Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Рассмотрим в прямоугольнике [-5,5; — 1,!) функцию и -- хь — 4хз ->-2ху — у". и»=-3.«з .Зх» 2у, ну--2х-2у Ее производные в пределах области обращаются в нуль лишь в точке (О, О). Как легко убедиться с помощью критерия п' 197, в ней функция имеет максимум (равный О). Однако, значение это не будет н а и большим в области, ибо, например, в точке (5, О) функцвя и=25. Вследствие этого, в случае функции нескольких переменных, — при разьюкании наибольшего или наименьшего значения 4>ункции в области — исследование на максимум и минимум оказывается практически н е н у ж н ы м. 201. Задачи. Многие задачи — как из области математики, так и из других областей науки и техники — приводят к вопросу о нахождении наибольшего нли наименьшего значения некоторой функции.
Решение задач 1) — 4) связано с уже рассмотренными в предыдущем л' примерами. Рис. 107. 1) Среди всех вписанных в данный круг радиуса й треугольников найти тот, площадь которого наиболыпая (рнс. 107). Если через х; у, г обозначить центральные углы, опирающиеся на стороны треугольника, то они связаны зависимостью х+у+г= 2л, откуда г=2л — х — у. Площадь треугольника Р через них выражается так: ! 1 1, 1 Р - — йз ял х 0 — м' ял у+ — )1' з!и г —. — й' [ял х+ яп у — ял (х+ у)). 2 2 2 2 получается равносторонний треугольник. Область изменения переменных х и у здесь определяется условиями: х О, угьб, хту~2н. Нужно найти те значевяя переменных, которые сообщают выражению в скобках наибольшую величину. 2л 2л Мы уже знаем [200, пример 1)[, что это будут х=у= —, так что и г- 3 3' 1201 ГЛ.
У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х 432 2) Среди всех треугольников деююго периметра 2р найти тот, площадь которого Р наиболъшак. Пусть х, у, х означают стороны треугольввка; тогда по формуле Г е р о н а Р ]/р(р -х)(р-у)(р — я). Можно было бы, подставив сюда «--2р-х-у, преобразовать Р к виду Р- ур(р-х)(р-у)(х+у-р) н искать наибольшее значение этой функции в треугольной области, о которой уже была речь в 160, 6). Мы поступим иначе: задача сводится к нахождению наибольшего значения для произведения положительных чисел и=(р-х)(р-у)(р-я) — лри условии, что ых сумма постоянна: (р-х)+(р-у)-|-(р-х) =)р — 2р=р.
А мы уже знаем 1200, пример 3)], что для этого все множители должны быть равны, 2р так что « = у= я — . Снова получается р а в н о с т о р о ни и й треугольник. 3 ' 3) Среди вписаыыых в данный эллипсоид хй тй хй — + — + — =1 а' Ьй с' прямоугольных параллелепипедов (с ребрамы, параллелъными осям его) найти тот, который имеет наибольший объем. Если через х, у, х обозначить координаты той нз вершин, которая лежит в первом координатном трехгранном угле, то объем е = 8«уй. Вместо с можно рассмотреть величину с' х' у' х' 64а»Ь»сй ай Ьй сй ' ибо они, очевидно, достигают своих наибольших значеыий при одних и тех же х, у, й. По отношению же к и вопрос снова приводится к примеру 3) предыдущего и', Ответ: х' у' х' 1 а Ь с — — — = —, так что х —, у= —, х ай Ьй с' 3 )3' ]ГЗ' ]/3 4) Предположим, что какой-нибудь газ (например, воздух) сжимается в и о ршневом компрессоре от атмосферного давления р до давления р р, Работа, затрачиваемая при этом на сжатие 1 моля газа, выразится так: здесь )1 естыгазовая постоянная», Т, — абсолютная температура газа до сжатия, а у есть некоторое число ( 1), зависящее от конструкции компрессора Работа А, очевидно, тем меньше, чем меньше начальная температура Т,.
При больших степенях сжатия, когда экономия в затрачвваемой работе предсшвляет важность, разбивают весь процесс сжатия на несколько ступеней, в промежутках подвергая сжатый (н нагревающийся вместе с тем) газ — охлаждению. 434 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЪКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (201 Интересующая нас боковая поверхность о выразнгся теперь тах: а ь с г= — Я+В*+- Кй+Ь Ф вЂ” )«з +Ьз, 2 где з должно быть заменено найденным выражением„.обласп,ю изменения н ез а в и симых переменных х, у яшшется вся плоскость ху.
Имеем ах ся а 2Ю„'= — — — =О, )(х«+Ьз )!.з+Ь«с Ьу сг Ь 2Я= — -О, 1(у'+Ь' )«з«+Ь« х у х — — откуда х=у=-г. Ухе+В' ууз+Ь' '(У+Ьз Соответствующая точка М есп, центр вписанного в треугольник круга. Что этим значениям х и у отвечает наименьшее значение для Я, легко показать как в првмере 4) предыдущего и', опираясь на то, что — при безграничном возрастании х или у — и о" растет до бесконечности. 6) Пусть даны на плоскости три точки М, (а«, Ь,), Мз(аз, Ь«), М, (аз, Ьз), не лежшцне на одной прямой. Требуется найти в этой плоскости такую точку, чтобы сумма ее рассгоянвй до данных точек была наименьшей. Взяв любую точку М (х, у), положим В!= )«(х-а!)«ч-(у-Ь!)з (!'=1, 2, 3).
Тогда исследованию подлежит функцвя и= ЛВ!- Л)!(х-а!)з+(у-Ь!)з. Для иее существуют — везде, к р о ме данных то ч ех, — частные производные аи х — а; — -2' --.~ соз В«ч ах аи )-ь, — 2' — -2'зш В!, ау где В! означает угол прямой М!М с осью х. «Подозрительвымн«по экстремуму точками являются, таким образом, прежде всею точки Мв М, и Мь в которых производных нет, а затем та точка М«(мы увидим, что она не всегда существует), в которой производные зараз обращаютса в О. Так как при бесконечном возрастании х нли у наша функция и, очевидно, также бесконечно растет, то наименьшего значения она достигает в одной из упомянутых точек. Чтобы разыскать стационарную точку М, приравняем нулю обе частные произвош«ые; это даст нам условия: соя В,+сока«-ьсоз В«=О, ып В«-ьз(п В,+з1п В«=О.
Умножим первое иа з(п В„а второе на соз В, и вычтем; мы получим ып(В,— Вз)=зш(В,-В«), откуда В,-В, Вз — Вз. Аналогично найдем, что В,-В = — В,. 2011 1 я экстРемУмы, ИАНБОл! шие и нАименьшие знАчениЯ 435 бг би„б,) 1 — )-' М,М,'= М»М;+М»М» ЬМ»М» М»М»- МаМа Ь- М»М» 2 так что 1 М»М» М»М» -' — М»М» . 2 Аналогично 1. М»М» М»М»+ — М»М» * 2 Склацывая, получим М,М»931»М» М»М»-ЬММ»+М»М». и(М»)' и(М») т. е. Очевидно, точка М, здесь может быть заменена точкой М, ияи М„что н завершает доказательство.
Иначе обстонтдело, если один и з углов т р еу гол ьних а М»М»М» 2л равен или больше —. Тогда стационарной точки вовсе не существует 3 и наименьшее значение функции и доставляется одной из данных точек Мо Ма, Мо — именно той, которая служит вершиной тупого угла. Любопыт»»ой особенностью этой задачи является именно то, что в ней приходится, кроме стационарной точки, считаться и с точками, в которых производных не существует (ср. 196, замечание И). 7) Обобщим задачу 1): станем искать вписанный в данный круг (радиуса и) (и+1)-уголышк с наибольшей пвощадью Р.
Обозначим через х„ха, ..., хл, хи в, центральные углы, которые ошараются на стороны многоугольника; тогда ха-~-ха+ ° ° ° +х Ч-хлв»=2л, хи+а=-2л-(ха+ха+... +хл). откуда 11лощадь Р равна 1, 1, 1 1 Р=-- Д* 8~ах»-~.— )1'з!и х»4 ... 9 — )1» 8(п хи Ь вЂ” )1» 8(п хи+а, 2 2 2 2 28' Таким образом, углы между прямыми М»М„М»М„М»М», взятыми попарно, 2л все должны быть равны —, и точка М получается в пересечении дуг, построеи- 3' о ных на сторонах треугольника Л»»М»М» и вмепаающих 2л угол — .
б' Иг(л»об ) Если в этом треугольнике нет ..Л( 2л ..Л(г гж3 У угла, ббльшего или равного —, то Р 3 Р названные дуги, действительно, пересекаются внутри бгабтг,ба) треугольника и определяют точку М„из которой 2л стороны его видны под углами, равными — (рис. б» х 3 109). В этом случае надлежит сравнить зиачевия, Рис. 109. которые и получает в названных четырех точках. Мы докажем, что значение и в стационарной точке Мо будет меньше других (а значит, и вообще наименьшим).
Действительно, по»теореме косинусов» гл. ч, пункции нкскольких пн нмннных 436 [201 если подставить вместо х„+, его выражение, то вопрос сведется к разысканию наибольшего значения для функции и 51п хг+зшх«-]-... +Яп хе+Яд [2Л вЂ” (х» ! хз+ ° ° ° +х )]. причем область Й зпменения независимых переменных х„хз, ..., Х«определяется неравенством х,-О, х«-0, ..., Х«в О, хг-]-х,+... +х««н2Х, т. е.
представляет собой л-мерный симплекс [162]. По общему правилу вычисляем производные и приравниваем нк нулю со5 х» — со5(хг+хе+ ° ° ° ]-хл) =-0 Соз Хл — со5 (Хз+Хя+... +Хл) = О единственной внутренней точкой области, в которой выполняются зтн условия, будет точка 2л [ 2л ) х,=х,-... =х„=- — !тогда и хл+ = — ) я-! 1 «+1 1 2л ей отвечает и (я+1) зш —. л+1 Для того чтобы доказать, что это, действительно, будет наибольшим значением и, воспользуемся методом математнческой ннлукпин. При 5=2 наше утверждение уже установлено в прнмере 1) предыдущего л'.
Допустим, что оно верно для случая л слагаемых синусов (так что для их суммы наибольшим значением 2л! будет л яп — ~, и докажем верность его н для нашей суммы и+1 синусов. п) Согласно об»цнм указаниям, сделанным выше, надлежит сравнять значение 2Х (и ь1) 5]п — — со значенлями, которые функция принимает на границе области я+1 63. Возьмем, например, »грань симплекса» х„=0; на ней и будет функпней лишь от л-1 переменных» И = 5Ш Х,-]-Яп Х«+... -! 51П Хд, +ЯП [2л — (Х, + Х,-]-... ~ьхл 1)] 2л и, по допущению, нанбольпим значением здесь будет я 5!Л вЂ”.
То же можно установнть и для других «граней». Но так как 2, 2 л Яп —.«(л+1) 5!и — — «), »1 и+1 то наше утвер:кдение доказано. Наибольшую площадь будет вмез.ь и р а в н л ьн ы й многоугольник. 8) Рассмотрим электрическую питательную сеть с параллельным вюпочением. На рис. 110 представлена схема сети причем А и  — зажимы исгочшн«а тока и ЄЄ..., Є— приемники тока, потребляющие, соответственно, токи 1'„11,..., 1„. Требуется, при наперед заданном допустимом общем падении потенциала в цепи 2е, определить сечения проводов так, чтобы на всю магистраль пошло наименьшее количество меди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
