Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 95
Текст из файла (страница 95)
506 Гл. чп. пРилОжения диФФЯРенциАльнОГО исчисления 1224 2) Э л л и и с, отлесеияый к осям симметрии, имеет уравнеыие х* уз — + — =- 1. лз Ьз х у Поскольку сумма квадратов величиы — и — должна равняться единице, есгест- а Ь ввело припять их, соответственно, за косинус и синус векоторого угла Г.
Это приводит к обычному параметрическому представлению эллипса, х-асозг, у-Ьвшг; при измевепии г от 0 до 2х эллипс описывается против часовой стрелки иачивая от коица А (а, 0) большой оси. Можно было бы, разумеется, использовать и какие-либо другие выражения, сумма квадратов которых равыа единице, и положить, например, 1-в' 2и х=а — -, у=Ь--- 1+аз 14в' где и изменяется от — до -ь . Так как при в- х имеем х- — а, у-О, то можыо считать условно, что точка А' (- а, 0) получаетсх при и= х Аналогичыо для случая гиперболы хз у" — — — =1, е' Ье вспомиыая известное соотношеыие, связывающее гиперболические косинус и сиыус, можно поло- х=асйс, у-Ьз[гс ( — г Ф ).
Другое представление той же кривой: 1+из 2и х=а .-- †, у=Ь 1-вз 1-и' (- и-Ь; ввя1) Чытателю рекомендуется во всех случаях дать себе отчет в передвижении точхи по кривой лри изменении параметра. 3) П о лу ку бич еск ая парабола (рис. 115) уз-схз=О (с»О) Здесь о с о б о й точкой служит начало (О. 0). Если решить уравиеиие отыосительыо у, то получим яввые уравнения двух силпяетрвчвых ветвей кривой у= Е )схз= Я [/схз.
Так как у'= 0 при х = 0 для обеих ветвей, то в начале опи обе касаются оси х, я налицо острие [точка возврата, см.236). 4) А с т р о и д а (рис. 116) х'+у' = а' (а 0). Это уравыевие, собствеыво говоря, ые подходит под тот тип, которым мы условились ограничиться; в каждой из точек (та, 0) и (О, ха) одна из частиых производзпях левой части уравнения обращается в .
Впрочем ыетрудыо, освобо- 508 Гп. ЧГ!. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО!"О ИСЧИСЛЕНИЯ [225 У ограниченным, а тогда уже ясно, что при х- я отношение — - — 1. С другой х стороны, уравнение дает нам у Зов Заху х у+х= х" — ху-1-у' у (у)з 1 — -+— х (х) так что при х т будет у 1-х -а. Этим наше утверждение и оправдано [148].
У Вводя в качестве параметра отношение с = — и подставляя в уравнение кривой х у = сх, легко получить параметрическое представление: Зас Зас' х= .—, у= (- =с= -,, ся — !). с!+!' с!+! При с- =' обе координаты стремлтся к О; можно считать, что начальная точка (О, О) получается как при с= О, так и прн с — т . при изменении с от — до — 1, точха (х, у), исходя из начала, вдоль правой ветви удаляется в бесконечность.
При изменении с от — 1 до О наша точка из бесконечности вдоль левой ветви возвращается к началу. Наконец, при возрастании с от О до Ф точка ОПисываЕт (пРотив часовой стрелки) петлю. 225. Крввые мехавичесиеге происхождении. Продолжая перечень примеров, рассмотрим еще некоторые кривые механического происхождения, полученные путем качения одних кривых по другим.
Рис. 118. б) Цик ланда. Вообразим, что по прямой Ох (рис. 118) слева направо катится без скольжения круг радиуса а с цеытром в А. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, и называется ц и к л о и д о й. Проследим, например, путь точки О за время одного оборота круга. Рассмотрим катшпнйся круг в новом положении. Точкой касания служит уже другая точка )Ч! таким образом, по прямой точка касания переместилась иа расстояние ОЛС. В то же время точка О переместилась в положение М, щюйдя по окружности круга путь ЛСМ.Так как качение происходит без с колышевы я, то зти пути равны: ЛМ= ОЛс.
Вели выбрать теперь в качестве параметра, определяющего положение точки, угол с = <СЧОМ на который успел поверыуться радиус, имевший в начале качения вертикальное положение АО, то коордннаты х и у точки М выразятся следующим образом." х=- ОГ= О)Ч- УСЧ=.ЛсМ- МΠ— ас — а зсп с, У=-.ГМ=Л!О=ЛСΠ— 60=а — асоз С. 1 ь ьньлитичискон птндстдвлнпии кгивых Итак параметрические уравнения цихлоиды имеют вкд х .= а(г - з(п г), у = а(1 - сов г) (0мзг 2л).
При изменении г от — до + получится кривая, состоящая нз бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на рнс. 118. Так как производные х)=л(1-соз з), у~.=айл з одновременно обращаются в 0 лри г=lгл 0г=-.б, х1, а2, ...), то этвм значениям отвечают особые точки кривой. Но (100, (10)) у,' жпг Ух= =сзй-, х( 1 — соя г 2 так что, например, прн г х 0 (или при х - + О) производная у( будет стремиться к х; ясно, что в начальной точке (равно как и в других особых точках) касательная вертикальна: здесь налицо острие [точка воз в р а та, 237). 7) Э пи- и гнно цикл оида. Ясли один круг без скольжения катится и з в н е по другому кругу, то кривая, описьпаемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется э пи ци к по н до й.
В случае же качения изнутри мы имеем дело с гипоцнк- Я' л о н д о й. Остановимся на выводе уравнений первой из этвх кривых. Возьмем начало координат в центре О неподвюкного круга, а ось х проведем через то пощлкевие А интересуюшей нас точки, в котором она является точкой касания обоих кругов (рис. 119). Когда подвюкиый кРуг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить. Обозначим через а рациус неподвиж- -+- ного круга, а через л~а — радиус катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол г= = 7МСВ между радиусом СМ, соединяюпщм центр катящегося круга с интересующей нас точкой на его к и а и сом СВ о Ружностн.
Р д у проведенным в точку касания. В начале двн- Рис. 1!9. тзевия пусть этот угол равен О. Прежде всего, посмотрим, в чем здесь проявляется отсутствие с к ольж е н и я. Дуга АВ, пройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге МВ, пройденной точкой касания по катящейся окружности: а зАОЕ=та "г(МСВ=таг, откуда с!АОВ тк Выразим теперь координаты х и у точки М через г. Имеем х= ОС= ОЕ-ЬЕМ=-(а+та) сох тгЧ-тазы 2ЕСМ1 но < ЕСМ = < ВСМ - < ОСЕ и с( ОСЕ= — — нн, 2 так что л 7ЕСМ (1+оп)г-- и згп<ЕСМ= — соз(1+из)с.
2 5!О ГЛ. ЧН. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1225 Окончательно и а[(!+и) соз т3- и соз (1Фи)1]. Подобным же образом найдем у = а[(1+3л) з(л иг — 3л з!л (1 +3л)1]. Эти уравнения дают параметрическое представление эпицикл оиды. Когда катящийся круг снова придет в соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале движения (т. е. при 1 = ул), точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, подобную первой, и т. д. Производные х3 и(л3+1)л[з!л л31 — з3л (1+ л3)1], у;== т(и+1)а[сок т1 — соя (1 Ф т)1] обращаются одновременно в О при 1=.
2/сл (где /3=0, +1, а 2, ...), т. е. всяквй раз, когда рассматриваемая на подвижном круге то жа становится точкой касания. Соответствующие точки кривой будут особым и (то ч к и возврата). .!3т<О1ДШ!13 3лл3331л!ЛР3133и Рис. 120. В случае тип о цикл онды подобным же образом получаются такие параметрические уравнения: х = с[(1 — 3и) соз л31+ и соз (1 — 1л) 1], у = л[-(1 — и) зш т3вт зш (1 — и)1]. Здесь и также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного.
Легко заметить, что эти уравнения получаются из уравнений эпициклоиды заменой и на — л3. гтб) 1 с. АИАлитическоБ НРедстлВление кРЛВых 511 1 — и свпо з' т астро- На рис. 120 изображены эпвциклоиды, соответствуюпше И=1, 2, 1 1 циклоиды, соответствуюшие т=- и —. В последней читатель узнав 3 4 и д у *). 8) Эвольвента круга. Представим себе, что на круг, из центра О радиусом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть конец У нити приходится в точке А. Станем нить ра ввертывать (против часовой стрелки), сматывая с круга и все время натягивая ее за конец. Кривая, описываемая прн этом концом вити, называется эвольвентой круга (ср.
1 РС ниже 254, 244). Возьмем начало координат в цент- р ре О (рвс. 121) и проведем ось х через „= . 71 точку А. Когда будет смотаиа часть АВ нити, она займет положение ВМ, '~л располагаясь по касательной к кругу, а точка А перейдет в М. Итак,АВ=ВМ. -. — - Х- В качестве параметра введем утоп с =. 2АОВ между радиусами ОА и ОВ. Координаты х, у точки М выразятся следуюшим образом: описанный х РС-РО=ВГ-РО= Рнс.
121 = ВМз(п .4ВМС- ОВ соз 2 РОВ; но ВМ=АВ=ас, а углы 2 ВМС и «2 РОВ равны и — с, так что х = ас Ип (л — с ) — а сов (и — с ) = а(с зш с+ соз с ). Далее, у=СМ=СГЕВМ=-РВ+гМ:= ОВИп $РОВ+ВМ сок С(ВМС=а(зш с — с сов с). Таким образом, наша кривая представляется следующими параметрическими уравнениями: х=а(сзшс+созс), у=а(по с — ссозс). Единственная о со б а я точка отвечает значению с=о, прн котором обрашаются в О обе производные хс=ассозс, ус=асин с.
Предлагаем читателю убедиться в том, что та же кривая получится, если катить прямую (б е з с к о л ь ж е н и я) по кругу и рассмотреть траекторию какойлнбо точки прямой. 1 *) Если в уравнениях гипоциклоильс положить т= — и заменить С на -4с, 4 то и получатся уравнения, приведенвые в 4). 22б. Кривые иа плоскости (в полярных координатах). Примеры. Во многих случаях оказывается проще представлять кривые их и ол я р н ы м и у р а в н е н и я м и, устанавливаюшими зависимость 512 ГЛ- ЪИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [226 между текущими полярными координатами «, 0' точек кривой.
Полярный угол 0 мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки. Полярный радиус-вектор г мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом В, а во втором— в противоположном направлении. Как в случае прямоугольных координат, и здесь зависимость между «и В может быть задана в явной, неявной или параметрической форме. Мы ограничимся, преимущественно, простейшим случаем, когда кривая представляется я в н ы м уравнением вида «=ДВ).
Если перейти к прямоугольным координатам, взяв, как обычно, полюс за начало, а полярную ось — за ось х, то уравнения х=-гсое 0=)[0) сок В, у= гзш 0=)гВ) яи В дадут параметрическое представление нашей кривой, причем роль параметра здесь будет играть полярный угол О. [Полученные ! ! 1 !'ис. !22. здесь функции от О, вместе с «, непрерывны и имеют непрерывные производные.) Формулы хс — — «я соя 0 — тяп О, у,' = г,' яи О+ г сое 0 показывают, что о с о б а я точка (в смысле п' 223) может встретиться лишь в том случае„если г= гя — — О. Обратимся к п р и м е р а м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
