Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 96
Текст из файла (страница 96)
1) Архимедова спираль: г=аа [рис. 122). Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. 513 1 1. АнАлитическОБ НРедстАвление кривых Для построеввя ряда точек А, В, С, Э,... кривой отложвм по вертикали ОА=а —, а затем возьмем ОВ=2ОА, ОС-ЗОА, ОЮ=4ОА и т. д., ибо вм отве- 2 чают углы 2 —, 3 —, 4 — и т.
д. Изменяя угол В от О до, получим бесконечное 2 2 2 множество юпхов кривой ОАВСВ, .ОЕВОгТ,...; расстояния соседних витков, считая по лучу, равны 2ял. Можно углу В прццавать и отрицательные эвачеввя, от О до — -. Тогда получится вторая часть кривой ОАВСР'..., намеченная пунктиром; оиа симметрична с первой. Заметим, что уравневие г-аВ+Ь также выражает архимедову спи- Ь р а л ь: если повернуть полярную ось на угол и = — —, то зто уравнение приведется к вццу г аВ. е е 2) Гиперболическая спираль: г= — (рис. 123). 6 При возрастании угла 6 до бесконечности радиус-вектор стрезппся к нулю, а точка кривой стремится к совпадению с полюсом (никогда его не достигая); а Г=— В Рис. 123.
в этих условиях полюс называется а симл то ти чес к ой точкой кривой. Кривая бесчисленное множество раз заворачивается вокруг полюса. л 4а 1 1 Есле на луче 6=- отложить отрезок ОА= — и взять АВ= — ОА, ОС=- ОВ, 4 л 2 ' 2 1 ОВ=- ОС, ..., то точки А, В, С, В, ..., очевидно, лежат на кривой. 2 Угол В может принимать и отрицательные значения. Прв изменении В от О до —, хак и в случае архимедовой спирали, получается вторая часть кривой А'ВС')У ..., симметричная с первой; она и здесь намечена пунктиром.
Для уточнения формы кривой в бесконечности рассмотрим вертикальное з)п 6 расстояние точки кривой до полярной оси у гзш а=а —. При г и или— В что то же — при В» ~О имеем 1нпу-а. Таким образом, прямая, проведенная параллельно полярной осв иа расстоянии л от нее, служит для кривой а с и м ит о т о а. 33 Г. М.
Фааааагааьа, с 1 514 Гл. чгк НРиложпния диииыринщчяльноГО исчисления [226 3) Логарифмическая спираль: я=неги (рис. 124). Если угол В возрастает (или убывает) в арифметической прогрессии, то г возрастает (убывает) в геометрической прогрессии. Отложим на полярной оси отрезок ОА = а, а на верпвшли к ней — отрезок ОВ= ае я; обе точки А, В принадлежат нашей кривой. Если постронть теперь прямоугольную ломаную АВС))Е. ° ., Рис. 124. то из подобия треугольников нетрудно заключить, что отрезки ОА, ОВ, ОС, ОО, ОЕ, ...
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем е '. так как л л л соответствующие углы суть О, —, 2 —, 3 — и т. д., то, очевццно, все точки С, ' 2 2 2 О, Е, ... также лежат на рассматриваемой спирали. Когда угол В растет от 0 до +-, точка делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, б ы с т р о удаляясь от него в бескоыечность; расстояния между витками уже не равны.
Угол В может принимать и отрицательные значения; когда В стремится к —, то радиус-вектор г стремится к О. Кривая бескоыечное множество раз заворачивается вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь (но никогда не достигая, см. часть АВ'С'ЕУЕ'... ыа рис. 124)1 полюс является а с им пт оти ческо и точкой кривой. Отметим, ыаконец, что, поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добипся уничтожения множителя а и привести уравнение логарифмической спирали к простейшему вцлу: г= ела.
4) Улитки: г асов В+Ь (рис. 125). Происхождение этих кривых можно себе представить так. Возьмем окружность диаметра а. Если выбрать полюс О лежашим на самой окруяшости, а полярную ось провести через центр С, то для любой точки М окружыосш, очевидыо, будет г= а соэ В. Это и есть полярное уравнение окружности.
Если изменять здесь угол В от 0 до 2Ш то переменная точка д в а ж д ы опишет окружность (против часовой стрелки). Если удлинить теперь все радиусы-векторы ОМ' окружности на постоянный отрезок М'М=Ь (Ь О), то из построенных таким путем точек М сосшвится новая кривая, которая и ыосит общее назваыне у л и т к и. Ее полярное уравнение, очевидно, будет г=а соя 6+Ь. Проще всего обстоит дело, если Ь а, ибо тогда радиус-вектор всегда положителен и кривая окружает полюс со всех сторон (рис. 125а). При Ь«а крявая проходит через полюс и.
сама себя пересекая, образует внутреннюю петлю, как 515 22В) 1 ь АБАлитичнскОВ ПРВдстАвленин кРиВых на рис. 125 б. Для определения углов В, при которых переменная точка проходит через полюс, полагаем г= 0 в уравнении кривой. Мы получаем уравнение соз 9- Ь = --, которое нмеет решение именно потому, что Ь а. и Особенно интересен промеж)точный твп кривой, отвечающий случаю, когда Ь=а.
Здесь полюс лежит на кривой (В=л), но петли нет; кривая изображена на рис. 125 в. Сразу бросается в глаза тождество этой кривой с кардио идой, рассмотренной выше, как часгаый случай эп и цикл о ид ы (рис. 120). Представляем чвтателю убедиться в этом, Я'М= Ь>л Ь(д(=Ь<п Рис. 125. 5) Лемннската Бернулли: г' 2а'соз26 (рис. 12б). Эту кривую можно определить как геометрическое место точек М, для которых произведение их расстояивй р = РМ н р'= Г'М до двух даввых точек г н Е', отстоящих одна от другой на расстояние 2л, есть постоянная величина а' *).
*) При указанном соотношении между расстоянием ХТ' и постоянной величиной произведения Я, очеюшно, середина 0 отрезка ЕЕ' принадлежит кривой (Р = р'= а). Иначе обстоит дело, если рр'= Ь*, где Ь в а, тогда получаются так называемые овалы Кассини. зз 516 гл. уп. пРиложннил днффнгянцияльного нсчислнння 1227 При обозначениях рис.
12б из треугольников ОМГ и ОМЕ' имеем В'= г'+а'+2аг соз В, В'= гз-ь аз-2аг соз В, так что, по определению, Взр'з (гз+ оз)з 4озгз созе 9 дз откуда после элементарных преобразований получим г*-2а' соз 29. Эю и есть полярное уравнение лемнискаты. Так как левая, а с ней и правая часть этого уравнения не может принимать отрицательных значений, то угол 6 может изменяться лишь в такик промежутках, Рлс. 12б. для которых соз 26мо.
Это будут промежутки Вся кривая расположится в двух вертикальных углах между прямыми оо л Зл и ТТ, проведенными под углами — и — к полярной оси (см. рисунок). Она сама 4 4 л Зх 5л 7л себя пересекает в полюсе, которому отвечают В = — , — , — , — . 4 4 4 4 Если обычным образом пермттн к прямоугольным координатам, то легко; получить такое (неявное) уравнение лемиискаты: (хз+ уз)з = 2аз(хз — уз). 227.
Поверхности и кривые в пространстве. Мы не предполагаем здесь углубляться в приложения дифференциального исчисления к геометрии в пространстве, оставляя эти вопросы для специального курса дифференциальной геометрии. Поэтому в отношении пространственных образов мы ограничимся лишь тем, что необходимо для дальнейших частей самого курса анализа. Как и выше (напомним это еще раз), все рассматриваемые функции будемпредполагать непрерывными и имеющими непрерывныее про и з в одн ые по своим аргументам. 1 е АИАлитическое ИРедстАВление кРиВых 517 2271 Будем исходить из прямоугольной системы координатных осей Охуг. Нам приходилось уже говорить о том, что поверхность в пространстве может быть выражена уравнением между текузцнми координатами вида в=7'(х, у) (6) (см., например, 1бО).
Такое уравнение, равно как и аналогичные ему х=е(у, г) и у=й(г, х), мы будем называть яви ым уравнением поверхности. К этому простейшему случаю, в известном смысле, сводятся и другие способы задания поверхности. Часто случается, что поверхность выражается уравнением вида Р(х, у, г) =О, (7) не разрешенным относительно той или иной координаты (н е я в н о е задание). Если в точке (х„ув, г,), ему удовлетворяющей, хоть одна из частных производных Г„'(х„у„гч), рз(хв, ув, гв), Г;(х„у„г,) отлична от О, то в окрестности этой точки поверхность представима я вн ы м уравнением того или иного типа.
Действительно, если, например Р;(хм ув, г,) ИО, то по теореме П1 п' 208, по крайней мере в окрестности рассматриваемой точки, уравнение определяет г, как однозначную функцию от х и у: г=у'(х, у) (н притом — непрерывную вместе со своими производными по обоим аргументам). Таким образом, исключение может представиться лишь в о с об о й точке поверхности, удовлетворяющей сразу трем условиям: Р„'=О, Р'=О, Р;=О. Уравнение (8) Р(х,у)=0, нс содержащее вовсе одной из координат, также может быть истолковано как уравнение поверхности. Именно, на плоскости ху оно выражает кривую; если на ней, как на направляющей, построить ц и л и н д р и ч е с к у ю поверхность с образующими, параллельными оси г, то все точки этой поверхности, и только они, будут удовлетворять рассматриваемому уравнению (поскольку г в него не входит и ничем не стеснено).
Аналогично истолковываются уравнения вида б(у, г) = 0 или Н(г, х) =О. Обратимся теперь к кривым в пространстве. Простейшим способом задания кривой в пространстве является тот, когда д в е текущие координаты, например, у и г, задаются в виде функций от третьей, х: у = у(х), г = я(х). Подобный способ есть естественный аналог я в н о г о задания кривой на плоскости. И здесь уравнения указанного типа можно было бы называть явными уравнениями кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
