Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В(х, у) дх' ду' (дхду) Дифференцируя третью из формул преобразования по х и по у (причем е рассматриваем как фуакцию от х, у через посредство с, и), получим дь дес де д'2 д'х д'х — — — — х — +у - — —, дс дх' ди дхду дх' дхду' де д'2 дс д'2 д'2 дах -ь — — =х '+У вЂ” ° дг дхду ди ду' дхдУ ду' откуда ди дв так что и х= с — Ь и — — е. дс ди де х= —, у= —, дс ди' (28) т. е. преобразование имеет в з а им н ый характер.
Дифференцируя первые две из полученных формул (28) сначала по х„а затем по у, придем к уравнениям д'е д'х дсе дсх 0=- — — +— =дсда дх д" дхду дс' дх' дсди дхду дзе да дсе дх 1 дзс д'г дсе д'х 0- дсди дхду ди* ду' дс* д.ду дсди 8 ззч 7) Преобразование Лежандра. Наподобие 5), 218 мы и здесь приведем преобразование Л е ж а и д р а как пример более общего преобразования, когда уже формулы, связываюшие старые и новые переменные, содержат производные.Положим 500 Гл.
Уь ФункциОИАльные Определители: их НРилОжения 1222 Так как [203 (4)) д'е д'е ( д'е )з )7(х,у) 1 = — л0, дг д* '(дгд-г)! Л(г,в) то иэ этик уравнений д'г д-"* да* дхз 1 ' дэс дге д'г дга дуз 1 дгэ дг дл дхду дх д г! — (1=1, 2, ..., Л) н е=. ~х! — — х; дх! дх; зДесь весть нов а Я фУнкциа от н о вы к пеРемеишак Г„гм ..., Нн Будем предполагать и здесь определитель д'х дх, дх, дх, дхл д2г дх. дхл дх, дх, дх д'х д'з дзх дхл дх! дхл дх дхл отличным от нуля.
Продифференцируем формулу, определяющую е, по х» (Рассматривая при этом е как функцию от х„..., х„через посредство г„..., гл): дзх л д»к ~ — — = .ь'; х! — - (й= 1, ..., Л). ! дг; дхудх, ! дх;дх» Ввиду уиб, отсюда следует д' — =х, (1=1, ..., Л). дг! Таким образом, и де э=,4; Г!— дг! так что в общем случае преобразование также имеет в з а и м н ы й характер. *) Сюда также относится сноска на стр. 487. Если х, у, к и г, и, е трактовать как координаты некоторых точек пространства, то преобразование Л е ж а н д р а можно рассматривать как преобразование пространства (но не т о ч е ч н о е).
Поверхность, характеризуемая зависимостью между г и х, у, переходит при этом в поверхносггч определяемую зависимостью де де дк дэ между е и Г, и. Так как г, и, е, †, — зависят только от х, у, х, †, †, то прс'дг' да 'дх' ду' образование Лежандр а сохраняет касание *). 8) Легко обобщить преобразование Л е ж а н д р а на случай пространства любого числа измерений. Пусть, скажем, х есть фувщия от х, „х„..., хл. Положим 50! 2221 1 к 3АменА пегеминных 9) Наконец, рассмотрим еще один пример преобразования, представляющий некоторое своеобразие. Пусть Ии„..., я«', х„..., х«) будет функция от 2«переменных, однородная 2-8 степени относит е л ь н о п е р е м е н н ы х х„..., х„.
Предполагая определитель д'*у д'р де р дхт дх, дх, дх, дх« ' д'р д'у дер дх. дх, дхяг дх, дх„~ дз д' д' 7 р ' ,дх„дх, дх„дхе дхе отличным от нуля, положим др дхз и введем г„..., 6, в качестве новык независимык переменных вместо х„..., х«. Тогда функция р преобразуется в некоторую функцию и(иг, ..., ««1 зг, ° ° ., г«). Доказать, что ду~ (а) — = х„ дг; др др (б) — = — — (1=1, ..., «), дй, ди, Дифференцируя р у~ по ха, рассматривая и как функцию от х,, ..., х«через посредство г„..., г„: — =2' —, Д=-1.", ). др " ~Э~~ дер дх«,=з дгз дх;дхя др С другой стороны, производная — будет однородной функцией п ердха вой степени относительно переменных л.„..., х«.
Тогда по формуле Э йлера (188) дй «дзй — =.~~ — хг (д 1,..., «). дхх;=тдхкдх~ ' др Сопоставляя полученные два разложения для —, ввиду Н«0, заключаем о дхя справедливости соотношений (а). %2 гл, чь оупкционильнгяи опяндилитнлн; их пунложнния [222 Дифференцируя же по и; получим др др ' др дер ди; ди~ ч=ч дчи дхидьл др Но —, очевидно, однородная фуихция второй степени отводи~ сительно х„..
„хи. Снова применяя формулу Э й л е р а, видим, что последняя сумма дает нам Отсюда и следуют соотношения (6). ГЛАВА СБДЬМАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ $ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 223.
Кривые ва плоскости (в прямоугольных координатах). В настояшей главе мы остановимся на некоторых приложениях изученных понятий, фактов и методов дифференциального исчисления к геометрии. [С немногими из них мы сталкивались уже выше и' 91, 141, 143, 145, 148, 180.1 Мы считаем полезным предварительно напомнить читателю различные способы аналитического представления кривых и поверхностей; этому посвящен я 1.
Оговорим наперед, что функции, о которых будет идти речь в этой главе, как правило, предполагаются н епрерывными и имеющими непрерывные же производныее по своим аргументам; в случае надобности, мы будем требовать существования и непрерывности и дальнейших производных. Начнем с плоских к р и в ых, причем в основу положим некоторую прямоугольную систему координат Оху. Выше мы не раз рассматривали уравнение вида у = 1(х) или х = я(у) (1) и изучали соответствующую ему кривую [47, 91, 146 н след.1. Такого рода задание кривой, когда одна из текущих координат ее точки представляется в виде (однозначной) я в н о й функции от другой координаты, мы будем называть явным заданием (нли представлением) кривой.
Оно обладает простотой и наглядностью; как увидим, всякое другое задание — в век о то р ом смысле — может быть сведено к этому. В связи с теорией неявных функций нам приходилось также говорить о неявном задании кривой, т. е. о представлении кривой уравнением вида Г(х, у)=0, неразрешенным ни относительно х, ни относительно у [205 и след.). Такое уравнение носит название н е я в н о г о уравнения кривой.
504 ГЛ. УП. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (223 Из теорем о существовании неявной функции [205, 206] следует, что если в точке (х,, у„) кривой выполнено условие Р„'(хе „уе) ~ 0 или Ру(х„уе) ~ О, то, по крайней мере, в некоторой окрестности этой точки кривая может быть прсдставлена явным уравнением (1) того илн другого вида (причем фигурирующая в нем функция Г' или я непрерывна вместе со своей производной). Таким образом, только точки (хе, уе) кривой, для которых выполняются сразу оба условия (3) ~х(хо уо)=0 гэ(хе уе)=0 могут иметь ту особенность, что в их окрестности кривая не представима явным уравнением (ни того, нн другого вида).
Точки кривой, удовлетворяющие уравнениям (3), и называют о с о б ы м н. Ниже [236] мы займемся вопросом о поведении кривой (2) вблизи особой точки. Но, как правило„особые точки будут исключаться из рассмотрения, и мы будем изучать кривую лишь в окрестности ее обыкновенной (т. е. неособой) точки. Наконец, в предыдущем изложении не раз упоминалось о том, что уравнения вида (4) устанавливающие зависимость текущих координат точки от некоторого п а р а м е т р а Г, также определяют кривую на плоскости [см., например, 106]. Подобные уравнения называют и а р а м е т р и ч ескими; они дают параметрическое представление кривой. Рассмотрим точку (х, у ), определяемую значением з=~„параметра, и предположим, что при 1= г, будет у'(Г~) ~0.
Тогда н вблизи этого значения г производная х, '=~у'(1) — по непрерывности — будет сохранять тот же знак; функция х=у(~) оказывается м о н о т о ни о й [132]. При этих условиях, в силу 83 и 94, можно ~ рассматривать как однозначную функцию от х: !=0(х), непрерывную н имеющую непрерывную же производную.
Подставив эту функцию вместо 1 в выражение для у, установим непосредственную зависимость у от х у = ~(8(х)) =Лх), где — снова — функция 1 непрерывна вместе со своею производной; таким образом, мы выразим я в н ы м уравнением, по крайней мере, участок кривой, примыкающий к взятой точке. Аналогичное заключение можно сделать, если даже ~у'(ге)=0, но ~р'(гл)~О, с той единственной разницей, что получится явное уравнение другого вида: х =я(у). Лишь в том случае, когда одновременно х,'=у'(1,)=-0 н у,'=е'®=О, 2241 505 1 Ь АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ кривая в окрестности рассматриваемой точки может оказаться не представимой я в н ы м уравнением; такую точку будем называть о с о б о й.
В 237 мы остановимся вкратце на виде кривой (4) вблизи о с о б о й точки, но, как правило, и здесь мы будем изучать лишь о б ы к н оне нные точки. Важно теперь оговориться, что все сказанное выше об обыкновенной точке (х„уе), т. е. такой, для которой не выполняются условия (5), предполагает еще, что эта точка получается только п р и одно м з н а ч е н и и п а р а м е т р а 1 = 1, (т. е., как говорят, является простой точкой). Если бы, наоборот, точка (х, у) была к р а т н о й и отвечала, например, двум различным значениям параметра г=г„и 1=ем то в ней, вообще говоря, пересекались бы два участка кривой: один, определяемый значениями 1, близкими к г„ а другой — значениями б близкими к 1,. В этом случае всю кривую в окрестности данной точки опять-таки нельзя было бы представить явным уравнением.
Таким обрнэом, к р н т н ы е точки также по существу следует относить к о с о б ы м "). Подведем итоги сказанному. Мы не пытались дать геометрическую характеристику понятия кривои: для нас кривая есть геометрическое меапо точек, удовлетворяюи)их аналитическому соотношеншо вида (1), (2) или (4), — в предположении непрерывности встречающихся в них функций н их производных. Правда, геометрические образы, определяемые этими различными способами, в ц е л о м могут значительно разниться по своему облику, но в м а л о м, в окрестности обыкновенной (а в случае параметрического задания и пр ос т о й) точки, все они уподобляются тем простейшим образам, которые задаются уравнениями вида (1). 224.
Примеры. Сделаем обзор нанчаще встречвющикси крввык (многие из ник, впрочем, уже знакомы читателю из аналитической геометрии). 1) Цепи ел линии (рис. 41). Ее уравнение (х х) а1— х у= — леа+е а) асй —. 2 а По такой липин устанавливвстсв в равновесии гибкая и нераствжимвн тяжелая пить Опель, провод и т. п.), подвешепнвв зв оба конца.
Форма кривой вблизи вершины А (см. Рис. 41) напоминает параболу, но прн удалении от вершины кринаи круче устремляется в бесконечность. Отрезок ОА = а определяет точнее ее форму — чем а меньше, тем кривая круче. То расположение кривой, которое изобРажено на чертеже, вовсе необязательно, но оно позволяет придать уравнению кривой наиболее простой вид. *) Есть, впрочем, один случай, когда точку,получаюшуюси дважды все же нс считают кратной: зто будет тогда, когда точка отвечает двум к р а й н и м значеииллл параметра и в ней кривая за мы к нет си В примере окружности х=.а сок В, у=а з)п В (О Ван2л) зто будет точка, определяемая значенивми В =- 0 и В == 2л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
