Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Таким образом, в окрестности (хо "о хо+ "о' Уо ) Уо ' '-1) точки (х„уо) уравнение (1), действительно, определяетет у как одно з начную функ цию от х: у=Лх). В то же время предыдущее рассуждение, ввиду 2), показывает также, что Дх,) =у,. Именно, из того, что Р(х„уо) =О, усматриваем, что у и есть то единственное значение у в промежутке (у -А', у,+А'), которое совместно с х=х, удовлетворяет уравнению (1). Остается лишь установить непрерывность функции у=1(х) в промежУтке (хо до хо Ф д ).
Дла точки х х, это полУчаетсЯ иепосРеДственно из предыдущего рассуждения, которое приложимо и к любому меньшему прямоугольнику с центром в точке Мо(х„уо). Заменив число А' любым числомо А', мы нашли бы, как и вьппе,такое д~бо, чтобы для любого х из промежутка (хо — д, хо+ 3) соответствующее ему единственное значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (!), оказалось именно между у — о и у о о. Таким образом, при !х — хо! 6 имели бы что и доказывает непрерывность функции Лх) в точке х= хо.
Доказательство для любой точки х=х аналогично доказательству для х=х,. Точка М(х, у), где у =Ях), удовлетворяет таким же условиям, как и точкаМ,(х„у,), ибо Г(х, у) =О. Поэтому, как и выше, в окрестности точки М(Х, у) уравнением (1) переменная у определяется как о д н о з н а ч н а я функция от х, непрерывная в точке х= х. Но, именно ввиду однозначности, эта функция совпадает с 1(х), и тем устанавливается непрерывность |(х) при х = х. Мыдоказали теорему существования неявнойфункции, не задаваясь вопросом о вычислении ее значений или об ее аналитическом представлении; этим мы займемся в главе ХП.
Доказанная теорема, очевидно, является обобщением теоремы и' 83. 207. Дифференцируемость неявной функции. Теперь мы усилим предположения относительно функции Г(х, у) и тогда получим возможность установить и существование производной для функции у =-Лх). 452 гл. уз. Функционллъньзе ОпРеделители: их пРилОжения [297 Теорема 11. Предположим, что 1) функция Г(х, у) определена и непрерывна в прямоугольнике В=[хо-Л, хо+Л; уо-Л', уоеЛ'] с центром в точке (хо, уо); 2) частные производные Г„' и Г» существуют и непрерывны в З„' 3) Г(х, у) в точке (хо, уо) обращается в нулгс Г(хо, уо) =О; наконец, 4) производная Г„'(хо, уо) отлична от нуля.
Тогда выполняются заключения а), б), в) теоремы 1 и, кроме того, г) функция )'(х) имеет непрерывную производную. Доказательство (рис. 113). Пусть, например, Г,'(хо,у,) О; так как производная Г»(х, у), в силу 2), непрерывна, то можно построить такой квадрат: [хо-д', х,+д', у,— д', уо+Ь'] (д' Л и Л'), чтобы для всех его точек было: Г„'(х, у) О о). Тогда для этого квадрата выполнены все условия теоремы 1: монотонность функции Уа л у~д Рис. 113.
Г(х, у) по у, при х=-сопя[, вытекает именно из того, что Г„' .О [132]. Следовательно, заключения а), б), в) можно считать оправданными. Переходя к доказательству утверждения г), будем под у разуметь именно ту неявную функцию у=лх), которая определяется уравнением (1) и тождественно ему удовлетворяет. Прндадим х приращение Лх; наращенному значению х+Лх будет соответствовать значение у+Лу=у(хз-Лх), вместе с ним удовлетворяющее уравнению (1): Г(х -ьЛх, у ьЛу) =О. Очевидно, и приращение ЛГ(х, у) = Г(х ч Лх, у -", Лу) — ГТх, у) = О.
*) Ибо и для функции иосыольких персмсиимх справедливо утверждение, аиа- логичное лемме п' 80 для функций одной переменной. 2881 за неявньш фкнкции 453 Представив ЛГ по формуле (1) и 178, получим О=ЛГ(х, у)=-Г„'(х„у) л1хьрг(х,у) Луе и 1х 1)Лу, где а и 1) зависят от Лх, Лу и стремятся к нулю, когда ')х и . 1у о д н овременно стремятся к нулю. Отсюда )у р„'(х, у) л к Лх рях, у)+р Устремим к нулю Лх; в силу установленной уже непрерывности функции у =Ях) [см.
в)), при этом Лу также стремится к нулю, а потому и и О, )3 О. Так как Гг'кО, то существует предел правой части, а следовательно, существует и производная у по х: /'(х) =у„= 1пп — — = — — '; -' — . (3) в Лх Р)1х, у) ' Подставляя Ях) вместо у, будем иметь Г;(х, Пх)). Г'()=-ря',л.))' так как в числителе и в знаменателе имеем непрерывные функции от непрерывных же функций, и знаменатель не обращается в нуль, то отсюда ясно, что у '(х) — также непрерывная функция.
Теорема доказана. Замечательно, что по свойствам функции Г(х, у), которая нам дана непосредственно, мы можем судить о свойствах функции у=- =-Дх), для которой непосредственного задания мы не имеем. 208. Неявные функции от нескольких переменных. Аналогично уравнению (1) можно рассматривать и уравнение с большим числом переменных Г(х„х.„..., хн, у) =О. (4) При известных условиях этим уравнением у определяется как «неявная» функция от п переменных хг, х, ..., хп: у =Лхг, хг, ..., хп), которая, вообще говоря, будет многозначной.
Если подставить ее вместо у, то будем иметь Г(хо хг, ..., хч, Дхы хг, ..., хп)) =-0 уже тождестве ни о относительно х„хг.. хо. Мы будем говорить, что е (пь1)-мерном параллелепипеде (а„Ь„„'а„Ь,; ...; а„, Ь„; с, а) уравнение(4) определяет у как однозначную 4ункг)ию опг х,, хг, ..., хп„ если для любой точки (х„х,,..., хп), содержащейся е п-мерном параллелепипеде (аы Ьг; аг, Ь,„ ,..; ан, Ь„), 454 Гл.
у!. ФункциОнАльные ОЛРЛЛРлители; их пРилОжения 1208 уравнение (4) ил»еет один, и только адин, корень у в промежутке (с, »1). В роли такого параллелепипеда обычно будет фигурировать окрестность интересующей нас точки (хзо, хоо, ..., хо). Сформулируем теперь относящуюся к уравнению (4) теорему. Теорема ХХХ Предположим, что 1) функция р(х1, ..., х„у) определена и непрерывна в (и Ф 1)-мерном параллелепипеде З=(х~-г)1, 4-'-г)1; ", лл-~5л> хлчг)л; Уо-г)'> Уо> г)) с центром в точке (ло1, ..., х'„', уо); 2) частные производные Г„'„..., Р„'.„, Рз' существуют и непрерывны в б); 3) фуНКция ре тОЧКЕ (Х»О, ..., Хю УО) Обращавтея В ПУЛЬ; и, НаКОНЕц, 4) производная Р' в этой точке не равна нулю.
Тогда а) в некоторой окрестности точки (хзо, ..., хо, УД уравнение (4) определяет у как однозначную функцию от х, ., хл: у =Лх„..., хл); б) при хз — — хы ..., хо=ля эта функция принимает значение уо: Лх'> ", л)=У»~ в) функция Х(Х1, ..., хл) непрерывна по совокупности своих аргументов и г) имеет непрерывные же частные производныеХ„',, ..., 1'„'„. На доказательстве мы останавливаться не будем, так как оно совершенно аналогично доказательству теорем 1 и 11.
Наконец, в самом общем случае может быть дана система из т уравнений с п Ф т переменными р1(х„..., Хл; у„..., У ) =О, рз(Х1 ' ' Хл у1 ' ' у ) О (5) р (х„..., хл; у„..., у )=О. Здесь речь идет об определении этой системы т переменных у1, ..., у как»неявнь»х» функций от и переменных хз, хз, ..., хл: У1=>р1(Х1»... Хл)> Ую >ую(Х1, ..., Хл)> так что при подстановке в (5) получаются то ж де от в а г (х„..., хл; Ф1(х„..., хл),..., ц>„,(х„..., хл)) =О, Ро(х», ..., хл' ,>у1(х1, ..., хл), ..., ц>л>(хз, ..., хл)) =О, Рл>(хз> ..., хл, '>р1(х1, ..., хл), ...» Уы(х», ...> хл)) =О.
455 Ь 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ зов) Говорят, что в (и ' т)-мерном параллелепипеде (а„дд; ...; а„, Ь„; с„с(„...; с,„, г(п,) система уравггений (5) имеет одну, и только одну, систему решений у, ..., у,„, принадлежащуго т-мерному параллелепипеду (сд, г(д; ...; с, г( ). Мы видели, что в вопросе о существовании однозначной неявной функции, определяемой о д н и м уравнением (1) или (4), рещающую роль играло требование, чтобы в рассматриваемой точке, удовлетворяющей уравнению, не обращалась в нуль производная су — именно по той переменной, которая подлежит определению как неявная функция. В вопросе же о сущеспювании однозначных неявных функций у„, ..., у, определяемых системой уравнений (5), к которому мы сейчас переходим, аналогичную роль будет играть якоб иан от функций, стоящих в левых частях, по переменным у„..., у дрд дУг дсп дУг д дуг дуг ду~и — г дупг дРг дуг '''дУИ-д дУт дйг дУд д~з 2)дйг ° ., ггп) дг(Уд, ° ° ° Угп) (б) дупг — д дргп-г дугп дуг дупг — г дугп дуы дуы дупг дуг дупг-г дупг д)пгп дуд ддугп дУ, Теорема Х1Г.
Предположим, что 1) все функции сд, ...„Р определены и непрерывны в(п+т)-мерном прямоугольном параллелепипеде ес=(лед-Л„хвд~ Лд; ...; х~-Л„, х~д-Л,; уд — Лд, уд Ф 252,' ...,' Д вЂ” 22,„, Д Ф 2Ц с центролг в точке (хп, ..., хп; уп,..., у" ); 2) существуют и непрерывны в йз) частные производные от этих функций по всем аргументам; 3) точка (хдп, ..., у" ) удовлетворяет системе (5); 4) якобиан з [см. (б)) в этой точке отличен от нуля. систелга (5) определяет у„..., у как однозначные функции отх„...,х„, еслидлякаждойточки(х„..., хп)вп-мерном параллелепипеде (а„ Ьд; ...; а„, Ьп) 456 Гл. У!.
Функционкльные ОЛРеделители; их пРилОжения 1208 Тогда а) в некоторой окрестности точки (х|в, ..., у") система уравнений (5) определяет у|, ..., у как однозначные функции от х, ..., хл: у|=Як|,..., хл), ..., у 1=1„1(х„..., хл), Ум =Хи(х| ° ° ~ хл)' б) при х, = хы ..., хл = хв эти функции принимают, соответственно, значения у„...
у -1 Ул .г'( ы ", х'.)=у', Т вЂ” (хы ", х'.)=у'-, с (хо хо) ув . в) функции)1, ...,)"„, непрерывны и г) имеют непрерывные э|се частные производные по всем аргументам. Доказательство поведем по методу математической индукции. При т=1, когда система сводится к одному уравнению, теорема верна (это — теорема П1). Допустим теперь, что теорема верна для случая, когда система состоит из т -1 уравнений и речь идет об определении т — 1 неявных функций, и докажем ее для системы из т уравнений. Поскольку якобиан У в точке (х|в, ..., Ув) отличен от нуля, в последнем столбце его хоть один элемент в этой точке также не равен нулю; пусть, например, 0 ы ду|» В таком случае, по теореме П1, последнее уравнение, системы (5) — в некоторой окрестности лЛ|л точки (х|ы ..., у") — определяет у„как однозначную функцию от остальных аргументов: у =|р(х„..., х„; у„..., у 1), (7) так что тождественно (относительно этих аргументов) имеем Р (х„..., х„; у„..., у 1, |р(х|,..., у 1))=0.
(8) Эта функция в| непрерывна и имеет непрерывные частные производные; кроме того у(хы..., х.'; уы ..., у',) =у' (9) Важно подчеркнуть, что, поскольку мы ограничиваемся впредь упомянутой окрестностью б)л, уравнение Р|л(х1 ' '1 хл У1т ' ' ' У|л) 0 р а в н о с и л ь н о уравнению (7): в пределах лл» ему удовлетворяют одни и те же системы значений переменных х„..., хл; у„..., у,, 2081 О 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 457 Заменяя последнее из уравнений (5) этим уравнением (7) и подставляя функцию оз вместо у в остальные уравнения системы (5), мы получим новую систему уже нз ло†1 уравнений с л +лг — 1 переменными Ф,(х„..., х„; у„..., )ъ г) =О, Ф (х„..., .„; у„..., у,) =О, (10) Ф„, г(х„..., х„; у„..., уж,)=-0, где для сокращения положено (при 7 = 1, 2, ..., Еи — 1) ,(х "о хо,у ",у -) = г)(х1 х ' Ую, У -г, %(хг, ., У„-г)) (11) Если в ы х о д и т ь з а п р е д е л ы о к р е с т н о с т и о3)о, то система (5) оказывается равносильной системе (10) с добавлением уравнения (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
