Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Начнем со следующей простой теоремы. Теоре>ио. Предположим, что 1) Лх,у) определена в (открытой) области ~), 2) в этой области суи)ествуют первые производные Тз' и уз', а также вторые с лз е ш а н н ы е производные У'„'„' и у'„' и, наконец, 3) эти последние производные у'„'.з' и>"з"„, как 9>ункпйих и у, непрерывны в некоторой точке (х, у ) области $.
Тогда в этой точке Лу(хо Уо) =А»(хо Ув). Доказательство. Рассмотрим выражение 11г Х(зо 1 Ь. Уо«Ь) Лез+я Уо) Лхо Уа«Ь)«Л»о Уз) М где Ь, й отличны от нуля, например, положительны, и притом настолько малы, что в л) содержится весь прямоугольник [хо, х +Ь; Ум У 9 Ц; такими мы их фиксиРУем до конца РассУждениЯ, Введем теперь вспомогательную функцию от х: Л., уз+К)->(»; >') 9'(х) = —— которая в промежутке [хю хв -' Ь), в силу 2), имеет производную ( ) Х'(х хо+к)-ХИ»з >ь) к и, следовательно, непрерывна.
С помощью этой функции выражение Вг, которое равно 11г 1 ГЛ»6+~~ Уз+Ь) .Й»оьй Зз) Лхз >'о«й) Лхо Уо)~ (2) Ь к можно переписать в виде: Вг Е(з «Ы %(хк) А Так как для функции ч>(х) в промежутке [хч, х «-Ь) выполняются все условия теоремы Лагранжа [1121, то мы можем„по формуле конечных приращений, преобразовать выражение И' так: О»» Ух(»»«В>Ч Уп ~ К) >»(за+ ВЬ Уо) гхо.~ (О. 0 1).
Пользуясь существованием второй производной у„'.>(х, у), снова применим формулу конечных приращений„на этот раз — к функции от у.' Ях„«-ОЬ,У) в промежутке [у„у, ) Ь1. Окончательно, получим й»=Д,(х„+ 0Ь, у, — 0»Ь) (О О, 0»~1). (3) [НО Гл. ч. Функщки нескольких пеРеменных Но выражение И'содержит х ну„с одной стороны, и Ь и )с, с другой, одинаковым образом. Поэтому можно обменять их роли и, введя вспомогательную функцию оу«у) = У[хо+а, У) -Лхо, У) путем аналогичных рассуждений получить результат: И,УУХ(хо ~ 0«Ь Уо + ВЗУс) (О 02 02 1)' (4) Из сопоставления (3) и (4), находим: У„'"(х + ВЬ, у о В Ь) =у '„'((~ о В,Ь, у + 0 Ь). Устремив теперь Ь и Ь к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу. Ввиду ограниченности множителей 0, 0„02, В„аргументы и справа и слева стремятся, соответственно, к х„у .
А тогда в силу 3) окончательно и получим: У,"т(ха, уо) =Яхо, уо)„ч. и тр. д. Так«пи образом, непрерывные смешанные производные Я и уу» всегда равны. В приведенном выше примере эти производные о о яхоуо УРР=УРТ= — 1[+ 1 [хо-Руо-О) ..+„, +~и ее имеют вовеа предела при х-с, у-О и, следовательно, в точке (О, О) терпят р а э р м в: к этому случаю наша теорема еетестаеиео ееприложвма. Интересно поставить в связь вопрос о равенстве (1) с вопросом о повторных пределах, рассмотренным в и' 168. Если предположить существование первых производных, то, написав выражение И' в виде (2), легко усмотреть, что йш И ="'"" "' У'["-") (Ь=сопа[) (5) «о л и, аналогично, Иу ух[а уо+ ь) у«[хо уо) (Ь [) (5*) Тогда, по самому определению производной, [' (х у ) 1[ш УУ[ о+ ' Уо) Л( о Уо) 1[ш 1[ш [[ (б) Ь «-о «-о «-о Уи( ) 1[ш У[(хо У«о ) у[Их« Уо) 1[па 1[па Ит (бо) «-о «-о «-о Таким образом, вопрос о существовании и равенстве смешанных производных тождественен с вопросом о существовании и равенстве п о в т о р н ы х п р е д е л о в для выражения ИУ (зависящего от Ь и к).
1911 1 4. пРОизВОдныи и диФФВРенциалы Высших пОРядкОВ 407 Это замечание позволяет следующим образом у с и л и т ь доказанную теорему. Предположим, помимо существования первых производных, существование лишь одной из смешанных производных, например, Д'(х, у) в окрестности точки (хо, у,) (исключая даже саму эту точку). Луста, далее, существует конечный предел Бпз Ях, у) = А. х х, У У~ Отсюда уже вытекает существование в точке (х, у,) обеих смешанных производных и равенство (1) *). Действительно, исходя из сделанных предположений, можно, как и выше, прийти к равенству (3), а затем, пользуясь существованием предела функции у„'у(х,у) в точке (х,у), установить существование двойного предела при одновременном стремлении й и к к нулю: йш Н/=А.
л-о л-о Но простые пределы (5) и (5а), по предположению, существуют: тогда по теореме и' 16В, существуют также повторные пределы (6) и (ба) и равны двойному. А зто и значит, что существуют и равны мелоту собой производдые )"„'(хо, уо) и /'„'(хо, уа). 191. Обобщение. Обратимся, наконец, к доказательству общей теоремы о смешанных производных: Теорема, Пусть функция и=у(х„хз,..., х„) от п переменных определена в (открытой) и-мерной области л) и имеет в этой области всевозможные частные производные до ()с-1)-го порядка включительно и смешанные производные )с-го порядка, причем все эти производные непрерывны в ф.
При этих условиях значение любой )с-й смеиг анной производнои не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для к =2 теорема уже доказана, так что, например, Действительно, чтобы свести этот случай к первой теореме, достаточно заметить, что при вычислении этих производных можно всем прочим переменным (кроме х, и х,) приписать постоянные значения, причем названные производные, непрерывные по всей совокупности переменных, будут непрерывны и по переменным х, и х), при фиксировании остальных.
Пусть теперь к 2. *) Это предложение прииаддежит П) а а р н у (Н. А. Вс)лиатг). гл. к втнкции нескольких пеееменных Докажем сначала нашу теорему для того случая, когда при вычислении производной Ьго порядка произведена перестановка только между двумя п о с л е д о в а т е л ь н ы м и дифференцированиями, т. е. докажем справедливость равенства (7) дхьдхь . ° дхь дхаи ... дхв дхь дхь ...
дхь„дхи ... дхь ' (Здесь 1„1и, ...,1„, 1««ч, ...,1„есть некоторое размещение из и знаков 1, 2, ..., и по 7«, с возможными повторениями.) Произведя последовательно необходимые для вычисления этих производных дифференцирования, видим, что производные (7« — 1)-го порядка в обоих случаях одинаковы. Применив к ним уже доказанную для /с = 2 теорему, получим, что и производные (7«+ 1)-го порядка равны.
Дальше же в обоих случаях нужно производить одинаковые операции, которые и приведут к одинаковым результатам. Итак, равенство (7), действительно, справедливо, и теорема для этого случая доказана. Но так как всякая перестановка элементов может быть достигнута рядом перестановок двух последовательных элементов, то теорема доказана и в общем случае: при условии непрерывности соответствующих производных, всегда можно переставлять между собою дифференцирования по различным переменным. Непрерывность производных мы впредь всегда будем предполагать, так что для нас порядок последовательных дифференцирований будет безразличен. Это дает нам право впредь при обозначении смешанной производной собирать вместе дифференцирования по одной и той же переменной. Если и есть функция от х„х„..., х„, то мы будем писать такую производную в виде ди д д ...
д *. ' ° "'' « где к1 «из+... ьк„=х; если же и есть функция от х, у, ..., х, то— в виде дии дх* ду« ... дгд ' где ««+Р«- . +у=к. Отдельные «показатели«к„и,, ..., ки или а, 1), ..., у могут быть и нулями: наличие дифференциала с «показателем» 0 означает отсутствие на деле дифференцирования по соответствующей переменной.
1И. Производные высших порядков от сложной функции, Пусть имеем функцию л=-Ях,, хз,..., х«)« 1921 1 а пгоизаодныи и диаегаинциллы выса~их пюаядкоа ГДЕ Х„Хх, ..., Х„В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ, СУТЬ ФУНКЦИИ От ПЕРЕМЕННЫХ 1„ сх . )1м х,=ф,(1„1з,...,1 ) (с=1, 2,..., п).
Относсстельно функций у" и цз предположим, что они имеют непрерывные частные производные по всем переменным до lс-го порядка включительно. Рассматривая и как сложную функцию от переменных гх саз ° и=р(1„1х, ..., 1,„)=Яр„р„...,9„), докажем, что сложная функция имеет также все производные до к-го порядка включительно, и притом непрерывные. 'Точнее говоря, мы будем доказывать следующее предложение: каждая производная йг о порядка функции г существует и составляется из производных функциии у'(по ее аргументам х„хх, ...,х„) и функций р;(по их аргу- МситаМ!„сз,...,1 ), ПОР ЯДКа НЕ ВЫШЕ КГ О, ПУТЕМ УМНО- же ний и сложений.
Доказательство будем вести по методу математической индукции, Для к =1 это утверждение справедливо; оно следует из выведенной ранее формулы для производной сложной функции [181). Предположим, что теорема верна для производных всех порядков, низших, чем и; докажем, что она верна и для производных 1с-го порядка. Каждая 1с-я производная получается из некоторой (/с — 1)-й посредством дифференцирования по одному из 11.
Представим себе производную (1с — 1)-го порядка. Она по предположению получается из производных функций 1' н 9з; по переменным х и 1 порядков не выше к — 1 путем умножений и сложений, т. е. представляет собой сумму произведений упомянутых производных. Дифференцируя по 11 любое из этих произведений, мы должны по очереди дифференцировать каждый из множителей. Если этот множитель есть производная порядка не выше к-1 от одной из функций ф, то в результате дифференцирования его мы получим производную той же функции порядка не выше и. Если же это будет производная порядка не выше 1с — 1 функции у, то рассматривая эту производную как сложную функцию от пеРеменных 1 и диффеРенциРУЯ ее по ср мы заменим ее известной суммой произведений *). В результате, для рассматриваемой производной й-го порядка получится, очевидно, выражение как раз указанного вида, что и доказывает наше утверждение. Непрерывность производных сложной функции г" вытекает из самого способа составления их из производных у' и у„поскольку последние предположены непрерывными.
*) Именно предположение о и с п р е р ы а и о с т и всех производных функций Г и обеспечивает праха пользоваться изасстиым иам правилом лля аычисдсиия производных от сложипв фуахпии 1181). 1931 1 4. пРОизВОдные и диФФеРенциАлы Вгвсших пОРядкОВ 411 определяется как (полный) дифференциал от дифференциала (к — 1)-го порядка в): г(» =г((г(« 'и). Если для функции и существуют непрерывные частные производные всех порядков до Й-го порядка включительно, то существование этого й-го дифференциала обеспечено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
