Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 97
Текст из файла (страница 97)
518 Гл. чн. НРиложения диФФеРенцилльного исчис!!ения 1228 Как и в случае плоской кривой, к явному заданию в основном, сводятся и другие аналитические нредставления нространственной кривой. Каждое из уравнений (9) может быть истолковано либо как уравнение проекции нашей кривой на координатную плоскость, соответственно, ху или хг, либо как уравнение п роек тирующе го цил и н д р а 1см. (3)1 с образующими, параллельными, соответственно, оси г или оси у. Более общий способ задания пространственной кривой состоит в том, чтобы рассматривать ее как пересечение двух поверхностей вообще. Если эти поверхности выражаются каждая одним из нижеследующих уравнений Р(х,у,г)=0, 6(х,у,г)=0, (10) то совокупность обоих уравнений дает аналитическое представление кривой пересечения.
Уравнения (1О) называют н е я в н ы м и уравнениями кривой. Составим матрицу из частных производных от функций Г и б Я:! ") (11) Пусть какой-нибудь из определителей этой матрицы, например, 61 6; отличен от 0 в рассматриваемой точке. Тогда на основании теоремы 1У н' 208 в окрестности этой точки уравнения (10) могут быть заменены уравнениями типа (9) (причем фигурирующие в этих уравнениях функции снова оказываются непрерывными вместе со своими производными).
Таким образом, возможность сведения к простейшему способу задания перестает быть обеспеченной лишь в окрестности такой точки кривой (ее называют о с о б о й), где все три определителя матрицы (11) одновременно обращаются в нуль. 228. Параметрическое представление. Перейдем, наконец, к параметрическому заданию поверхностей и кривых в пространстве, причем на этот раз начнем с кривых.
Подобно тому как мы это делали на плоскости, координаты переменной точки и р о с т р а нственной кривой можно задать в функции от некоторой вспомогательной переменной — п а р а м е т р а х=9!(!), у= р(!), я=2(!), (12) с тем чтобы при изменении параметра г точка„координаты которой даются этими уравнениями, описывала рассматриваемую кривую (в случае явного задания (9) роль параметра играло само х).
5 ь АнАлитическое пРВдстАВление кРиВых 5!9 Если для взятой точки кривой хоть одна из производных х,', у'„к,' отлична от О, то — как и в случае плоской кривой — легко в окрестности этой точки перейти от параметрического к явному заданию. Лишь в окрестности особой точки, где все эти производные — нули, нельзя гарантировать такую возможность. Как и в случае плоской кривой, к числу о с о б ы х следует отнести и так называемые кратные точки, т. е. точки, получаемые при двух или большем числе значений параметра к).
Обратимся к параметр иче с к о му представлению п оверхностей. На этот раз определение положения точки на поверхности потребует д в у х параметров (в случае явного задания (6) роль этих параметров играли две из координат: х и у). Пусть имеем уравнения =5(и, о), у=р(и, о), г=т(и, о), (13) где (и, о) изменяется в замкнутой области А. Составим матрицу (14) и предположим, что для и = и и о = о отличен от О хоть один из опре- делителей этой матрицы; например, пусть Тогда, переписав первые два из уравнений (13) в виде у(и, о)-х=О, у(и, о) — у=О, на основании теоремы 1У и' 208 можем утверждать, что этой системой двух уравнений с четырьмя переменными и, о, х, у (если ограничиться значениями их, близкими к интересующим нас) переменные и, о определяются, как однозначные функции от х, у: и=я(х,у), о=л(х,у), непрерывные со своими производными. Наконец, подставляя эти выражения и и о в третье из уравнений (13), придем к обычному представлению поверхности явным уравнением к = уфх, у), Ь(х, у)) =1(х, у), где и функция 1 непрерывна н имеет непрерывные производные.
Лишь в том случае, если все три определителя матрицы (14) одновременно обращаются в О (соответствующая точка поверхности будет о с о б о й), такое представление может оказаться неосуществимым, *) См. сноску нн сто. 505. 520 Гл. уп. пРилОжения диФФЛРенцилльнОГО исчисления [229 Читателю ясно, что в связи с параметрическим представлением поверхности так же может бьггь установлено понятие о и р о с т о й и к р а т н о й точках поверхности: первая получается лишь при одной системе значений (и, о) параметров, а вторая, по меньшей мере, — при двух*). Возвращаясь к параметрическим уравнениям (13) поверхности, фиксируем в них значение одного из параметров, например, положим и=ив.
Тогда получатся, очевидно, уравнения некоторой кривой х =9 (ле о), У = ~Р(лс, о) л = Х(ие о), всеми точками лежащей на поверхности. Изменяя значение и, получим целое семейство таких сириных (и)н Аналогично, фиксируя значение и= ее, получим также кривую на нашей поверхности =Р(л,ое), ) =У(л,ое), 2=2(п,ос)' из таких «кривых (о)з также составляется целое семейство. Так как значения и н о можно рассматривать как к о о р д и н а т ы точек на поверхности, то эти линии называют координатными линиями поверхности. Если точка поверхности простая, т. е.
получается лишь при одной системе значений (и, о) параметров, то через нее проходит по одной координатной линии из каждого семейства. Обозревая различные способы аналитического представления поверхностей [см. (6), (7) и (13)1 и пространственных кривых ((9), (10) и (12)), мы могли бы повтог рить сказанное в конде и' 223. В окрестности о бык но ве иной (и простой) точки дело сводится к наглядному случаю я в но г о задания.
229. Примеры. 1) К р и в а я Вивиани. Так называется кривая пересечения поверхностей сферы и прямого пилиндра, для которого направляющей служит окружность, построегщая на радиусе сферы, как на диаметре Рис. 127. (рис. 127). Пусть радиус сферы есть Л1 если расположить оси, как указано иа Рисунке, то уравнения сферы и пилиндра, соответственно, будут ха+уз+ха=де, хя+)е Лх. Совокупность их и определяет нылу кривую. ) Отметим, что в случае замкнутой поверхности (т.
е. поверхности, не имеющей контура, например, сферической), ее точки заведомо ие могут быть поставлены в взаимно однозначное соответствие точкам плоской области Л на плоскости ие. В этом случае наличае кратных точек неизбежно прн любом параметрическом задании. 1 «АНАЛИТИЧЕСКОЕ 11РЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ 521 22э9) Кривая имеет вид изогнутой восьмерки; в точке (й, О, 0) она сама себя пересекает, так что эта точка — наверное о с о б а я.
Это подтверждается и вычислением. Матрица (2х — й 2у 0~ нмеет определители 2у2~ ~2 2х 2х 2у ~.= -4уг, = 4хг- 2йг, = 2йу, 2 О~ ~О 2х-й 2х-Я 2у которые все вместе обращаются в 0 именно в этой точке. Кривую В и в н а н и можно представить и параметрически, например, так2 х-Я«1пз1, у=йзшгсозг, 2-ЯСОЗГ. (15) х=лсоз —, с з у=лаю с 3) Рассмотрим сферическую поверхность радиуса Я с цеытром в начале (рис. 129). Ее неявное уравнение будет, как известно, Хз-гу22 Гз= йз Действительно, нетрудно проверить, что эти выражения тождествеыно удовлетворюот ыеявным уравнениям кривой и что при изменении параметра г, скажем, от 0 до 2л, полностью описывается вся кривая. Точка (Я, О, 0) получается дважды — при л 3л и г= —, т.
е. является кратной, 2 2' как и следовало ожидать. 2) Есть случаи, когда параметрическое представление естественно вытекает из самого происхождения кривой. Рассмотрим, в вине примера, в и н т о в у ю л и н и ю. Происхождение ее можно себе представить следующем образом. Пусть ыекоторая точка М, находившаяся первоначально в А (рис. 128), вращается равномерно закрут оси х (ска- 2 ~ 1 жем, по часовой стрелке) и одновременно участвует в равномерыом же посгупательном движении параллельно этой оаи (допустим, в положительном направлении).
Трае«торил точки М и называется винто- Ф- в о й л и н и е й. За параметр, определяющий положение точки М, можно принять угол г, аоставляемый а осью х проекцией У' Р ОР отрезка ОМ. Координаты х и у точки М будут те же, что н у точки Р, так что Риа. 123. х = л соз г и у = а 21п г, где л есть радиус описываемой точкой Р окружности. Что же касается вертикального перемещеыия з, то оно растет пропорционально углу поворота г (ибо поступательное и вращательное движения оба происходят равномерно), т.
е. г= сг. Окончательно параметрические уравнения винтовой лиани будут х=асозс, у=лип 1, з=сс. Полученная винтовая линия называется л е в о й; при правой системе координатных осей те же уравнения выражали бы и р а в у ю винтовую линию. ЛЕГКО ИСКЛЮЧИТЬ Иэ урааисвнй (1эг ПараМЕтр Г И ПЕрЕйтИ К яВЫОМУ ЗадаНИЮ; например. найля г из последнего уравнения и подагавив его выражение в первые два, получнм 522 гл. Ун. пенложения див вееенцилльного исчисления 1229 Желая получить ее обычное параметрическое представление, проведем !экваториальное сечение АКА; а через ьполнюыь Р, Р' и рассматриваемую точку М вЂ” !меридиан! РМКР'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
