Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Рассмотрим теперь два заштрихованных вертикально расположенных сектора круга, например, те, которые ограничены прямыми (вт — е) и (5ч,+е). Так как на этих прямых функция имеет противоположные знаки, то на каждой вертикали, пересекающей упомянутые секторы, найдется точка, в ко торой г(х,у) обращается в О, т. е. точка нашей кривой.
Это следует из известного свойства непрерывной функции (80), если применить его к функции г(х, у) от у (при фиксированном х) *е). Таким образом, внутри каждой пары заштрихованных секторов расположена ветвь кривой, проходящая через начало, в то время как вне их, в пределах круга, точек кривой нет. Ввиду произвольности е ясно, что в начале эти ветви касаются, соответственно, прямых (7з,) и (у). Правда, остался открытым еще вопрос, единственна ли та точка на упомянутой вертикали, в которой Х(х, у) =О. Если бы их нашлось *) Этим мы несколько углубляем сказанное в ТР7, 2'. там нам достаточно было констатировать наличие двух ирямь|х, на которых трехчлен имеет разные знаки. "*) Ср.
доказательство теоремы 1 и' Зяб о существовании неявной функции. 53а Гл. ч11. пРилоуквния диФФеРенциАльнОГО исчису!ения 123б две, то, по теореме Р о л л я [111], между ними на той же вертикали нашлась бы точка, в которой было бы Г'(х,у) О. Итак, единственность будет установлена, если мы докажем, что, по крайней мере, в достаточной близости к началу такое равенство невозможно. Допустим противное.
Тогда будем иметь Г;,(хл,ул)=0 для некотоРой послеДовательности точек [(хл, Ул)), гДе хл 0 и —" 1Я У1 — — У1. Хл Применим к функции Г'(х,у) формулу конечных приращений [183, (10)]: 0 Гу(хл ~ ул) Гу(0 0) = Глу(бпхл, Олул).~л+ Гу[(блхл, бл) п).ул (О«бп-1) нлн Г„'.,'(О,хл, Опу„) ФГу~(О„х„, длул) -У вЂ” "=О. Переходя здесь к пределу, получим окончательно ан-' а 11=0 или 11 =- — — ', что неверно: такое значение 11 могло бы иметь лишь в том лпл ' случае, если бы корни трехчлена аи + 2а у+а„гз были р а в н ы м н.
Из сказанного попутно вытекает, что, в достаточной близости к началу, ни одна точка упомянутых двух ветвей, кроме самой начальной, уже не будет особой. Аналогично исчерпывается и случай, когда а =О, но а„~О нлн а11=ал О, но агу~0; отметим, лишь, что в последнем случае роль прямых (1у1) н (у,) играют оси координат. Итак, при сделанном предположении ау а — ауя 0 точка (0„0) оказывается двойной точкой кривой: в ней пересекаются две встви кривой, каждая из которых в этой точке имеет свою касательную. Угловые коэффициенты этих касательных определяются всегда нз УРавнениЯ ан-Ь2ауэУ-Уа уз=О; лишь если а =О, следУет считать, что, кроме конечного корня, оно имеет корнем и бесконечность. Примерами могут служить уже знакомые нам кривые (х'+ у')' Ф 2ак(у' — х') = 0 [л е м н и с к а т а, рнс.
126), х' ч у' — Заху = 0 [д е к а р т о в л и с т, рис. 117), для которых начало и будет двойной точкой. В первом случае имеем ац= -4а „ауз=О, ан=4а', 11=1, У,= — 1, так что касательными в начале служат биссектрисы координатных углов.
Во втором: а11 — — а~ =О, аул= — За, у1=0, уз = -, и касательными служат оси координат. 559 гзв1 » КАСАТЕз!ЪНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 3' апа — а,'»=0. Допустим и здесь, что аз»~0. Квадратнь«й трехчлен а«з-,'2а»я!+ -ъакз»з в этом слУчае имеет двойной коРень «з= — а»з~аа.
Полагая, как и выше, !р,=агсгя !„проведем через начало прямую под этим углом р, и оси х. Заключим ее в угловую область между пря- Ф, мыми (!ръ-е) и (<р,+е) (на рис. 137 она заштрихована). С помощью со- + + ображений, сходных с примененнымн выше, можно установить, что вне + « ' + заштрихованной области, но в достаточной близости к началу, функция р(х, у) сохраняет о и р е д е- 1 ленный знак, один и тот же + + с обеих сторон: плюс или минус, в зависимости от того, будет ли --- ---- + ал О или а„ О.
Теперь на пря- А««« + мых (р! Те) функция имеет о д и н а- ~'ф~ к о в ы е знаки, и применять теорему Коши нельзя. Мы не будем углубляться в исследование этого случая, требующего более сложных рассуждений, с привлечением высших производных. Ограничимся указанием на основные возможности, которые здесь представляются. а) Вблизи начальной точки, кроме нее самой, нет точек кривой: изолированная точка (как в случае 1'). Примеры: х«+у»=О или (х'-!.у')(х+у — 1) ==О. Для обеих «кривых» начало является изолированной точкой. б) В обоих заштрихованных вертикальных углах (в достаточной близости к началу) на каждой вертикали лежат по д в е точки нашей кривой, через начало проходят две ветви кривой, имеющие в ней общую касательную (!р,): двойная точка (как и в случае 2').
Пример: х' — у'=О, т. е. у= ххз две параболы, в начальной точке касающиеся оси х. в) В одном из заштрихованных углов вовсе иет точек кривой, а в другом — две ветви, которые как бы заканчиваются в начальной точке, имея в ней общую касательную (!р!). Здесь мы имеем дело с новым типом особой точки — с точкой возврата (илн точкой заострения). В зависимости от того, лежат ли обе встречающиеся в ней ветви по разные стороны от общей касательной или по одну сторону, различают точки возврата первого и второго рода. 54о гл. нп. пеиложения диооееенпикльного исчисления 1237 Примером кривой, имеющей в начале точку возврата первого рода, может служить кривая у' — х'=0 (по луку бич еская пар аб ола, рис. 115). у=хо+хо'1'х (х-О).
Обе ветви в начальной точке касаются оси х, располагаясь (по крайней мере, вблизи начала) над нею (рис. 138). Если ап — -а„=а,,=О, то приходится рассматривать производные высших порядков. В этом случае возможны и более сложные типы особых точек (тройные или, вообще, п-крагиные точки, и т. д.). 237. Случай параметрического задания кривой. Скажем еще несколько слов об особых точках плоских кривых, заданных параметрическ и м и уравнениями х=у(1), у=у(1). Пусть при 1=1о имеем Рас. 138.
хо =у'(1о) = 0 и уо ='Р (го) = О но из производных второго порядка хо и уо пусть хоть одна, например х,",, отлична от нуля. Проведем секущую через точки (хо, уо) и (х, у) кривой, отвечающие значениям 1 и 1 параметра. Ее уравнение может быть написано тах: хо 1 уо х-хо у уо Но по формуле Тейлора [с дополнительным членом в форме П еан о, 124 (10а)], так как хо=уо=0, имеем 1 хо = 2 (хо + ")(1 1о) Более редкий случай точки возврата второго рода проиллюстрируем таким примером: х' — (у — х')' = О 2371 1 а клслтальнья и клслтяльнья плоскость 541 где и и 19 стремятся к О при г го.
Подставляя„перепишем уравнение секущей, после сокращения обоих знаменателей на -(г — го)', в следующем виде: Х-х, У-уь хо Оа У'„' ~.,9 Здесь можно перейти к пределу при 1 1, *), и таким путем получается уравнение касательной: — — — или у — уо = — о, (Х вЂ” х„). (19) хо уо хо Мы предположили х;,; О; пусть, например, хо О. Тогда функция х=у(г) при г.=го имеет (собственный) минимум (137), т. е. х х пРи значениах О близких к го (как пРи г г„, так и пРи г»г„). Таким образом, в точке (хо, уо) смыкнзотся две ветви кривой, отве- ЧаЮЩИЕ 1 го И 1 го; ОНИ ИМЕЮТ общую (наклонную или горизонтальную) касательную и обе расположены вправо от вертикали х=х . Иными словами, налицо точка возврата (рис.
139). Это — основной случай особой точки для кривой, заданной параметрически. Легко понти несколько дальше Рис. 139. в этом исследовании, чтобы установить, какого р о д а будет эта точка возврата. С этой целью привлечем третьи производные, и приращения х — хо и у — у напишем в виде х — хо= хо(1 го) а (хо а)(! го) > У-Уо=-У (г-го)'+-(Уо +Р)(1-го)' где и и 19 снова стремятся к О при г Вычислим, пользуясь уравнением (19), ординату г' точки к а с ательно й с абсциссой х; мы получим Уо= (х хо)= Уо(1 го) + ' —.(хо 1")(1 го). хо о; о) См.
замечание в 234, которое приложимо и здесь, если рассматриваемую точку считать ар остов. 542 Гл. Рп. ПРиложеиия ЛИФФЛРенпихлы!Ого исчисления 1238 Составим, наконец, разность ординат У и у, отвечающих одной и той же абсциссе х: где через у обозиачсна снова некоторая бесконечно малая при ! ТепеРь если только хо"Уе — х~'Уе" мО (что обыкновенно н выполняется), ясно, что разность У-у будет рази ы х знаков при !«Е„ и ! !ш т. е. для тех двух ветвей кривой, которые встречаются в точке (хе, уе) (в предположении, конечно, что мы ограничиваемся значениями Е, достаточно близкими к ! ).
Ветви располагаются по разные стороны от касательной, и мы устанавливаем точку возврата первого рода. Примеры подобных особенностей встречались нам уже не раз: циклоцца, эпи- или гипоциклоица, эвольвента круга — все имеют такие точки возврата (рис.
!18 — 121). Может оказаться, в исключительном случае, что хо"у," ,-хо'уе"=О; тогда разложение У-у по степеням ! — ! начнется с четвертой или более высокой степени этого двучлена. Если степень эта четная, то рассматриваемая особая точка будет точкой возврата в т о р о г о рода. 8 3. Касание кривых меясцу собой 238. Огибающая семейства кривых. Если две кривые имеют общую точку М„ и — в этой точке — общую касательную, то говорят, что кривые касаются в точке МР. Настоящий параграф посвящен некоторым вопросам, связанным с касанием плоских кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
