности 2 легко определить из уравнения связи: 2 = — ~ 1~Я. ~-1 Если применить метод Л а г р а н ж а, то нужно построизь вспомогательную функцию и) 11гуз 1пуп ) Г(д„дз, Чп):-. 1!дз+... +1пдл-Ьдз ~ — Ь... Ь вЂ” — 1 % Чл н приравнять нулю ее производные: др Ж,У, др Р1 уп — =1,— —.; —.
=О, ..., — = 1,— —:=О, дд ' дзп ддл Чпз откуда снова получаем (12), и т. д. 4) В качестве более сложного примера рассмотрим такую задачу: трехосный хе у* хз эллипсоид — + — + — ! 1а Ь с) пересечен плоскостью )к+ту+их=о, прохоа' Ьз ох дашей через его центр; требуется определить полуоси получаюшегося в сечении эллипса. Иными слонами, нужно найти экстремальные значения функции г'= = хз+у'+хп, если переменные подчинены указанным выше двум у р а в н ениям связи. Метод исключения зависнмых 'дифференциалов 1211] здесь приводит к сложным выкладкам; поэтому мы сразу прибегнем к методу Л а г р а и ж а. Для тозо чтобы убедиться, что ранг матрицы азЬР л) «Неопределенный множитслгп мы для удобства берем в форме 2з и включаем в него постояипуго р. 47б гл чг. Иункционлльнйае Опведелители; их нвиложения (214 равен 2 во всех точках пересечения эллипсоида с плоскостью*)„допустим противное. Из обращения в О всех определителей второго порядка следует пропорциональность элементов верхней и нижней строк; но тогда равенство 1х+лсу+ля=О х' уй х' влечет за собой — + — + — = О, что невозможно.
а' Ьй сй Составив вспомогательную фуишппо 1х' у' хй) Е(х, у, х)=ха+уй+ха+Я ~ — + — + — ~+2д(1х 1. Увлх) (ай Ьй сй) приравняем нулю се производные: Т у х+и.— +Н1=0, у+2 — +дт=б, ай Ь' х+ Л вЂ” +гсл = О. сй (13) вс' х=. — Н— с'- гй Отсюда легко найти гс, а с ним и х, у, х; но минуя зто, можно, сложив эти равенства, предварительно умноженные на 1, сл, л, получить уравнение (йай лсйбй лйсй + — + — =О, -гй Ь вЂ” г сй-с откуда непосредспюшо и определшотся иатересующие нас два экстремальные звачешш г'.
Так как существование этих экстремальных значений наперед известно, то здесь, таким образом, получаешься полное решение вопроса. 5) Наконец, предложвм себе найти наименьшее и наибольшее значения квадратичной формы п )сх„х„..., хи)= — 2' а,йх;хй !,й-1 Ойсс = ийс) при условии а(хй, х„..., хи)вх,+ хй+... Ех„=-1ии). Составим функцию Лагранжа Г(х„хй, ..., х) =1(хй „х„..., х ) — 1(х, + хйй+... + т). Исключая х„хы ..., хи из условий 04) ! Ьà — — -(ап — 1).хс-~.а й тй с- ... +оси и:с,- О, г бх, с)Р— — на, хс.с (айй — 2).хй-~- ...
тавс ° хн — О, (15) *) См. замечание в 2!2. и*) Здесь можно сделать замечание, аналогичное сноске на стр. 474. Умножая эти уравнения, соответственно, на х, у, х и складывая, получим (с учетом уравнений связи), что Л = — гй. Если предположить, для определенности, что ни одно из чисел 1, т, л не равно нулю, то из (13) можно усмотреть, что г не равно ни а, ни Ь, нв с. Тогда уравнения (13) перепишутся в вице: 1ай лсбй х= -д —, у= -И вЂ”, а'- г' Ь'- гй 2151 1 х някотоггян пгизюжлпия тяогии ннявных оункций 477 придем к уравнению л-й степени ап-Л а„...
а,л ап а„— Л...а,л (1б) ач, ачс ... ачл - Л относительно Л. Если Л есть один из его коряев, то системе (!5) линейных уравнений можно удовлетворить значениями х„хз... хл, не с1ьчошь равными нулю; умножив вх на надлежащий множитеять можно добиться н выполнения условия (14). Однако определение этих значений не представляет для нас интереса, вбо, как увидим, вопрос о ианменыпем и наибольшем значечиях функции л" решается и без них. Действительно, умно'кая равенства (15), соответственно, на .х„х„..., х, и почленно складывая, придем к равенству Лх,, х„..., х„) — Л(х(Чх,',х....~хз) =О или, в силу (14) л (х„хм ° .
„хл) Л. таким образом, если л удовлетворяет уравнешгк> (1е), то значение функлии у в соотвезствУющей точке (х„хз, °, х„) и Равно самомУ Л. Мы приходим к изящному результату: яскомое наименьшее и наибольшее значения фувкниил, при собшодении условия (14), совпадают с наименьшим и наибольшим из (вещественных) корней ч) уравзгения (16). 215. Понятие независимости фуикцшг.
Рассмотрим систему функций у, = 1,(х,„х, ..., х„), у, =Я;,, ..), (17) Угл =.Лгл(.гз ° хз ° хп) определенных н непрерывных, вместе со своими частными производными, в некоторой и-мерной открытой области З. Рассмотрим случай, когда значение одной из них, например, УЛ, о д н о з н а ч н о определяется совокупностью тех значений, которые принимают остальные функции (У " Ут-ЫУ1+1* " У») Точнее говоря, если,бе есть множество таких (гл — 1)-мерных точек, отвечаюппчх всевозможным точкам (х„...,х„) в 51), то предполагается, что в 8 будет иметь место функциональная зависимость УЛ=Р(У„.,УЛ вЂ”,У„., ",У ), (18) причем зто равенство оказывается т о жде от в о м относительно х в 3, если вместо всех у; подставить функции (17)**). Тогда *) Внрочем, можно доказать, что в с е коран этого уравнения бухут вещественными. яч) Существенно, что функция р в числе свовх непосредственных аргументов не содержит х.
говорят, что в о б ласт и 9 функция у. зависит от ост а л ь н ы х. Впрочем, для того, чтобы иметь возможность применять дифференциальное исчисление, мы включим в определение еще требование, чтобы функция р была определена и непрерывна со своими частными производными в некоторой открытой области б (т-1)- мерного пространства, содержащей множество [8в. Если, в частности, одна из функций (17), уы сводится к постоянной, то она явно будет зависеть от остальных: здесь можно просто положить у=сопя[.
Функции у„у,, у называются вообще з ав исимыми в области'3, если однаиз них(всеравно какая) зависит от остальных. Примеры. 1) Если положить < тг=х Рх + ° ° ° г хя, уз = А г + хзз+ ° Р хя хгхг+ хгхз+ х,хз+... + хя — гхя, то нетрудно проворить, что во всем и-мерном пространстве будет выполняться тождество Уз = У[- 2уз. 2) Аналотнчно, для функпнв Уг = хгхз хз, уг=х,хз+х„ у, = [хгг+1Н4+х1) — [х[-1)х,х, — х,[х,' — х,)' имеем тождественно (в трехмерном прострянствс) Уз Уг Угуг+Уз.
Все это — завнсн мыс функлин. Если ни в области у)), ни в какой-либо частичной, в ней содержащейся, области не имеет место тождество вида (18), то функции у,, у„..., у,„называ)от независимыми в области й. Ответ на вопрос о независимости функций дает рассмотрение так называемой матрицы Якоби, составленной из частных производных этих функций по всем независимым переменным: ду ду дх, дх, дУг дУг д,дх, дУг дхя ду ''' дхл (19) ду ду ду дх дх, ''' дх„ Предполагая и; т, прежде всего имеем такую теорему; Теорема 1. Если хоть один определитель т-го порядка, составленный иэ элементов матрицы (19), отличен от нуля в области у)), то в этой области функции ут, уг, ..., у,„независимы. ч78 ГЛ.
Чг. ФУНКЦИОНАЛЬНЫВ ОПРНДНЛИТВЛИ; ИХ ПРИЛОЖБНИЯ [21$ 216] 1 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 479 Доказательство. Пусть дх1 дж дг, дх, дх, ''' дхт ИО. (20) дхт длт дхн ~~дх1 дх, '''дхт Если бы не равным нулю был не этот, а какой-нибудь другой определитель, то, изменив нумерацию переменных, можно было бы свести вопрос к случаю (20).
Доказательство теоремы будем вести от противного. Предположим, что одна из функций, например ут, выражается через остальные, так что у 11(у1 ух ''' у — )' (21) ХОтя бЫ В НЕКОтОрай ЧаСтИ ЕЗ1, ОбЛаетИ ®. Продифференцировав зто тождество по каждой из переменных х, (1 = 1, ..., ш), мы получим ряд тождеств (в е3„) вида дуя дхт дх1 дут ду1 ду ду1х — 1 д 1 = а; дх, дзч,Ьс ' "+ ду, дх, (1 = 1, 2, ...„ И1). Мы видим, что элементы последней строки определителя (20) получаются путем сложения соответственных элементов первых и — 1 строк, умноженных предварительно на множители — , ..., — — . дхи дУт ду1 дут — 1 Такой определитель, как известно, равен нулю.
Это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает невозможность равенства (21). 216. Ранг матрицы Якоби. Переходя к общему случаю, введем следующее определение. Назовем рангом матрицы Я ко б и (19) (в о б л а с т и ~®) наивысший из порядков определителей, образованных из элементов этой матрицы и не обращающихся в нуль т ождеств енн о в З. Может, конечно, случиться„что все элементы матрицы (19) тождественно обращаются в нуль; тогда говорят, что ранг матрицы есть 0; но этот случай не представляет интереса, ибо здесь попросту все функции у„у, ...,ут сводятся к постоянным [1831.
Если ранг матрицы (19) сеть д 1, то существует хотя бы один определитель д-го порядка, составленный из элементов матрицы (это, конечно, предполагает и1~)1 и н~д) и не равный в чл тождественно нулю, в то время как все определители порядка выше 11 (если таковы имеются) тождественно равны нулю. Говорят, что ранг д д о с т игаетс я в некоторой точке области, если, упомянутый определитель д-го порядка именно в этой точке отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
