Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. характеризуют точечное и р е о бр аз ование пространства (юги его части). Зависимости между х, у и г отвечает зависимость между б и и е, так что каждая поверхность $ преобразуется при этом в некоторую поверхность К. дг дг Мы видели, что значениями х, у, г, — и — однозначно определяются значеде де ' ' ' дх ду ния г, и, е, — и — . Вспоминая уравнение касательяой плоскости ~189 (б)): дг д» дг дг У вЂ” г = — (Х вЂ” х)-1- — (У вЂ” у), дх ду отсюда легко заключить, что двум касающимся в точке М поверхностям Я, и 3з отвечают в рассматриваемом преобразовании две поверхности Э г и 81 „также касающиеся в точке Р.
Точвчвсг лреобуазовалие лрсстролства сохрсвхет ьасяале [ср. ниже пример 7)). у= гпп 6, х= гсов 9, по образцу формул 110) имеем дг , дг дг — = — гз)п 9 — -гусов  —, дВ дх ду' дг дг дг — — -соз — +з)п 6— д» дх ду откуда дг дг соз В дг — =5)п 9 — -~. ду дг г 69 дг дг пи В дг — =соя  — — — —, дх дг г дВ' (25) 222.Прямеры.1) Переход к полярным координатам. Пусть г есть функция точки на плоскости г=ДМ). Обыкновенно положение точки определяется ее прямоугольными координатами (х, у), так что г является функцией от переменных х и у. Часто, однако, оказывается более удобным характеризовать положение точки полярными координатами г, 9, и тогда возникает необходимость преобразования к новым переменным.
Проделаем этот переход различными методами. П р я и о й м е т о д: независимыми переменными считаются г, 6. Исходя из формул преобразования 494 ГЛ У!. ФУНКЦИОНАЛЪНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ1 ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [222 д'х д / дх з|пВах! япВ д / дг зшВда) — = соз  — 1 сов 0 —— — 1соз9 — — — — .= дхз дг~ дг г 99) г 68 ( дг г 96> дтг 2з|п В сов В д'з з!па 6 азх 2з|п В сов В дг яп'6 дг =сор 6 —, + дгк г дг 08 г' дВ' г' 98 г дг Аналогично наводим дез . дзх 2зш В сов 0 дзз соз'В д'л 2яп В сов В да соззВ дт — =з|п' 0 — — |- ду' дгз г дгдВ гз д8' гз дВ г дг и т.
д. Обратный метод: независимыми переменными считаются х, у. Для дг того чтобы воспользоваться формулами (11), нужно знать производвые —, ав аг ав дх — — — Ик можно найти, разрешен предварительно уравнения, связываюах' ду' ду щие старые переменные с новыми, отвея>тельно последнии. Но можно воспользоваться методами дифференцирования неявных функций, не разрешая уравнений.
Если продифференцировать формулы преобразования по х и по у, считая г и 6 функдвями от х и у, то получим дг дВ аг аВ 1=сок 9 — — гз|п 9 —, О=яп  — +г сов Вв дх дх дх ах дг дВ 1=зш  — 4г сов 0 — . ау ау' д ав 0 — соз  — — ~ з|п  —, ду д> Отсюда дг 08 зш 8 дг 96 соз — =сов 9, — = — —, — з|п 6, дх ' дх г ' ду ' ду и по формулам (11) — мы возвращаемся к выражению (25), и т. д.
Метод вычисления дифференциалов. Пусть, как и только что, независимыми переменными будут х, у. Дифференцируем полным о бра лом формулы преобразования г/к=сов Вдг-гзшВ 08, ду=з!и 6 дг+гсозВд9; отсюда — з1п 6 дх-Рсоа В >/у г/г=соз В дх-~-з!и 9 ау, г/В= так что дг дх / дх япВда| / дт созВ дх) лз'-. >/г.~. — г/6 = ~соз 6 — — — — ~ >/х.~. ~з|п 0 -|- — — — ~ еу дг д9 ~ дг г дВ~ ~ дг г 99~ что снова приводит к выражениям (25). зшВ созВ так что выражения соз В, — —, яп 6, играют здесь роль козффвциентов г г А, В, С, />. Затем„ 466 222! 1 4.
ЗАмннА пеунменньгх Вторичное дифференцирование формул для г(г и 4(0 дает: в!пв В 4(хв-2 яп 0 соь В Их г)у+соь' 0 Ыув дгг= -ьш 6 г)0 г(х+ з В ИВ 4— — г(соь В ьгх-,"ь!и 9 ду) д — (соь В 4(у — ял В дх) дг ичз =- 2 ь!и В соь В Ихг — 2(соы 0 — яп' В) йх г(у — 2 яп 0 соь 0 4(уь Тогда для ачг будем иметь: д'х д'г д'г дг дг ичг = 4(тв+ 2 — й' дВ+ — 4(94+ — дьг.(- — ачВ = д" дгдв дяв ' дг 66 соь' 6 (' д'х 2яп ВсозВ д'х вш'9 д'х япв 9 дг †-+ + дгь г де дз г' ддв г дг 2 з!и 9 сов В дг) — ~ 4(хь4-2(...) дх Ф-Ь(...) 4(ув, 96~ вв откуда для вторых производных —, ...
получатся те же иыражения, что и выше. длз Рассмотрим, для примера, выражения С помощью найденных формул оли преобразуются так: (дг)в 1 (двП д'в 1 дьг 1 дв (дг~ г' (дв~ дгь г' д6' г дг 2) Переход к сферическим координатам. В пространстве роль, аналогичную полярным координатам на плоскости, вграют так называемые сферические к о ординатм 9, р, 9, с которыми прямоугольные координаты х, у, х связаны с помощью формул х=рзшрсозВ, у=рвшрь!пВ, в=ос»ар.
Пусть требуется преобразовать к переменным 9, р, 9 выражения где и есть некоторая функция точки в пространстве. Если преобразование произвести в два приема, полагая сначала х=гсоз 6, у г зш 9 (и оставляя х неизменным), а затем х = 9 сов вь г = 9 вш р (оставляя В неизменным), то можно будет воспользоваться результатами примера 1).
Например, для второго выражения имеем д'и д'и д'и 1 дьа 1 да — -~- — — + — — + —— дх' дуь дг' г' дз' г дг (дви д'и'! ! д'и 1 д» Вгв= ~ — Ь вЂ” ~+ — — Š— —. дг' дг' г'дзв г дг ! ж зАменА певеменных 497 4) Преобразовать уравнение д'ж дги д'и дгиг дев дги хз — 1-у' Ч-з' — >ух — .-Ьгх . — +ху — . = О дх' ду' дг' ду дх дх дх дх ду к новым переменным г, и, е по йюрмулам х= ив, у= еб х ги. П рамой метод.
Считая независимыми переменными г, и, е, будем иметь ди дгг ди дж ди дж дж ди дж ---= — г 4 —.и, — = — е-'; — -г, — = — ич — !. дг ду дх ди дх дх де дх ду Отсюда ди 1 дж ! ди 1 ди х — =- — — ! — г — и — -1- — ив дх 2 д! 2 ди 2 ди ' ди 1 диг 1 ди 1 г)и у — --! — --и — 4- е —, ду 2 д! 2 ди 2 дс' дж 1 ди ! ди 1 дж с — =-! — +-и — — — е - —.
де 2 д! 2 ди 2 де Далее, г)гге д х' — =х —, дхг г)т 1 )= ди ) д ! 1 ди' 1 диг 1 дж х — — — ж).=х — ) — -! — -+-и —,+- е — -и) = дх ) дх ), 2 гг! 2 ди 2 де 1 д'ж ! д'ж ! дги 1 д*иг = — !" — 4 — из — 4 — ез — + — ие — -.— 4 д!' 4 дьл 4 де' 2 диде 1 дги 1 дсж 3 дж 1 ди 1 ди — — е! — — — — ги — +-! — — — и.— — — е —, 2 де д! 2 дгди 4 д! 4 ди 4 де дси д/ диг1 д (! ди 1 ди 1 ди) гх — =! — !у — ) =-з — ~ — ! — — — и — '- — с — -) = дуд! дх! ду) дз)2 д! 2 ди 2 де! !,дгж 1 дги 1 д'иг ! дгж 1 ди 1 ди 1 ди =.— М вЂ” — -- ие — — — ес — Ч вЂ” ие - + — ! — — — и — — — е —.
4 д!' 4 ди' 4 де' 2 диде 4 д! 4 ди 4 де До сих пор заменялись лишь нсзависимыс переменные; приведем примеры, где замене подвергается и фунхция. д д. 5) Преобразовать уравнение хз — еу' — =х', полагая дх ду ! ! у= 1-1- ги 1+ ге П р я м о й м с т о д. Независимые перемевныс! г, и. Дифферевцируем третью из формул преобразовання по ! н по и, рассматривая переменные х и е как функции от г, и (первую — через посредство х, у): де 1 — !'— д! д 1 д! д/ — !' !' д дх ду !14 ги)з (1еге)" ' ду 1! — ги)с (1+!с)с ди ЗЗ Г. М.
Фвгггвгольи, г. ! и т. д. Сложив все подобные выражения (и отбросив числовой множитель), получим прсобразонанное уравнение в виде дгиг дсж дги !' — Ргр — 4 — =О. д!' ди' дез 498 ГЛ. УС. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [Ш Отсюда дк 1 С дю дю) д. [1+ад дю Э [1+Се) [ Э Эи)' ду [1+Се) дсс' Преобразованное уравненяе после сокращения будет иметь вщс: дю — =о.
дс Решим ту же задачу вначе. О б р а т и ы й м е т о д. Выразим из формул преобразования новые переменные через старые: 1 1 1 1 с=х, и= — — —, с= — —— у х к х и будем считать независимыми переменными х, У. Дифференцируя третью формулу по х и по у [ю зависит от них через посредспю с, и), найдем: 1 дх 1 дю дю 1 1 дх дю 1 + =, + —— х' дх х' дс ди х'' а' дУ ди зв нлн д [1 дю [д) дк дю — сс и т. д. дх ~* Эс х Эи)' ду ди 6) Выражение д'х д'с д'г СР= — -2 -- — +— дх' дх ду ду' У преобразовать к переменным с=хеу, и= —, ю= —. х х Метод вычисления дифференциалов.
Незаввсимьсеперемеииые: х. у. Диффереицируем формулы преобразования: У 1 эс =йхч-ссу, йи= — — ссх-ь — с[у, х* х Если ю рассматривать, как функцию от х, у через посредство с, и, то дифференциал ссю напишется так: Эе д дю Эю[ у с[ю — с[С+ — с[сс = — [с[хьс[у)+ — ~ — — сух+ — с[у) .
дс ди дс ди ~ х" х Сопоставляя даа выражения для с[ю, находим х дю дю [ ~й=-сух+ — [с[к+с[У)+ ~ — — с)х+ СУ~. х дс ди~ х Составим теперь вторые дифференциалы от новых переменньпс 2у 2 Эсг = О, вил= — а[те — — дх Эу, ха хз 2 2с, 1 ЭЪ= — их ис+ — с[х + сс с. Р С другой стороны, дзю дсю д'ю де де с[ею - — с[се+ 2 — — с[с с[и + — с[ссз+ — с[зг-~- — с[свдс дс ди ди' дс ди дсю дсю с' у 1 — [с[к+4)с~-2 — (йх+йу) ~- — йх+- с[у)+ дсз дс ди хз х д~ [ у 1 )з дю [2у 2 Ф вЂ” ~ — — с[к+ — 4~ + — — Эхз- — с[хс[у) .
диз ~ х" х с[ ди [тхе х' 1 к заминх пигемииных 499 Приравнивая оба выражения для дзе и заменяя с(х полученным выше его выражением, придем к равенству, из которого определится йзг: ахсх дс де ( у )1 22 ичг = 2 — ~ — Их+к — (асхабу) г — ~ -- Ых+ есу)( — — дх'+ х х дс ди~ х )! х' ГС'е, „д е у 1 ох ~ — (сух+ с(у)з-ь2 (дх+ с(У) — — ссх !. — ьсу) -~- !д дс8 дге( у 1 П де/2у 2 —, ~ — —, И~+ — с(у) -!.— ~ — с(Н- — ~Басу)1. дсй хз х ) ди (хс хе дзг дзх дсх Отсюда можно определить производные — -, — -, — как козффидхз ' дхду ' дуа циенты при дх'; 2дх с(уз с(уа.
Но нужный нам результат можно получить проще, заметив, что ииз переходит в И', если взять Ых= 1, с(у =. — 1. Таким путем находим: (х.~.у)з дсе (1.~.и)з две д с д' дх дг дх и= —, о.— — х — фу — — г. ду ' дх ду дх дх Разумея под з некоторую определенную функцию от х и у: г=у(х, у), будем предполагать ее такой, что В(с. и) д'х д'х ( д'х )з у=- = — — — ~ — — ) иб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
