Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Уь ° ° ., Ул) (4) В этом виде оно напоминает формулу для производной обратной функции. 204. Умножение функциоиальнык матриц (матриц Якоби). Пусть имеется л! функций у„у„...„у от л (л л!) переменных х„х„... у, =Ях„х„..., хл), )'з = (з(х!, х,, хл), Ул» =.(»п(Х! ХЗ ° Хл) хт=(ет((т, г„..., Г ), хз=»рз(г! гз' '! ) хл =(рп(Г! тз»» Г»п). Предполагая в обоих случаях существование непрерывных частных производных, постараемся найти выражение для якобиана у„у„... ...,у как функций от г, г„..., ! ') Самую аозмоаСЮСП такОГО Обраезенаа мы здесь доеУСКЕЕМ.
См, следуюап!$ параграф, причем, в свою очередь, переменные х„х,..., х, являются функ- циями от гл переменных („г„..., г: зм)»1. еоумхльныв свойства еункционпльнь»х оптвделнтвлен 4е5 В теории определителей устанавливается общая теорема о б у мн о жен ни матриц (для которой использованная выше теорема об умножении определителей является частным случаем). Рассмотрим две матрицы (таблицы) Ьп Ь„...Ь, И 22 'т (Л.»т). Ь Ь ...Ь ап а, ...ап а, авз ...
а»п апц ам» ... а„,„ Ьп1 Ьп2 ' ' ' Ьпт Их произведением является квадратная матрица С12 . С»м С21 СМ ' С» СМ1 СЩ2 ... С,Пгд элементы которой вычисляются по формулам сс»=а, Ь„,';а»»Ь»»»... +а,„Ьп». (1,11=1,2, ..., т) Соответствующий этой матрице опредпчнтсль равен сумме ! ап, аьз ... ап„Ь!а Ь,а ... Ьь а,, ...а»1 ~ Ь,„Ь,,» ...Ь,, а 1, амь... а,»1„~, ,Ьм» Ь,„»...
Ь1„ распространяющейся на всевозможные сочетания (1'„»»,...,1 ) из и значков 1, 2, ..., п по т. Применив этот результат к функциональным матриц а м (или м а т р и ц а м Я к о б н) дУ, дУ, дУ, дх» дх дхп дУ» дУ» дУ» д., дх» ' ' ' дх. дх, дх, дх, д»1 д1, д»,п дх» дхп дх, д11 д»» дьп дхп дд1, д»2 д» днв дум ду»п д»1 дх.,' 'дхп 44б ГЛ ЧЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [204 МЫ ПОЛУЧИМ ~~Ут дУгл ЭУллк ахь ахь ' ' ' ахы Э ахле ац аьл а..
, ае Если снова вспомнить формулу для производной сложной функции, то определитель в левой части этого равенства перепишется так: ау„ ау ау а, а,"а В кратких обозначениях полученный результат имеет вид где сумма распространяется на всевозможные с о ч е т а н и я нз и значков 1, 2, ..., л по е. При я=1 доказанная формула переходит в известную формулу для дифференцирования сложной функции (через посредство нескольких промежуточных переменных): ,„ ау Э ь И;" ах~ Эс ау, дх, ау, ах„ау, ах, ау, ахл — — +... + — —...— — +...
+ —— ах1 ай ''' дхлай' ах,абл ''' дхлабл Ь,ах, Ь,ахл аиах, Ьаа.. — — -~-... + — —... — — +... 4 —, Эх, ай ' ' ахла~,'''ах,аг ''' ахваз ау ах ау дхл ау ах Эу дхл — — +... -~- — —...— — -~-... + —— эх ай ''' ах а~,'''ах, а!~ ''' Эх дс ау1 ау1 ау1 Эх~ дхц ах~ ь. дхб ахь' ' 'ахы ЭУл ЭУ1 ЭУ1 ~ ай,~н, '' ' аь ЭЗ'л ЭУУК ЭУл ~ ай аг,' ак, и, таким образом, является ее обобщением. Эхь Э~, ахь . ай ахь ахл а,"'а ахь Эхл д6~ абл $ а неяВные Функпии 447 Р(у1, у,) Р(у„у,) Р(х„х,) Р(у„у.,) Р(х., хэ) Р(у„у,) Р(х„х,) (б) Ро,, О) Р(хо х,) РО1, ь) Р(х„х,) РО„0) Р(х„х,) РО„~,) ' Эта формула находит себе особенно частое применение.
Мы установили ряд формальных свойств якобианов, аналогичных свойствам обыкновенных производных; к ним примыкает и формула, которую мы выведем в одном из ближайших и" [210, 8)). Но более глубокая аналогия между производными и якобианами обнаруживается потойроли,которую они играют в теории неявных фун кций (см. следующий э), и, особенно, в вопросе о замене переменных в двойных, тройных и, вообще, кратных и нтегр а пах (в третьем томе). 8 2. Неявные функции 205. Понятие неявной функции от одной переменной. Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены его перенести налево, в общем случае имеет вид Г(х, у) =О.
Здесь г(х, у) есть функция двух переменных, заданная в какой-либо области, Если для каждого значения х — в некотором промежутке— существует одно или несколько значений у, которые совместно с х удовлетворяют уравнению (!), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция у=Ях), для которой равенство (2) Лх,у"(х)) =О имеет место уже тождественно относительно х. Возьмем, например, уравнение х~ у' а' Р— + —,— 1=0; (1а) оно, очевидно, определяет у как д в у з н а ч н у ю функцию от х в промежутке (-а, а), именно у= х — 'та' — х'. а И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию, то получится тождество.
Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение у — х — ез!ау=О (О е 1), Отметим частный случай нашей формулы, который получается при п=З и тп=2: 443 ГЛ. ЧЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ !205 которое нам уже встречалось (при других лишь обозначениях переменных, 831, то мы знаем, что этим уравнением у определяется как однозначная функция от х, хотя в конечном виде она через элементарные функции и не выражается.
Функция у=Ях) называется неявной, если она задана при посредстве неразрешенного (относительно у) уравнения (1); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Чигателю ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции у=Дх) и не имеют отношения к ее природе. !Строго говоря, противопоставление н е я в н о г о и я вн о г о задания функции с полной четкостью возможно лишь, если под явным заданием разуметь явное аналит ичес к о е задание; если же, в качестве явного, допускать задание с помощью любого правила (45), то задание функции у от х с помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.! В простейшем случае, когда уравнение (1) — алгебраическое, т.
е. когда функция р(х, у) есть целый относительно х и у многочлен, определяемая им н е я в н а я функция у от х (вообще многозначная) называется а л г е б р а и ч е с к о й. Если степень уравнения (относительно у) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает я вн о е выражение в радикалах, при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения. Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о су»цесзпвовании и однозначности «неявной» функции (равно как и о других ее свойствах), независимо от возможности представить ее в «явнол«» виде аналитической формулой.
Впрочем, в этой постановке вопрос для нас не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь шла о существовании и о свойствах обратной функции, и уравнением у-1(х) =0 переменная х определялась как «неявная» функция от у. Поучительна геометрическая трактовка указанного вопроса. Уравнение (!), при известных условиях, выражает кривую на плоскости (например, уравнение (1а), как известно, выражает эллипс (рис, 111)); в этом случае оно называется неявным уравнением кривой. Вопрос заюпочается в том, может ли кривая (1) (или ее часть) быть выражена обычньпм уравнением вида у=лх), с одно значи ой функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси у, лишь в одной точке. Если мы желаем иметь однозначную функцию, то как видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не только область изменения х, ио и область изменения у.
Мы будем говорить, для краткости, что в прямоугольнике (а, о; с, «() у р а в и е н и е (1) о и р е д е л я е т у к а к однозначную 2061 З х нвявныя езнкции ф у и к ц и ю о т х, если при каждом значении х в промежутке (а, Ь) уравнение (1) имеет один, и пзолько один, корень у в промежутке (с, »). Обычно нас будет интересовать определенная точка (х„уо), удовлетворяющая У уравнению (1) (лежащая на кривой), и в роли упомянутого прямоугольника будет фигурировать о кре стно с ть этой точки.
Так, например, в случае эллипса (рис. 111), очевидно, можно утверждать, что уравнение (1а) определяет ординату у как однозначную функцию от абсциссы х в достаточно малой окрестности любой точки эллипса, кроме вершин его А, А' на большой оси. 206. Существование неявной функции. Теперь установим условия, обеспечивающие существование однозначной и непрерывной неявной функции. Теорема Х .Предположим, что 1) функция с(х,у) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике 3=(хо-А, х,+А; у,— А', уоч Л] с центром в точке (х„у,); 2) Р(х, у) в этой точке обращается в нуль: Г(хо, у ) = О; 3) при настоян>юм х функция с(х, у) монотонно возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием у.
Тогда а) в некоторой окрестности точки (х, уо) уравнение (1) определяет у как однозначнун> функцию от х: у=лх); б) при х=х, эта функция принимает значение у,: Яхо) =уо' наконец, в) функция у(х) непрерывна. Доказательство. Станем передвигаться вдоль вертик а л и, проходящей через точку Мо(хо, уо) (рис. 112), т. е. фиксируем х=х; тогда рассматриваемая функция с(х,у) сведется к функции Р(х„у) от одной переменной у.
В силу 2), она при > =у, обращается в О. В то же время по условию 3) функция с(хо, у) в о з р а- стает вместе су, так что для у у, ее значенияменьше нуля, а для у-.у, — больше нуля. В частности, следовательно, она будет иметь значения разных знаков в точках А,(х„у, — А') и В,(хо, у„+ А'), именно с(Ао) — Р(хо уо А')~О с(Во)=Р(хо уо" А') Перейдем теперь к горизонтальным прямым, проходящим через эти точки Ао и Во, т. е. фиксируем на этот раз у=уо — А' зз Г. и. Фи:лен:олью т. > 450 Гл.
уь Функционлльньте ОпРРделители; их пРилОжения 1206 или у=ус+А'. Получатся две функции от одной переменной х: Г(х, уе-А') и Г(х, ус+ А'), которые, как мы видели, при х =х имеют: первая — отрицательное значение, а вторая — положительное. Но по условию 1) эти функции непрерывны е), а потому найдется некоторая окрестность (хе-де, хе+бе) точки х„(0 д «А), в которой обе / / / / ьг х/-т) хр-4 Ох х/ х//бр х//У Рис. 112. функции сохраняют свой знак [80, лемма), так что при х — д х . ~х +бе Г(х, уе — А') О, Г(х, ур+ А') О. Иными словами, на нижнем и верхнем основаниях исходного прямоугольника вдоль отрезков А,А, и В,В, длины 2де с центрами в точках А и Ве заданная функция г1х, у) имеет отрицательные значения на первом и положительные — на втором.
Фиксируем в промежутке (х — де, х, + Ь ) л ю б о е значение х = х и рассмотрим вертикальный отрезок, сосднюпощий точки А(х, у,-А') н В(х, уе ' А'). Вдоль него наша функция снова сведется к функции Х(х, у) от одной переменной у. Так как она, в силу 1), непрерывна *) н, как сказано, на конпдх промежутка [уе — А', у, '-А') имеет значения разных знаков: Г(А) = Г[х, у, — А') О, Г[В) = Г(х, у + А') О, то, по теореме Б ольцано — Коши [80), при некотором значении у=у, содержащемся между у — А' н у, +А', эта функция Г(х, у) обращается в нуль: Г(х, у) =О.
е) Мы предположили непрерывность функции Р(х, у) по совокупности переменнык х, у; ио в таком случае она будет непрерывна и по каждой переменной в отдельности. 2071 о а неяВные Функции 451 И здесь из условия 3) следует, что при у~~у будем иметь, соответственно, Г(х, у) фО, так что У есть е д и н с т в е н н о е значение у в пРомежУтке (Уо-А', У ФА'), котоРое совместно с х=х УдовлетвоРЯет уравнению (1). На каждом вертикальном отрезке АВ найдется т о л ьк о о д н а точка М(х, у), обращающая левую часть уравнения в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
