Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Положение точки М на сфере может быть определено углами ьь = 1 РОМ и 0 = аА ОК. Имеем з = дгМ = я соь !Р. Затем Од!= я ып р, а через О)т' координаты х и у (те же для М, что и для Ф) выразятся так: х =- О)9 соз 6, у= О)т'зш 6. Собирая все эти результаты, окончательно параметрические уравнения поверхности сферы получим в виде: х- Я зш(ь соз 6, У=Яьш03зш 6, ь=йсоз(ь, причем угол (з достаточно изменять от 0 до л, а угол  — ат 0 до 2л. Однако, соответствие между точками сферической поверхности и точками прямоугольника [О, х; О, 2л) на у плосхостн РВ не будет юаимно одноРнс.
129. злачным '): значения В = 0 и В = 2л приводят к одним и тем же точхам поверхности и, кроме того. при (ь=О ((ь=л) како в о бы ни было з н а ч ение В, получается одна лишь точка — полюс Р(Р'). Если р заменить углом 2= — — р, изменяющимся от — — до —, а 6 менять 2 2 2 межлу -лил, то мы придем к обычным географическим координат а м! широте и долготе. Ддя матрипы частных производных Ясоз(ьсоз6 Ясозрзьп 6 — Яз!лр) ( — я ып(ь ьщ 6 ЯзшЗь соя В 0 все овределители Яь ыьй р соз 0, Я- плз(ь ь!и 6, Яз ь!из! соз р обращаются вместе в нуль при !У=О и (ь=в. Однако очевидно, что оба «полнил» предстаюппот особенность только применительно к этому аналитическому представлаппо сферы.
Легко вш!еттч что оддо семейство координатных линий на сфере составится из меридианов (В=соль!), а другое — из параллельных кругов (З! = соль!). 4) Можно обобщить предыдущий пример следующим образом, Пусть в плоскости хг задана крвная (образующая) своими параметрическими уравненнями х =-(з(л), з=р(л), причем 6!(и)юО.
Станем вращать ее, как твердое тело, вокруг оси г (рис. 130). Если чеРез с обозначить угол поворота, то уравнения получаемой и о в е р х н о с т и ар а щения напвшутся в виде х =9(и) соз с, у 5 р(и) з1л е, з=9(и) (О~с 2л). Если в плоскости хг взять полуокружность х=йзьпи, х Ясоьи *) Ср. сноску на стр. 520, 2301 1 2.
кАсАтельнАя н кАсАтельнАя плоскость 523 и ее вращать вокруг аси х, то параметрическое представление образуемой таким путем сферической поверхности мы получим (с точностью до обозначений) в прежнем виде. Предоставляем читателю убедиться в том, чта особыми точками для поверхности вращения могут быть лишь точки иа оси врашеяия, либо же тачки, полученные при вращении из особых точек образующей. Координатными ливиями и здесь служат 2 различные положения образующей (меридианы) и параллельные круги.
Йт Если к вращательному двюкевщо кривой(16) присоедвнитьеще пас туп а т ельн о е — параллельно оси вращения, то (предполагая оба движения происходящими равномерно) получим общую винтовую поверхность х=т(и)соз а у=с(и)з!па, 2 = т(и) + се. Возьмем, в частиоспг, в качестве образующей положительную часть оси х: х- и, х-0 (и О). Подвергнув ее винтовому движению, придем к Й обыкновенной винтовой поверх- Рис.
130. ности х'=исазс, у=наше, х=сс. Для общей винтовой поверхности одно семейство координатных линий состоит из различных положений образующей (с=салаг), а другое — из винтовых ливий (и = сопи). й 2. Касательная и касательная плоскость 230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах. Понятие касательной нам уже встречалось не раз (см.
например, 91). Кривая, заданная явным уравнением у=у(х), где у' — непрерывная функция с непрерывной производной, в каждой своей точке (х, у) имеет касательную, угловой коэффициент которой 1я и выражается формулой 1б =у.,'=Г(х). Таким образом, уравнение касательной имеет вид У-у =у„'(Х вЂ” х). (1) Здесь (как и ниже) Х, У означают текущие координаты, а х, у — координаты точки касания.
Легко получить и уравнения н о р м а л и, т. е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно к касательной: У-у =- — —,(Х-х) или Х-х +у(У-у) =О, 1 (2) Ух 524 ГЛ. РН. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1230 хЬ1 = ТР = —,, У ух хЬп = РХ = уу„'. (3) Тогда из треугольников МРТ и МРХ определятся и длины о т р е зков касательной и нормали 1=ТМ=-~ ~, у1~-уз~, Л=МХ=~уу1+у~!(. (4) Ух В случае неявного задания кривой Р(х, у) =О в окрестности ее обыкновенной точки М(х,у) можно представить себе кривую выраженной явным уравнением. Если в точке М, например, Г„'(х, у) ~ О, то кривая выразится уравнением вида у =Р(х), где функция / непрерывна и имеет непрерывную производную. Отсюда ясно, что для кривой существует в точке М касательная, и се уравнение может быть представлено в форме (1). Но мы знаем [209 (15)[, что !х в этом случае Т Р // Г' х Е„'(х, у) Рас.
131. Рх(х, у) ' подставляя, после простых преобразований получим вполне симметричное относительно х и у уравнение касательной Р;(х, у)(Х- х)+ Р'(х, у)(У-у) =О. (5) К тому же результату придем и в случае, если Р =О в точке М, но Г„'-хО. Лишь в особой точке это уравнение теряет смысл, и относительно касательной, без дополнительного исследования [23б), здесь ничего сказать нельзя. Уравнение нормали для рассматриваемого случая, очевидно, будет таковш Р„'(х, у)(Х вЂ” х) — Р„'(х, у)(У-у) = О.
Наконец, предположим, что кривая задана параметрнчески: х =у(!), у =-у!(!) В связи с касательной и нормалью рассматривают некоторые отрезки — именно отрезки ТМ и М!х' и их проекции ТР и РХ на ось х (рис. 131). Последние называются, соответственно, и о д к а с а т е л ьной и поднормалью и обозначаются через ЛЬ! (ЕНЬ4апдепз) и ЛЬЛ (ЕПЬпогша1). Полагая в уравнениях (1) и (2) У=О, легко вычислить, что 23Ц 1 2. кАсАтельнАя и кАсАтельнАя плоскосзь 525 Мы видели, что если 32'(1)ыО, касательная к кривой существует и имеет угловой коэффициент (ек= — ° у) х1 ' (106 (11)]. Уравнение касательной может быль написано так: Х-х 3'-у т у=1ж(х-х) х1 х1 У1 В последней форме уравнение годится н для случая, когда х',=О, но у,'мОе). Лишь в особой точке, где и х,'=0 и у,'=О, уравнение теряет смысл, н вопрос о касательной остается открытым (237).
Иногда удобно, умножив оба знаменателя на множитель з(1, писать уравнение касательной в виде : = (7) ах ду 231. Првмеры. 1) П а р або па: у'=2рх. Дифферевцируя это рааеиство (считая у фующией от х), получим уу„' р. Таким образом (см. (3)1, и о диормаль параболы есть постояивая величина.
Отсюда вытекает простой способ построеиия нормали (а с Рис. 132. ией и касательной) к параболе. По формуле (4), для отрезка нормали к параболе имеем выражение л )(у'+р'". хе уе 2) Эллипс: — -ь — =1 (рис. 132). По формуле (5) имеем такое уравнение аз Ы касательной: х у — (Х вЂ” х)+ — (1"-у) = О. а' Ье Учитывая само уравнение эллипса, можно последнее уравнение переписать в более простом виде хХ ут — >.— = 1.
ае Ы *) При этом, как всегда уславливаются а авалитической теометрви, если в пропорции Х вЂ” т У-у а Ь один из последующих членов есть О, то это означает просто, что равен О и соответствующий предыдущей член. 526 гл. чп. НЕНЛОженил диавегеннилльного исчисления 1231 а' Полагая здесь У=О, найдем Х= —. Таким образом, точка Т пересечения х касательной с осью х не зависит ни от у, ви от Ь.
Касательные к р аз личным эллипсам, отвечающем различным значениям Ь, в их точках, имеющих абсписсу х, все проходят через одну и ту же точку Т на оси х. Так как при Ь - а получается окружность, для которой касателыщя строится просто, то точка Т срезу определяется, и это приводит к простому способу построения касательной к эллипсу, ясному нэ рнс. 132 "). Легко определить длину отрезка нормали для эллипса: Ь«хз-1-д4уз л= аз хз,уз Такое же выражеянс получается и в случае г и п е р б о л ы — — — =1. а' Ь' 3) А с т р о н д а: хз + у' = аз (рис.
11б). Уравнение касательной х (Х-. )+у (У-у)=О с помощью самого уравнения кривой может быть преобразовано к виду Х У вЂ” + — = аз 1 1 хз у' Х Т вЂ” + =!. 21 21 2 2 д»,2 Последнее уравнение есть «уравнение в отрезках». Следовательно, касательная 2 1 3 1 отсекает на осях отрезки а»х' и аэуз. Отсюда легко получить одно интересное свойство астронлы. Обозначив через 2 дЛИнУ отрезка касательной м е ж д У о с ям и, имеем 4 З 4 2 22= аз аз Едзуз ==дз т = а.=- сопз1. Таким образом, оси симметрии астро илы на всех касательных отсекают равные отрезки. 4) Цикл о и да: х=а(г — 2»пс), у=а(1-созс) (рис.
118). Мы имели уже (в 225, б)) равенство у,',=-с18 —, т. е. 2 г /х 18 а =с18 — = 18 ~— 2 !2 2~ :т г я можно принять а-- — — —. 2 2 *) Это свойство касательных к эллипсу непосредственно связано с тем фактом, что эллипс может быть рассьзатрщием как ортогональная проекция некоего круга (радиуса а), лежащего в наклонной плоскоспз. 1 2. КАСАТЕЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 527 231 [ и = Мсч = 2а вш 2' 5) Эпициклоида: х=а[(1+т) сов тс-т сов(1+т)с[, у=а[(1.!"си) вш сиг — твш (1+си)С) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
