Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Таким образом, касательная (9) всеми точками лежит в касательной плоскости (10). Мы можем, следовательно, теперь определить касательную плоскость к поверхности в заданной на ней точке, как такую плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным по поверхности через эту точку «*). Если поверхность задана н е я в н ы м уравнением с(х, у, з) =О, то, предполатая Р;м0 в рассматриваемой точке, в окрестности ее 2341 533 3 а кАСАтельнАя и кАСАтавънАЯ плоскость можно выразить поверхность и я в н ы м уравнением к =Лх, у), так что существование касательной плоскости обеспечено.
Так как в этом случае д~ ~'к йг Еу р= — = ° ч= — = — —. дх Г;' ду Гр' то, подставляя эти значения р и д в уравнение (10), легко преобра- зуем его к вццу Г„'(х, у, г)(Х вЂ” х) ь Г;(х, у, г)(У-у) ь Г;(х, у, г)(У вЂ” г) =-О. (12) Г(х,у, г)=0, 6(х,у, г)=0, т. е. представляющей пересечение двух соответствующих поверхностей. Если рассматриваемая на кривой точка — обыкновенная, то в ее окрестности кривая может быть выражена и явными уравнениями 1227Ь так что существование касательной обеспечено. Эта касательная, очевидно, лежит в пересечении касательных плоскостей к упомянутым двум поверхностям и, следовательно, выражается уравнениями Г„.(Х вЂ” х)-> Г,(У вЂ” у) -~ Г;(У вЂ” х) =О, 1 6„'(Х-х)~-6;(Х-у)+6;(Х-к) — -О.
1 (13) 1Так как в обыкновенной точке для матрицы коэффициентов хоть один из определителей отличен от О, то этими уравнениями, действительно, определится прямая.1 4' Возвращаясь к поверхности, перейдем, наконец, к случаю, когда она выражается параметрическими уравнениями: х=у(и, е), у=у(и, с), я=у(и, и). Снова ограничиваемся обыкновенной (и простой) точкой; так как (2Щ в ее окрестности поверхность может быть выражена и я в н ы м уравнением, то существование касательной плоскости обе- спечено.
Уравнение ее может быть написано в виде А(Х-х)+ В(Х вЂ” у)+С(2-х) =О, (14) где коэффициенты А, В, С еще подлежат определению. Если в уравнениях поверхности закрепить за е значение, отвечающее выбранной точке, то получатся уравнения координатной линии Очевидно, в таком же виде представится уравнение касательной плоскости и в случае, если Г,'=О, но какая-нибудь из двух других производных Г„',Г; отлична от О.
Лишь в особой точке это уравнение теряет смысл (и вопрос о касательной плоскости остается открытым). 3' Теперь легко сообразить, как найти касательную к кривой, заданной двумя неявными уравнениями; 534 ГЛ. УП. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО!О ИСЧИСЛЕНИЯ 1235 (якривойт (Р)1), проходящей через зту точку. Касательная к этой кривой в указанной точке выразится уравнениями (см. (9)) Х-х Х вЂ” у Х вЂ” х хй уй яй Аналогично, фиксируя и, получим координатную линию другого семейства, проходящую через данную точку (<кривую (и)») и имеющую в ней касательную Х вЂ” х Х-у Х-я У„' Так как обе эти касательные должны лежать в касательной плоскости (14), то выполняются условия Ах,'+ Ву„'+ Сг„' = О, Ах„'-1.
Ву„'+ Се,' = О. В таком случае коэффициенты А, В, С должны быть пропорционалыты определителям матрицы Е::2 Обыкновенно полагают их равными этим определителям: А= " "~, В= " ", С=-~ ' ". (15) у„г,'~ "„' х, ~х„у, Теперь уравнение касательной плоскости проще всего написать с помощью определителя: Х-х ха х-у Ф Уа Уя (16) х„ Ее в обыкновенной точке оно, действительно выражает плоскость. Направляющие косинусы нормали будут А В соз2=--- -1- )1АЯ+ ВЯЧ- Ст х )1АЯ-~. ВЯ+ Сч (17) С СОЯ Р = — = — ==..= —..
я)А*+В*+С ' 235. Примеры. 1) Рассмотрим винтовую ли н и ю (рис, 128) х=асоя1, у=амп1, т-с1. х1= — лают, у1=аеоя1, 11=О В этом случае и уравнения яаеателы1оя имеют вил Х вЂ” х У вЂ” у Х-т — амп1 аеоя~ т 535 236) 1 2. кАОАтельнАЛ и кАсАтельнАя плоскость Направляющие косинусы касательной а5Ш Г и сО5 г с соя и=в соз 1) = —, сО5 У )гиз+ с' 7и'+с* )~аз+с Отметим, что соя у=солза следовательно, и у=соля(. Если представить себе виатовую лишпо навернутой на прямой круглый цилишгр, то можно сказать, что винтовая линия пересекает все образующие этого цилиндра под постоянным углом «), хя г' з 2) Эллипсоид: — + — + — 1.
аз Ьз сз Касательная плоскость получается по формуле (12), с учетом самого уравнения эллипсоида: хХ уУ хХ вЂ” ь — + — = 1. а' Ь' 55 хз у' 3) Конус (в т о р о г о порядка): — -Ь вЂ” — †, = О. аз Ьз с' Касательная плоскость: хХ Уу хл — ь — — — = О. аз Ьз с' В вершине (О, О, 0) конуса, которая является особ ой точкой, это уравнение теряет смысл, и касательной плоскости нет. 4) Кривая Вивиани (рик 127): хз+узч-2'=дз, х" +уз=их. Касательная выражается уравнениями (см.
(13)] хХ+уУ+2Х= йз, (2х-д)Х+2уУ йх. Эти уравнения перестают выражать прямую лишь в особой точке (й, О, 0). 5) Винтовая поверхность: х и сО5 с, у = и зш е, 2= Се. По формуле (16) уравнение касательной плоскости будет Х-х У-у Х-2 созе Иле 0 =О. — из)л е и соз е с С учетом уравнений поверхности это уравнение может быль упрощено так: и жп е Х вЂ” соз е У~- — Х= ие. с 236, Особые точки плоских кривых.
Здесь мы остановимся подробнее на поведении кривой, заданной неявным уравнением Г(х, у) =О, вблизи ее особой точки (х„уи). Не имея в виду исчерпать этот вопрос, мы хотим лишь познакомить читатели с главными типами *) Если поверхность цилиндра разрезать по образующей и развернуть, то винтовая линия превратится в прямую, которая все вертикали, естественно, пересекает под одним и тем же углом. Это соображение делает предыдущий результат совершенно очевидным. 536 гл.
чс! пгиложвння лиеегеянцихльиого исчисления [236 особых точек. При этом функцию Г мы предполагаем непрерывной н имеющей непрерывные производные первых двух порядков. Без умаления общности, можно считать х =О, у =0; это отвечает просто переносу начала координат в испытуемую точку. Итак, имеем Е(0, 0) = О, Г„'(О, 0) = О, Ру(Оф 0) = О.
Введем обозначения ан = Г"(О, О), а,з = Г„' (О, 0), аж = Гг*'(О, 0). Предполагая, что из чисел аи, асз, ал хоть одно — не нуль, мы станем классифицировать представляющиеся возможности в зависимости от знака выражения а,сс~з-а(з. Исследования настоящего п' теснейшим образом примыкают к исследо валн и я м и' 197 1' а„а„— а4 О. В этом случае, как мы знаем, функция г(х, у) имеет в начальной точке экстремум.
Значит, в достаточно малой окрестности этой точки Г 0 или Г 0 (исключая самую начальную точку, где функция обращается в 0). Иначе говоря, в упомянутой окрестности нет ни одной точки нашей кривой, кроме начальной: эта последняя оказывается изолировшсной точкой кривой. Примеры, иллюстрирующие рассматриваемый случай: х' -'; у' = 0 или (х'+ уз)(х -'; у — 1) = О. Начальная точка принадлежит обеим кривым и для обеих является изолированной. Но, в то время как первая вся состоит из одной точки, вторая, кроме иее, содержит еше прямую х+у=1, не проходящую через начало.
2' аца -азз .О. Как и в 197, в окрестности начальной точки можно представить Г(х, у) в следующем виде: Г(х,у)=-(а„хз+2а„ху+а уз+сс„хз+2сс„ху' а уз), 1 где все а 0 при х О, у О, или, если ввести полярные координаты о, ср: яз Х(х, у) = — (ац соя' суй 2асз созср ь[пср+ о з[пз р —,'-ас соьзУьйх соьсуь[псусань[пзсР). В рассматриваемом случае, если предположить еще а ~0, трех- член а + 2а, с л- аисз имеет различные вещессвенные корни г„сз (с,. гз) и разлагается на множители а (с — сс)(р — сД.
Положим, ср,=згс[яг„ срз=агссяг„так что г,=[яа„гз=[ясрз. Теперь легко преобразовать первый трехчлен в скобках (...) к виду а„созз сР л. 2а„сов уз[псу -' аж ь[п' У = а соьз сР(сд 9 - Сй <Рс)([й У - Сй суз) (18) 537 ззь1 3 Х КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Отсюда становится ясным, что прямые, проведенные через начало под углами ртн уз к оси х, — будем для краткости называть нх прямыми (уд) и (рт) — делят плоскость на две угловых области, в одной из которых упомянутый трехчлен сохраняет знак шпос, а в другой знак минусе) (рис.
136). Заключим теперь прямые (р,) и (у) внутрь двух сколь угодно узких угловых областей — двух пар вертикальных углов, содержа- щихсЯ, соответственно, междУ пРЯмыми (Рт-е) и (5зт-ье) или (1вз-е) и (уз+е) (эти углы на рис. 132 заштрихованы). Взяв круг доста- + точно малого радиуса г, вокруг + начала, можно утверждать, что — $1) =. по выделении упомянутых уг-,-. ' + лов — он разобьется на две угловых области, в каждой из которых уже сама функция Г(х, у) сохраняет определенный знак: в одной плюс, а в другой минус (см.
-.-: з рис.). действительно, так как при ~-.с - -+ изменении угла вне промежутков (уз — е, гр, +е) и Орз-е, сзз-ье) трех- член (18) не обращается в О, то Рис. 155. он остается по абсолютной величине большим некоторого положительного числа лз,. С другой сгоРоны, пРи достаточно малом д выРажение ит созз<Р+ 2хьз соя 7 зшсе+ вам е)па у по абсолютной величине будет меньше лз,. Отсюда и слелует наше утверждение (ср. рассуждение в 197, 1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
