Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Тогда,позамечашпо) и' 196, в этой точке должен обращаться в нуль ее дифференциал и притом — тождественно относительно дифференциалов и е з а в ис им ых переменных «Х~„..., ь]х„. По инвариантности формы первого дифференциала [185), это условие можно записать так: льл р» .Р, — — г]х)=-0, ,, бх) (б) где под 4]х„«г, ..., г]х,«и разумеются дифференциалы функции (4) в точке Рь, в то время как частные производные вычислены в точке Мь, ибо (как явствует из теоремы ]Ч) 9'г(хет» . -'«) =х.-!-! Чи»(х! ' х«) — -лл««». (7) и+«» бЮ Д' — — 'г(х)=О (!':=1, 2, » т). (8) «) точнее говори, мы ди4»ференпируем тс тождества, которые попучаются из уравнений (1), есин вместо х„ь„..., т»»«»я я них подставить неявные $ункпии (4).
Подобный способ речи мы будем применять и впредь, Из (б) нельзя, конечно, заключигль о равенспгве нулю козффи!)вснп!ов при дифференциалах, так как не все зти диффгренг)палы произвольны. Для того чтобы свести дело к произвольно выбираемым дифференциалам, т. е. к дифференциалам г]х„..., »)х„независимых переменных, мы постараемся исключить отсюда дифференциалы г)хяьг, ..., г]х,«и переменнъгх з а в и с н м ы х. Это легко сделать, если продифференцировать полным образо м уравнения свящ (1), разумея под х,+г, ..., х,«функции (4) "): 470 гл. уе ФункциОнхльные ОпРеделители; их пРилОжения [ыз Здесь, как и выше, ввиду (7), частные производные вычислены в точке ЛХ. Так как, по предположешпо„определитель (3) в этой точке— не нуль, то 1(х,+1, ..., Ых,„„, могут быть отсюда линейно выражены через 11х1, ..., 1(х„.
Если эти выражения подставить в (6), то получится равенство вида А йс1 Ф... + А„1(х, = О, где А„..., А, означают л выражений, рациональных относительно частных производных функций Ф1, и здесь взятых в точке ЛХ . Так как в этом равенстве фигурируют только дифференциалы Ых„..., 11х„ независимых переменных, то в точке Ме имеем А,=О, ..., А„=О. Вместе с уравнениями связи это дает и-~-т уравнений для определения неизвестных хх, ...,Х,.1.
Конечно, мы установили лишь необходимые условия для экстремальной точки ЛХЕ(хы ...,:4+ ). Но и в таком виде условия могут быть полезны даже для разыскания наибольшего (или наименьшего) значения функции Х при условиях (1), если по характеру вопроса наперед ясно, что внутри рассматриваемой области должна существовать точка, где это наиболыпее (наименьшее) значение достигается, илн если такое допущение сделано в порядке наведения, с тем чтобы найденную точку апробировать другими соображениями. Примеры приведены ниже, в 214. 212.
Метод неопределенных миожителей Лагранжа. В изложенном выше способе нарушается симметрия в отношении переменных: часть из них трактуется как независнмь1е, часть — как зависимые, одни дифференциалы исключаются, другие сохраняются. Иногда это влечет за собой усложнение выкладок. Л а г р а н ж предложил метод, при котором все переменные сохраняют одинаковую роль. Умножим равенства (8), соответственно, на произвольные пока («неопределенныеу) множители 21 (1 = 1, 2,..., т) и результаты почленно сложим с (6).
Мы получим равенство (У) з 11дхз 1дх1 ''' ~дх11 где по-прежнему 1(х,.у1, ..., Их„+„означают дифференциалы неявных функций (4) (в р а с с у ж д е н и и мы пока сохраняем неравноправие переменных); производные вычислены в точке ЛХ„. Выберем теперь значения множителей 21=114 (1=-1, ..., т) так, чтобы обращались в нуль именно коэффициенты при зависимых дифференциалах 1(х„+1, ..., 1ХХ„„ (Х=" 1, ..., " ). 2121 о Х НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЯВНЫХ ФУНКПИЙ 471 Это сделать можно, поскольку определитель (3) системы линейных уравнений, получающейся для определения 2ы У, ..., У, отличен от нуля.
При выбранных значениях множителей равенство (9) при- мет виц и (9*) Здесь мы снова имеем дело лишь с дифференциалами н е з а в и с и- м ы х переменных, поэтому коэффициенты при них должны быть нулями, т. е. наряду с (10) имеем и дУ уо. дФ1 „2о . дФт дху' ' дху ''' 'дху (у = 1, 2, ..., Л). (10о) Итак, для определения л Р и неизвестных х„..., х„„, да еще и множителей 2„..., 2, имеем столько же уравнений, именно и уравнений связи и а+ и уравнений дУ дФ, дФо, Р2, ° — '+... +2 ° — =0 дху 1 дху ' ' ' о' дху (1=1, 2,..., л+и) [см.
(10) и (10о)1. Для того чтобы облегчить выписывание этих уравнений, обыкновенно вводят вспомогательную функцию У= у'-Р 2,ФТ Р... -~- 2„,Ф,„; тогда упомянутые уравнения могут быть записаны в виде дь' = 0 (у = 1, 2, ..., л+ и). (11) дх, Опи выглядят так же, как и условия обыкновенного экстремума для функции Г. Это следует рассматривать лишь как указание, облегчающее запоминание. Иметод Лагранжа приводитк необходимым условиям. В остальном здесь может быть повторено то, что было сказано в конце предыдущего номера. Замечание.
В изложенной теории существенную роль играло предположение о ранге матрицы (2), которым мы воспользовались триждьь При решении задач одним из указанных методов — для уверенности в том, что не пропущена ни одна точка, доставляющая функции относительный экстремум, — следовало бы предварительно установить, что упомянутое предположение выполняется на деле во всех точках рассматриваемой области, удовлетворяющих уравнениям связи.
В простых случаях мы будем предоставлять это читателю. 472 Гл. У1. ФункциОнАльные ОпРелелители; их НРилОжения [313 213. Достаточные дли относительного экстремума условия. По этому поводу мы ограничимся немногими замечаниями. Предположим существование и непрерывность в т о р ы х производных для функций 1'и Ф7 (7'а1, 2, ..., И1). Пусть теперь точка Мл(хм ..., хе+а), совместно с множителями 21Р, ..., 2еа, удовлетворяет установленным вьппе необходимым условиям. Вопрос о наличии в этой точке (относительного) экстремума зависит, как и в 198, от знака разности А=)"(х„..., х„+„)-Дх» ..., хе+а), с той лишь существенной оговоркой, что и точка (х„..., х.+ ) удовлетворяет уравнениям связи (1) или — что то же — (4). Легко понять, что д л я таких точек приращение функции 7' может быть заменено приращением функции Г (где все множители 21 мы считаем равными 2о).
А=У(х„..., ха+а) — Х(хы...„хе+ ). Ввиду того, что в точке М, выполняются условия (11), — в этом-то н состоит выгода перехода к функции Г, — это приращение„по формуле Тейлора, может быть записано так (ср. 198, (8)): 7 1л+а л+а А = ~ ~,~ А71 Ахг Ахя + Д' и71 Ах7 Ах1 Лл-1 А1=1 где Ах7 =х1 — хУ, А7А= К'„;л(х~д, ...„х'„'.1 ) (у, К а 1, 2, ..., в+ Л1) и и71 О, если Ах, О, ..., Ах„О (остальные приращения Ах„а„... ..., Ах„э при этом сами собой будут бесконечно малыми по непрерывности функций (4)).
Если заменить здесь все приращения Ах7 соответствующими дифференциалами Ах7, то по отношению к независимым переменным это вообще ничего не изменит; что же касается з ав и с им ых переменных, то произведенная замена вызовет лишь необходимость поставить вместо коэффициентов а7„друпге бесконечно малые ЯА: 1 1л+а лл-а А = - Д' Агл Лх7 АЛЬ -~- ~ 1171 Ах; Ах;, /,1=1 Л1=1 Переход к дифференциалам выгоден потому, что дифференциалы зависимых и независимых переменных связаны системой л и нейи ы х соотношений (8).
Так как определитель (3) в точке М„по предположению, — не нуль, то отсюда зависимые дифференциалы выразятся линейно через независимые. Подставив их выражения в А, 214) 1 з. некотоеые приложения теоеин неявных еункций 473 мы, вместо первой суммы, получим к в ад р а т и чн ую ф о р му относительно диффереипиалов ох„ ...,г(х„. А теперь, так же как и в 198 и 199, можно показать, что: если эта форма будет определенной н притом положительной (о т р и и а т е л ь и о й ), ию в испытуемой точке будет относительный минимум (макснлеум)г если же форма оказывается и е о п р е д е л е ни о й, то относительного экстремума нет.
Впрочем, практическое значение этого критерия невелико (ср. замечание в 200). Перейдем к примерам и задачам. 214. Примеры и задачи. 1) Пусть требуется найти экстремум функции Г.=х~-у-ьхч-г при условии Ф=хугг-се=0; область изменения переменных определяется неравенствами х О, у О, х О, г О. Мы уже рещаеи эту задачу в 200, 4) фактически выражая с из последнего условия. Теперьч дифференцируя это равенство полным образом, найдем дх Ыу дх сг Их Иу сх) — + — 0 — Ь вЂ” =О, откуда из= -Г ~ — + — + — ~ .
х у х г (х у искщочая т из равенства чу'=скосу+ля+се.= О, придем к результату ~1 — — ~ ех+(1 — — ) Фу+~1 — — ~ сх=-о, который, ввиду произвольности Ых, ду и да распадается на три; г с 1- — -О. 1--=0, 1- — =О, х у так что х=)=к=!=с. Применяя к той же задаче метод Л а г р а н ж а, введем вспомогательную фующню Г= х+ у+ х+ г+ 1хухг е) и составим условия: р„'=1+1ухг=о, ..., р;-1+)луг=о, откуда утг-ххг-хуз=хуж так что Для того чтобы воспользоваться результатом предыдущего и', вычислим 1 1= — — и рассмотРим фувкпиго се хугз р=хЧ у1г1 Г- — —. с' Ее второй дифференциал (в точке х=у=х=1=с) буде~ 2 взр= — — (ихлу.).лхлхч ыхлг ~ иу вгч лу лгч-ив ау). с Дифференцируя уравнения связи (все в той же точке), получим Ых+ Иу+ Ых+ лу = О.
*) Если вспомнить роль этой функции, то станет ясно, что посгоянлос слагаемое в составе Ф здесь может быть опущено без вреда. 4?4 гл. ш. оункцнонлльнын оцвнднлитнлиз их цвцложннил [214 Если определить отсюда з?г и подставить в предыдущее выражение, то окончательно найдем 2 1 — — [Й 4 + сзх з?х+ Иу з?л - (Й+ Иу+ з(х)Ч вЂ” [(Й+ азу+ сзх)«+ Йз+ с?уз '; з?зз]. с с Так кзк эта форма, очевидно, определенная и положительная„то в найденной точке будет относительный минимум. [Отсюда, однако, нельзя сделать захлючение, что этот мввимум будет н н а им е н ь ш и м значевием функции ?'= х+у+х+ ? при указанной свлзи между значениями ее аргументов; ср. 200, 4)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
