Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Применяя повторно 4юрмулы (11), можно и здесь получить выражения дальнейших производных. Например, дА дг дВ дг Г дгг дсг 1 Г дск дЫ =--- — + — — — +А(А — --.В ~ -1В(А + — ~ ). -дхдг дхди ~ дс- дсд»3 ~ дсаи ди~1 Наконец, в общем случае, пр«произвольных формулах преобраювания Ф(х, у, Г, и) =- О, сР(.г, у, с, и) . О, (12) ьюжно пользозасься как прямым, так и обратным месодом, вычисляя частные производные дс' д.с ду ду дс дс ди д» дс ди дс ди дх ду дх ду ло правилам дифференцирования неявных функций. 220. Метод иычислеиия дифференциалов. Укажем теперь и другой метод для ВЫражсиня СтарЫХ ПрОИЗВОдНЫХ ЧЕРЕЗ НОВЫС, Оеабеина удОбНЫй, ЕСЛИ В Г(с Вкадят не отдельные производные, но все производные данного порядка.
Это — м е т о д вычисления полных дифференциалов. Он также может быть представлен в двух формах, в зависимости от того, считиотся ли с и и илн х и у независимыми переменными. Пусть сначала независимыми будут с и и, все дифференциалы берутся именно по этим переменным (п р я м о й метод). Дифференцируя полньсьг образом формулы преобразования (12), можно выразить ссх и с(у линейно через с(с и с(и: с(х - и с(гч-д с(сс, с)у = у с(с.(-д с(»; (13) затем, дифференцируя эти формулы, представим с(сх и иву в виде однородных многочленов второй степени относительно гд и с(сс: с(эх=-г с((с= ь" с(г с(и-~-с) с(»с, с(су- р сйс-' с с(г с(и~-и»сиз.
(14) н т. д. Коэффициесстьс а, Гс, ..., с, и суп известные функции от х, у, с и». ") Здесь уместно сделать замечание, аналогичное замечанисо на стр. 484. Так как выражения старых пронзводных через новые содержат х, у, ю паоле подстановки этих выражечий в Ис может оказаться необходимым еще исключать х, у с помощью формул преобразования. Читатель лспю заметит и в дальнейшем случап, сходные с этим, то удобнее прибегнуть к обратному методу, т. е.
рассматривать к как сложную функцию от х, у через посредство с, и, и дифференцировать ее по старым переменным. Это сразу приведет нас к формулам типа (10); 490 тд Ч! ОЭЧЧКССЗЭОНАССЬНЬСВ ОПУВДННИтвззпс НХ ПВИЛОЖНННЛ (220 Представим теперь аг двояко (пользуясь внварнавтноссью формы дифференциала): аг а а а с(г = — ах+ — ау+ — й+ — аи. (15) дх ду дс ди Если вместо ах н ау подстаыпь вх выражения (13) и прнравшпь коэффвцненты при й и аи в обеих частях равенства «), то получатся линейные уравнения Вг дг дг дг дг дг а-+у-=- н 15-+Э Эх ау аС ах ау=да' аг аг вз которых определятся пронэводные — п — . ах ау' Аналопвшо, можно предстишть двояко срг (помня о том, что независимыми ременными яшвпотся не х и у, а с и и): д'г д'г д'г дг дг Эгг= — йа+ 2 — Их Ыу+ — Э)д+ — Аэх+ — ~РУ дхг дх ду ду' дх ду Эгг Ээг Э«г = — аС«4-2- й с(и<- — аи«. дс* дс аи диэ (16) Подставив вместо ах, ау, аэх и аэу нх вырахсеввя (13) и (14),.првравняем коэффициенты при й', й аи н йР в обеих частях равенства «*).
Это дает нам спетому трех а*. а. Вгг с а. лвнейвых уравнеюсй для определения производных —, —, — стах как —, дг а" аиду' ду* ~ Эх' — уже известны); н т. д. ду Более простым в осуществлении является обратный метод, при котором незавнсвмыми перемевнымн считаются х н у, так что все дифференциалы берутся на этот раз по этим переменным. Последовательным дифференцированием из 4юрмул преобрюованвя (12) мы получаем здесь й = а ах+ Ь Иу, с(и = с Их -~- Э Ф а«С Е «СХ«+~АХНУ+гауз, «-и= Ь АХ«+ Сии ауьС й" (17) (18) н т. д.
и здесь коэффициенты а, ь, ..., с, с суть нзвестные функции от х, у, с н и. Если в (15) вместо Ис и йс подставвть нх выражения (17) и приравнять коэффициенты при с(х н асу в обевх частях равенства, то ве по сред от вен во по- лучнм дг дг Вг дг аг дг — =а — +с —, — =Ь вЂ” +д —. дХ дС ди' ду дг аи Взамен (16) в настоящем случае будем иметь э. а а. Э. агг Эгг ах э.
ачг = — йсэ+ 2 — ах Ну+ — Иуа = — йг+ 2 — й аи+ — аи«+ — А«с+ — Аэи д ' ах ау ау* =ВС ас Эи Эи Эс аи *) Напомним, что равенспю Аэс+Вйс=А'й+В'йс может иметь место дшв' произвольных йнйслвпсьв том случае, еслнА-А'нВ-В'. ««) Равенство Айг+Вййс+Сэиг=Ай«-ЬВс(сэи<-Сс(и«может иметь местп для произвольных Асяс(и авцсь при А-А; В=В', С-С', 2211 Ф к 3АменА пнунминных Подстановка выражений (17), (18) и приравннвание коэффициентов при с(хэ, с(х Ау и с(уз в обевх частях равенства непосредственно приведут к вычислению Э'т Э'к Э'х производных —, —, —; и т. д. Э" ах Эу' ау ' 221.
Общий случай замены переменных. Обратимся, наконец, к общему случаю, когда заменяются и независимые переменные, и функция. Пусть формулы преобразования разрешены относительно старых переменных: (19) х-р(с,и,с), у р(с,и,е), х 2(с,и,с). Если х есть футпшия от х и у: к=./(х, у), то подставляя сюда вместо х, у н з их выражения через С, и, е, получим зависимость между последними перемевными, так что е будет функцией от сн и. Считая независимыми переменными С я и (прямо й метод), а з — функцией от них через посредство х и у, как и выше, получим равенства (9), а из иих дх Эх (!О).
Но здесь под —, ..., — разумеются полныее частные проюводные от Эс Эи х, у, х по с или и, получаемые из (19) с учетом того обстоятельства, что е сама зависиг от С и и: Эх Эр Эр Эе Эх ах дт Эе дс Эс Эс ас д» ди Эе Эи Эе де Коэффициенты А, В, С, СЗ содержат не только с, и, е, но и производные —, —; Эс Эи последние входят р а ц и о и а л ь н ы м о б р а з о м. Последовательное применение формул (10) и здесь приведет к выражениям для вторых производлых, н т. д.
Если формулы преобразования разрешены относительно новых переменных: с=и(х,у,х), и=)у(х,у,/), с=у(х,у,х), (20) то обычно прибегают к обратному методу, т. е. счнсают независимыми переменными х и у. Имеем ае де дс Эс Эи де дс Эс Эс Эи — = — — + — —, + Эх Эс Эх днах' ЭУ Эс Эу аиду Эс де Вместо —, ..., — сюда нужно подставить вх выражения, получаемые днффсренах' "'ау цированием по х и по у формул (20), с учетом того, что х есть функция от х и у: Эс Эи Эи дз Эе ау а) Эх — =- — + — —, ..., — = — -~- — — ° Эх Эх Эх Эх' Эу Эу Эс ду Эк Эх Таким путем получаются линейные относительно — и — уравнения, из котоЭх Эу Эе Эе рых эти пронзволные легко выражаются через х, у, т, — п —.
' ''ас э.' Вычисление дальнейших производных проще всего выполнить так: диффе- Э ( аз) ренцнруем полученное для — (или — ~ выражение снова по х (по у), рассматривая ах~ эу~ производные — и — как функции от х и у через посредства с н и, и т. д. Эс ди 492 гл. сь еункцноняльнын онс'вдвлнтпли; нх пгнложнния 1221 В случае формул преобразования общего вида А(х, у, х, с, и, е) = О, В(х, у, д с, и, е) = О. ~ Г(х,у, х, с, в, е)=О (21) гд = ас Эх+аз с)У+аз с(х ° 1 Ии=-Ь Ах+Ь ау+Э дх Ас~= с, Эхч сз Ау+се Ах; (22) асс = дс ах + дг Ах Ау С дз Эу~ + Э4 дх с(х ч 4 Э, йу с(х ~- д, Эх' + а, срх, ача=сгдх~ч 1'е Эх едэачс срсс=Дссхзе".-ГУедхзч г с(сх; (23) Если в равенство де де Эе=.
— гд+ — Эи дс ди подставить вместо Эс, Ии и де их выражения (22), то получим Эе де с, Ах+ос Ау+ сэсх=- — (а, с(х+аз Ау+аз Эз)-~- — (Ь, Ах-~-Ьэ Эу ЬЬ, Эх), дс ди откуда Эх=А Эх ЬВИу, (24) де де где А, В рациональнылг образом содержат производные — и— дс ди Сопоставляя это с (юрмулой дс дг Эс= — с(х 1- — Ау, Эх ду видим, что Эх дс — =А, — =В.
дх ду Возьмем теперь равенство (с и и не являются независнмымн перемен- нымн) д'е, дсгс д'е д е, де пасс- — ИР42 —. Эс суие — Аис4 — Эссе — Эти дсэ дс ди ди' Эс ди и подставим сюда вместо Эс, Ии, сРс, Ээи, сРе ях выражения (22) и (23), а затем и Эх, заменим его выражением (24). Из полученного равенства определится срж срт= Сс(хе+2(сдхс(у-)-ЕЭус, можно пользоваться любым из этих методов с применением нравнл дифференцирования неявных функций. Для решения рассматриваемой общей задачи замены переменных применим и метод вычисления полных дифференциалов. Мы ограничимся изложением той его формы, которая свюана с предположением, что независимыми являются старые переменные х и у (обратный метод), так что по этим переменным и берутся все дифференциалы.
Последовательным дифференцированием, исходя из формул (21), можно найти выражения 493 1 а зьмвнь лвувмпнных 222) где С, )з, К рациональным образом содержат производные —, д~ дге дгв дг'д' — — — . Сопоставляя с формулой дгг дз ди ди' д'г дгг д'г гРг= — ЫхгЧ-2 — г)х ду»- — дуг, дх' дх ду дуг приходим к результату дгг дг дг — ==С, — =)з, — =Е, дх' дх ду ду' и т. д. Задаче преобразования переменных и здесь можно придать геометрический смысл. Если переменные (х, у, г) и (г, и, е) рассматривать как координаты точек М и Р пространства, то формулы преобразования, например, в форме (20), относят каждой точке М некоторую точку Р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
