Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 90
Текст из файла (страница 90)
лэо Гл, ч|. Функционьлъныв оп»еделитвли; их п»иложения 1216 Теорема 11. Пусть ранг матрицы Як о б и в области О) еапь р-1 и достигается он в точке М(хвм хзь, ...„хв) этой области. Тогда в некоторой окрестности ьл)ь названной точки )| функций из числа наших т (именно те, производные которых входя|и в определитель р-го порядка, не равный нулю в точке Мь) будут независимы, а остальные оп| них зависят.
Д о к а з а т е л ъ с т в о. Без умаления общности можно предположить, что в точке Мь отличен от нуля именно определитель ау» ду» аул а „ " ' ах„ аХ„ду, аХ„ ах, Ввиду непрерывности частных производных, то же будет н в некоторой окрестности упомянутой точки, н, следовательно, по теореме 1, функции у„у„..., у„будут в этой окрестности независимы. Обозначим теперь через у"ы у'„..., уь значения этих функций в точке М,.
На основании теоремы 1Ч и 208 в некотором (и+д)-мерном параллелепипеде ,ь»гь.- (х~ — д|, х|ь -| 6|,' ...', х~~ — д , х1 .|. дч,' у" — А у|ьЛ . у — '1 у чЛ) (23) первые р из уравнений (17) Яхд, .,х„; х+, ...,х„) — у О, Яхт ...,х; хы, ...,х„) — »ь О, (г4) 7,.(х„..., х„; х„+„..., х„)-у =О определяют х„х„..., х„как однозначные функции от остальных переменных у„..., у„, х„+„..., х„, фигурирующих в этих уравне- ниях х, = у,(у„..., у„; х„+„..., х„), х, =в| (у„..., у„; х„„..., х„), (25) хк ='Рв(уы ° ° у» хвм ~ ° ° ° г хп) а», дх, П(У„..., У„\ ау В(х дУ| дУт ах, "ах„ ау, ау, дхь ' ' дх„ ду ду, дх, дх, "' а~„дух ах, дхь ду ахв д1; ах„(гг) Зщ 4 з. нвкотогчлв ппиложпния тпопни неявных пункции 481 В упомянуто й о б ласти системы уравнений (24) и (25) о к а вы в аются вполне равносильными, т.
е. удовлетворяются одними и теми же значениями переменных х„..., х„, и у„у„..., у„. Из самой теоремы, на которую мы опирались, следует, что, если вместо х„хв,..., хл подставить в (24) фуякции (25), то получатся т о ж д е с т в а относительно у„..., у„, х„,, ..., х„. Но для нас сейчас важно и другое: если вместо у,, ..., у„, ло<)ставить в (25) фуикяви ум ')т, ..., уса та палучатсл т а глод ест в а относительно переменных х„х, ..., х„— по крайней мере в некоторой окрестности точки М,(хо„хм ..., х„').
Именно, достагочно выбрать эту окрестность Юс=(хт дт хт ' дт' хоя бв хв дз~ 1 хп» дс 4" дл) так, чтобы было 0 -Ьт-«дп О=дв=-.дв, ...,0 д,=:Ьо и, кроме того, чтобы для ее точек значения у„у„..., у„, определяемые из (24), т. е. значения Д, гм..., ~'„, отличались от уо„увя, ..., ув„соответственно, меньше, чем на А„Ав, ..., Л„в). Действительно, тогда точка (х„х,„..., х„; У„У„..., У„) попадает в ел1с, и одновРеменно с равенствами (24) должны выполняться и равенства (25). Возьмем теперь (если т )т) любую из остальных функций (17), например у„„п докажем, что она зависит от первых )з функций у„ у„..., уго Если в равенство у„+, — — Г",мт(хм ..., х,) вместо х,,..., х„ подставить функции (25), то ус и представится в виде (сложной) функций у„. --Х, ('у(у " у„-'„..), ...,д,(у,....,у„; х„,,, ...,х„); х„„„..., хл)ж =.=У„,,()й, ...,у„;х,„,...,хо).
(26) На основании сделанного выше замечания, если в зто равенство вместо у„ув, ..., утн ув„ы цодставитзь соответственно, функции /„ у,, ...,уя,,)'„„то оно удовлетворится тождественно относительно х-ов в области о))с. Для того, чтобы убедиться в з а в и с им ости функции у., от функций у„у„..., уса остается лишь доказать, что функция 1'„„тт е (27) на деле аргументов хе+1, ..., х„не содержит. С этой целью достаточно установить, что — тождественно относительно у,... у„; х„„, ..., х„— будет: .'"'". =0, .
~'-"-'1) =0. дх„.„' дх„т, ' ' ' '' дхй ') Это можно осуптествить ввиду непрерывности функции уы уз .. );„принимающих в точке Мв значения у"„у,", ..., у,",. П Г. М, э~ ывт ям, т 482 гл. кк екикпноилл| н|ии опеидилитвлн; их пииложаиия 121б [ср. и' 1831. Остановимся для примера на первом равенстве; остальные доказываются аналогична.
Продифференцируем по х„+, уравнения (24), считая х, ..., х„ функциями (25) от у| °,у„, х„+|, ...,х„; мы получим равенства: дУ~ др~ д~~ др„др дх, дх„+, ' ' ' дх„дх„+| дх„.>, дЛ др, ду. др„дув — — +... -|- —,—" — + — -'- =О, дх| дх|+| дх дхле| дх +| др др + +~6 две + дУ» О дх, дхве, ' ' ' дх„дхл+| дхве, линеиные относительно величин де| дкв дх„+,' ' ' '' дх„.~,' е1з этих !л линейных равенств, как след с|и вие, вытекает (и + 1)-е линейное равенство дрв+| дв|| дХв+| див дулЕ| — — ";...+ — — — + =О, дх, дх,.м ' дх„дт„+, дхле, (27е) потому что определитель (!л+ 1)-го порядка, составленный из коэф- фициентов при упомянутых величинах и из свободных членов во всех и + 1 равенствах (27) и (27"), т. е.
определитель: т о ж д е с т в е и н о р а в е н н у л ю (ведь ранг матрицы (19) есть !л!). Но левая часть равенства (27е), по самому определению (26) функции Г„+л, представляет производную ""'. Таким образом, ввиду дх„„ (27"), зта производная действительно равна нулю. Итак, в функции Ге+| аргументы х„+,, ..., х„могут быть опущены: у„„, зависит лишь от у„..., у„, ч.
и тр. д. В примере 1), 2!В, матрица Якоби имеет вид ! 1 1 ... 1 2х| 2хл 2хл х. | л|4 ...-| хе х|бх|+...+хо ° ° ° х|вл|б...бхо дД, дл| дре дх, ' д~„ дх| дУл4| дх, др, дУ, дх„ дхв.|, дУ| дУ. дхв дх„+, длл дэ'в дхл дх,, л| д~,;, В„„ дх,. д „„, 217) 1 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 4ЗЗ хг!х;, если ХЗщО, О, если х, О, =( '",' хч!х'„если хе=О, О, если х,«О.
Легко проверить, что эти функции непрерывны вместе са своими пронзводнымя иа всей плоскости. В данном случае ранг матрицы Як о б и равен двум для первого координатного угла, е д и н н ц е — для второго и четвертого углов и, наконец, н у л ю— для третьего. Лишь в первом координатном угле функции независимы. й 4. Замени переменных 217. Функции одной переменной. Цель этого параграфа — дать предстаилсние о формальном процессе замены переменных. Поэтому мы не будем здесь отвлекать внимание выяснением всех условий, при которых производимые манипуляции законны (что к тому же и ие представляет никаких трудностей).
Значительная часть содержания настоящего параграфа могла бы быть изложена и раньше; однако нам казалось целесообразным сосредоточить весь материал, связанный с заменой переменных, в одном месте. Пусть дано некоторое выражение И~= Р(х, у, ух. ухн ° ° .). содержащее независимую переменную х, функцию от нее у н ряд производных от у по х до некоторого пор>щка. Иной раз требуется перейти в подобном выражении к н о в ы м переменным — независимой ! и функции от нее и, с которыми с т а р ы е переменные х и у связаны определенными соотношениями (носящими название >ворл>ул лреобразоваяил). Точнее говоря, требуется представить И' в функцни от г, я н производных от и по !.
Такая з а м е н а пер ем ел вы х обычно мотивируется либо особым интересом, который представляют в рассматриваемом вопросе переменные г и и, либо тем упрощением, которое эта замена вносит в само выражение Иг. Остановимся сначала на случае, когда заменяется дншь независимая переменная и дана формула преобразования, непосредственно связывающая х с новой независимой переменной !.
Предположим, что эта формула преобразования разрешена относительно х: х =(с(г), Если > есть функция от .т, то через посредство х она является и функцией ог !. Если к элементами третьей строки прибавить, соответственно, элементы второй, 1 умноженные на —, то получится строка, состоящая (подобно первой) из равных 2 элементов. Отсюда ясно уже, что все определители третьего порднка — нули. Ранг матрицы ранен двум, и действительно — две функции из трех независимы, а третья зависит от этих двух. Дналогнчно сказанное применяетсл и к примеру 2), 215.
В заключение заметим, что возможны случаи, когда в одной части рассматриваемой области имеет место одна зависимость между функциями, а в другой осуществляется другая зависимость, или же функш>и оказывшотся независимыми и т. п. 3) Пусть, например, функции у, и у, от двух независимых переменных х„хг определяются на плоскости х,хе следующими равенствами: 484 Гл. ч!. Функционллъные Опгедечители; их пгилОжения [217 Мы имели уже в 121 формулы, выражающие производные от у по х через произ- водные от х и у по 1: У1 „Хгуг! Х1!У1 хг х11 х[(х[у[р — х[!'У() — )хл(к[у[1 — хлуП Ух' =. Х1 (2) так как хг, х11, хгр, ... можно считать известными функциями от 1 [они получаются из (1) дифференцированием[, то остается лишь подставить в Н' вместо ух, у;, ...
эти выражения их через 1, у1, у11, ... Ясли бюрмула преобразования дана в неразрешенном относительно х виде: Ф(х, 1)=0, (3) то задача по существу решается так же, лишь производные х1, хг(, ... вычисвпотся по правилам дифференцирования неявных функций ч). ПеРеходя х общему случаю, когда заменяются обе переменные, предположим, что формулы преобразования разрешены относительно старых переменных: х=с(1, и), У=И(1, и). (4) Если у связано функциональной зависимостью с х, то отсюда и будет связано зависимостыд с 1, а тогда в силу (4) х и у окажутся слоюшми функциями от 1.
по правилу дифференцирования сложных функций будем иметь х! =Ч! >!у и! У! =У!1[ Юйлг к[1 =-учч -> 2рьи[+!Ус!я[1 ч ра10!. У[! =!У1!+ ° ° ° 4 ч!
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
