Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 99
Текст из файла (страница 99)
119). Написав выражения для производных х! и ус в виде 1) к! =2ат(1+и!) в!и — сов ~т+ — ~ с, 2 ~ 2~ 1) Ус=2аси(!+л!)вш — ып ~т+ — ) с, г ~ 2)' найдем, что У! ! 1) !Ла=- —,=!я!(т+ — )1!. х, ( г)' 1) Отсюда и ~т+ — )! с, 27 Если соединить (рис. 119) точку В с М, то зта прямая составит с осью х как раз такой угол: с <хТВ = 4 ВОТ+ < ОВТ= тс+ — . 2 Следовательно, ВТ есть касательная в точке М, а МВ будет нормалью, 6) Эвольвента круга: х=а(се(п !+сов!), У=а(всп с — с сов!) (рис. 121). Зд У! !ни= — =!я!, х! откуда а - с.
Таким образом, касательная МТ параллельна радиусу ОВ, и ВМ есть нормаль к нашей кривой. Замечание. Результаты примеров 4), 5), б) можно было бы получить без вояках выкладок, исходя из к и исмат и чес ких соображений. При качении одной кривой по другой точка касания служит всякнй раз мгновенным центром для движущейся фигуры, так что яормаль к траектории любой ее точки проходит через эту точку касания. Вспомним (рис. 118), что с= 4МВдс, так что сМЕдс= —. Если продолжить 2 л прямую ЕМ до пересечения в Т с осью х, то х[ЕТх= — — = а, Следовательно, 2 2 прямая МЕ, соединяющая точку цшслонлы с высшей точкой катящегося круга (в соответствующем положении), н будет касательной. Отсюда ясно, что прямая МДс будет нормалью, Впоследствии нам полезно будет выражение для отрезка и нормали, которое легко получить из прямоугольного треугольника СМЕСЬ!.
Именно, 529 гл. Чн. приложения ДНФФеренцивльного исчисления 1232 х=г сов 0=1'(0) сов О, у-- г в1п 0=1(0) 91л О, причем роль параметра здесь играет О. В таком случае, по общей формуле (6), рр г„'ал 9+ гсов В 187Б =- —,= ББ 7'Б сов 9 7'Б!п В исследуется в полярных координатах, обычно определяют не углом а с полярной осью, а углом ю с продолженным радиусом-вектором (рис.
114 и 133). Мы имели уже (218, 4)) простую формулу Однако, если кривая положение касательной г 18со= —,. гв (8) Точно так же вместо отрезков 0 л, БЬг, БЬл, о которых была '.7ГГ речь в 230, здесь рассматривают '~7 другие отрезки. Проведя через полюс О ось, перпендикулярную к радиусу-вектору (эта ось вращается при перемещении точки), продолжают касательную и нормаль до пересечения с ней, соот/ ветственно, в точках Т и ЬГ.
Тогда отрезки ТМ и МЬГ называются полярными отрезками касательной и нормали, а их проекции ТО и 0777' на упомянутую ось — полярными подкасательной и поднормалью. Обозначать их будем, как и прежде, но помещая внизу в виде значка букву р. Легко получить, используя формулу (8): БЫр — — ТО = 7' 18 с7 г) ' БЬлр = 0777 = г с18 с7 = гс а отсюда уже Гр ='* ТМ 7Б7 гв + г,в ~ 7и = МХ вЂ” 777 гв + 232. Касательная в полярных координатах.
Вели кривая задана полярным уравнением г = г"(О), то, переходя обычным образом к прямоугольным координатам, получаем параметрическое представление кривой в виде В 2. КАСАТГЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 529 233. Примеры. 1) Ар хи меда на спираль: г=аВ (рис. 122). Так как гв = а, то »Ьан = а = сопя!. Это позволяет сразу устанавливать положение точки М, а с ней — нормали и хасательной. Заметим, что гй»е= 8, так что при В - и гн е», т. е, угол ю стремится к прямому. а 2) Гиперболическая спирал!с г=- — (рис. 123).
В а На этот раз г,'= — —, »Ьгн.— — а=сопя!, гго также облегчает очевидным обра- 8» зом построение касательной. 3) Л о гари ф ми ческая с пир алке г.=ее»»в (рис. 134). 1 Имеем »в=чае»»в, так что гнс»= — сопя!, и сам угол с»=сопя!. Таким обрат зом, логари4»мнческая спираль обладает тем замечательным свойством, что угол между радиусом-вектором и касательной сохраняет постоявную величину. Иными словами, логарифмичесная спираль пересехает все свои радиусы-векторы под постоянным углом.
Этим свойством Рнс. 135. Рнс. 134. она напоминает окружность, которая также пересекает радиусы-векторы, исходящие из центра, под постоянным (именно под прямым) углом. (Впрочем, и окружность можно рассматривать как частный случай логарифмической спирали, отвечающий га = 0.) 4) У л и т к и: г = а сов В + Ь (рис. 135). Отметвм, что »Ьлн= ге = — авщ В оказывается не зависящей от Ь. Таким образом, если взять лежащие на одном луче (из пощоса) точни различных улиток, отвечающих различным значениям Ь, то для всех этих точек полярная поднормаль будет общая, т, е. точка А» — одна и та же.
Но при Ь= 0 получается окружносп, для которой построение нормали очевидно; тогда легко построить нормаль и для лн»бой нз улиток (рис. 135). Из треугольника АЬ»ОА» вычисляется полярная нормаль: ян - '1'а»+2аЬ сов В+Ь'. 34 Г. М. Фю» голь», ». 1 530 ГЛ. ЧГЬ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЮ1НИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [234 Особенно просто выражение полярной нормали для кардиоидыч) (Ь а): В ЛР = 2л соэ — . 2 5) Л е м н и с к а т а: г' = 2ае соэ 2В (рис. 126).
Диффсрснцируем это равенство, считая г функцией от В; получим гг„'= — 2а' Ип 28. Разделив почлснно зти два равенства, ввиду (8), найдем г сй ы = —, = — сфй 28, ге л откуда о=28+ —. Обозначая через а и ф углы наклона касательной и нормали, м 2 л и = ы-~- В = ЗВ т —, 2 следовательно, а=За: угол н а к лона н о р мал и к л ем ни ск а те р авен утроенному полярному углу точкикасания.Этодаетпросгой прием построения нормали.
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности. [с В случае пространственной кривой, определение касательной остается буквально то же, что и для плоской кривой [91). Ограничимся здесь предположением, что кривая задана и а р а м е т р и- чески: Х =%(Г) У ='г(() Я = ь(1). Возьмем определенное значение г и, тем самым, определенную точку М(х,у,г) на кривой; пусть зто будет обыкновенная и простая точка [223). Придадим г приращение г[г, тогда нара- щенному значению Г-йА( параметра будет отвечать другая точка Мг(х->г[х, у-:Ау, г-йАг). Уравнения секущей ММг будут иметь внд Х-х Г-у Х-г Ах Ау г[я ' где Х, г', х, — текущие координаты. Геометрический смысл этих уравнений не изменится, если мы все знаменатели разделим на г[г; Х-х 1'-у х,-х Ах Ау Лг г[г г[г Ж Если зти уравнения в пределе, при г[г О, сохраняют определенный смысл, то этим будет установлено существование предель- *) Именно этот частный случай и изображен на рис.
135. 531 % Х КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТВЛЪНАЯ ПЛОСКОСТЬ 2341 ного положения секущей, т, е. касательной. Но в пределе мь1 получаем Х-х У-1 Х-г (9) ХС УС КС и зти уравнения, действительно, выражают прямую, поскольку не все знаменатели — нули. Таким образом, в каждой о быки о в е ни о й точке кривой касательная существует и выражается этими уравнениями. Для о с о б о й точки вопрос о касательной остается открытым. 3 а м е ч а н и е.
Мы переходили к пределу в уравнениях секущей при 2)с - О; покажем, что зто р а в н о с и л ь н о предположению, что ММ2 О. Ввиду непрерывности функций у, вь т, из 2(1 О следует, что и Для доказательства обратного заклсочення зададимся произвольным числом в О. Так как ММ, есть непрерывная функция от Лб то при Щ~в эта функция имеет наименьшее значение д, очевидно, положительное (так как взятая точка предположена п р о с т о й, т. е. не получается ни при каком значении параметра, отличном от 1). В таком случае ММ, д необходимо ~2)с~ «в, ч. и тр. д.
при Иногда уравнения (9) удобно писать в виде Х х У у Х к кх Иу ссс который получается из (9) умножением всех знаменателей на аск Если через а, р, у обозначать углы, составленные касательной с осями координат, то направляющие косинусы совсс, совр', сову выразятся так: сова=, совр= Х) Ус +1Я Л+Л' СЭ22Р+Л' 4 сову= * )хР+у(с+я,'* Выбор определенного знака перед радикалом отвечает выбору определенного направления касательной. Вопрос о касательной к кривой, заданной неявными уравнениями г(х, у, в)=О и 6(х, у, к) =О, мы рассмотрим ниже, в 3'.
2' Пусть поверхность задана явным уравнением 2 =Ях, у). Мы в 180 дали определение касательной плоскости и, 5Э2 ГЛ. ЧП. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1234 в предположении дифференцируемости функции Лх, у) «), нашли уравнение этой плоскости [180 (6)]: л, — з = У „(х„У)(Х вЂ” х) + Ут(х, У)(У вЂ” У). Обыкновенно обозначают Эв, йг — =1,(х, у) =р, — =У1,(х, у) = а и пишут уравнение касательной плоскости так: л, — з =р(Х- х) Ф д(У-у). (10) Если соэ )ч сов р, сов Р суть направляющие косинусы н о р м а л и к поверхности (так называют перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания), то для них имеем выражения р соз 1= — ==- == * ]11 ~ р« ~ в' СОЯ)1= Ь ]11Ч-р«+В' 1 ]'1+р:+в« * СОЭ Р=- двойной знак перед радикалом отвечает двум противоположным направлениям нормали.
Проведем теперь по поверхности через рассматриваемую точку произвольную кривую х=91(1), у=ту(Г), с=у(Г), так что тождественно относительно 1 будет Х(Г) =У'(9 (Г), 71(г)) Дифференцируем это тожцество по Г (181]: У'(Г) =РУ'(Г)+99'(Г). «) Мы здесь предполвгвем существование и непрерывность частных производных, следовательно, ди$4еренцируемость нвлицо 11791. ° *) Чвстично об этом уже бьщв речь в 180. Возьмем касательную к кривой в рассматриваемой неособой точке в форме (9). Если, наконец, в предыдущем равенстве заменить производные у', ч1', у' пропорциональными им, в силу (9), разностями Х вЂ” х, У вЂ” у, л.— з, то придем к (10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
