Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Ф я. длинА плОскОЙ кРКВОЙ 559 Каждому значению г отвечает некоторая точка кривой, которая в свою очередь однозначно определяет значение и; обратно, каждому и отвечает одно определенное значение а Таким образом, и оказывается однозначной функцией от П и=яо(я), которая к тому же при изменении е между ~в и Т вЂ” принимает каждое свое значение лишь однажды. В частности, яо(~е)=ив и яо(Т)= К По лемме 1, двум достаточно близким значениям е отвечают сколь угодно близкие точки кривой, а тогда — по лемме 2 — им отвечают и сколь угодно близкие значения и, т. е. функция и=ЯО(е) оказывается непрерывной.
Отсюда можно заключить, что эта функция будет м о н о т о н н о возрастающей (в узком смысле). Действительно, если бы при е =р- г" имели и'=в(~)>и"=яо(я"). и»=яо(~я), то — по известному свойству непрерывной функции [вл) — между гв и г' нашлось бы значение ~"', для которого яо(е"') =и", так что значение и" принималось бы функцией и=в(г) дважды (при е=е" и е=е"'), вопреки тому, что было доказано выше. Теперь, раз установлено, что и = яо(~) возрастает вместе с уже ясно, что расположение точек по возрастанию параметра совершенно равносильно расположению их по возрастанию параметра и. Это направление, которое можно было бы назвать направлением на кривой от точки А к точке В, оказывается, таким образом, вполне геометрическим понятием.
Аналогично, заменяя, скажем, е на — Р и располагая точки по возрастанию параметра г', установим понятие о направлении на кривой от точки В к точке А; его очевидно, можно получить также, располагая точки по у б ыв анию параметра и Конечно, и это направление не зависит от частного выбора представления кривой.
Обратимся, наконец, к вопросу о направлении на замкнутой кривой. Возьмем на ней по произволу две (отличные от А) точки С и Р, и пусть им соответствуют значения параметра с=1, и г=~, .г„ так что в том расположении, которое было выше установлено с помощью параметра б точка Р следует за С. Можно показать, что всякое направление на кривой, определенное любымпараметрическим представлением, но сохраняющее этот порядок точек С и Р, совпадает с прежним. Действительно, если значениям Я=Я" и е= Т*, гДе гв .гв» Я', и Г, Т»= Т, отвечают точки А* и В*, то Дла (незамкнутой) дуги А"В" подобное заключение вытекает из предыдущего; но так как ~е» может быть взято сколь угодно близко к ~я~, а Т» — к Т, то оно справедливо и для всей кривой.
Таким образом, можно говорить о направлении от А через С и Р к А, как не зависящем от выбора параметрического представления кривой. Аналогично устанавливается понятие о направлении ОЯЛ А через Р и С кА. збо гл. чгь шиложвния диооввнипивльиого нсчнслвнвя [247 247. Длина кривой. Аддвтввность длины дуги. Будем исходить из представления (1) кривой АВ и направления на ней, определяемого возрастанием параметра и Возьмем на кривой ряд точек А=МО Мг, Мяэ, Мм Мььг,, М«=В, (2) так,чтобы онн шли в указанном направлении, отвечая возрастающим значениям параметра ге зг«гв« ° ° ° «гг г~+г ° ° зл. Соединяя эти точки последовательно прямолинейными отрезками (рис.
149), мы получим ломаную М,М, ... Мь тМ„, вписан- и у ю в кривую АВ. Напомним, что в предыдущем и' выяснена независимость понятия направления, а с ним и понятия в лис а н н о й л о м а н о й — от частного выбора параметрического задания (1). Д л и н о й кривой АВ называется точная верхняя граница Я для множества периметров р всевозможных вписанных в кривую ломаных: Я=вор (р).
Рис. мя (4) В=Я'ч Я". Для доказательства, предположим сначала спрямляемость кривой АВ и впишем произвольные ломаные, с периметрами р' н р", «) Обращаем внимание читателя на важность уточнения понятий н а п р а вления на крнвой и вписанной ломаной. Если бы точки М; можво было брать где попало, то гранила о всегда была бы Ч- г Если это число Я конечно, то кривая называется сир ям ля ем ой"). Из определения длины кривой сле- дует, что периметр любой вписанной в кривую АВ ломаной не превосходит длины Я кривой: в частности, это относится и к длине хорды АВ, соединяющей начальную и конечную точки кривой. Возьмем теперь на кривой АВ точку С между А и В, так что она отвечает значению г=з, промежуточному между го и Т: г,- г Т. Если кривая АВ спрямляема, то спрямляемы порознь и дуги АС и СВ.
Обратно, из спрямляемости этих дуг вгвтекает спрямляелюсть всей кривой АВ. Обозначая длины дуг АВ, АС и СВ, соответственно, через Я, 5' и Я", будем иметь при этом хвП Ф А ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ соответственно в дуги АС и СВ. Из этих ломаных, взятых вместе, составится ломаная, с периметром Р Р =Р. вписанная в кривую АВ. Так как Р~Я, т. е. Р ЛР (5) то, очевидно, и порознь р~ Я и Р" т В. Таким образом, множества (р') и (р"] ограничены сверху ( — конечно!), и дуги АС, СВ спрямляемы, ибо имеют к о н е ч н ы е длины ~'=эпр(Р'], В"= р(Р") По свойству точных верхних границ (11] периметрыр' ир"— независимо один от другого — могут быть взяты сколь угодно близкими к своим границам Я' и Я". поэтому из (5) с помощью предельного перехода получаем: Я'+ Я" КЯ.
(6) Пусть теперь дано, что спрям- ляемы дуги АСиСВ. Впишем и р оизвольную ломаную, с периметром р, в кривую АВ. Если я точка С входит в состав вершин ломаной, то последняя непосред- Рис. 150. огненно распадается на две ломаные, с периметрами Р' н р", вписанные, соответственно, в дуги АС и СВ. Если же С не оказалась вершиной взятой ломаной, то мы дополнительно введем эту точку в состав вершин, от чего периметр ломаной может лишь у в еличить с я (рис.
150); новая ломаная, как указано, распадется на две. Ео всяком случае, имеем Р КР'+Р" кЯ'+ Я". Множество (р) ограничено сверху (Я' и В" конечны), и кривая АВ спрямляема, причем ее длина Я зпр (р)*К В'+ Б". Наконец, из сопоставления этого неравенства с (6), приходим к требуемому равенству (4). Таким образом, введенное выше понятие длины дуги кривой обладает свойством аддитивности [ср. 21, 3)].
Доказанное предложение легко распространяется на случай любого числа частичных дуг. 36 Г. М. ФактеНГАЛЬЯ, т. 1 562 гл. уп. приложения днооняннциального исчнслнння [248 248. Достаточные условия снрямляемости. Дифференциал дуги. До сих пор мы рассматривали о б щ и й случай непрерывной простой кривой (1).
Желая дать удобные достаточные условия ее спрямляемости *) и изучить дальнейшие свойства длины дуги, мы вернемся к обычным в атой главе предположениям о существ о в анин непрерывных производных ~р'([) и ~р'([). Докажем, что при сделанных предположениях кривая (1) спрямляема. Рассмотрим ломаную с вершинами в точках (2), определяемых значениями параметра (3). Координатами точки М, будут х,=у(О) и у,=~р([Д ([=О, 1, 2, ..., и). Тогда периметр р ломаной запишется так: я-1 р=ХЙ~+ -х)'-'(у+ -И. 1-е Но по формуле конечных приращений (112) хмд — ха =у>(б+ь) -д (О) =д~ (т;) (б+ь — б), У,+, — У, =1У(б+,) — и ([) = Р'(т,) (гм, — б), (б«ты т~ О+1) так что, окончательно, л-1 Р = „~ '['(У (т,)) + Ц~ (т~))Я (емь — б).
(7) г-е Если через Ь и Х обозначить, соответственно, наибольшие значения функций [р'([)! и [р'([)! в промежутке (Ф„Т], то из (7) нетрудно получить оценку: р~~й'+~'(Т-[е). (8) Множество (р) оказывается ограниченным сверху, значит, кривая имеет конечную длину Я, т. е. спрямляема, по и требовалось доказать. Так как Я=вар (р), то из (8) попутно получаем и оценку для Я сверху: 3~[~йв+Та,(Т вЂ” [) (9) которая нам сейчас понадобится. Впрочем, нам нужна будет и оценка с н и з у; если ввести н а и м е н ь ш и е значения [ и [ функций ~ р'(г) ) и [тр'([)( в промежутке [ге, Т), то из (7), аналогично (8), найдем, что Р )'[ач-[в (Т-[а), а тогда тем более К '['[а -.
[а (Т- Г,). (9') ь) Самые общие условия слрямляемости (необходимые и достаточные!) читатель найдет в третьем томе. 2 4. ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ ма1 563 Если изменить г, а с ним вместе и положение точки М(г) на кривой, то длина переменной дуги АМ окажется функцией от пар аме тра В мы будем обозначать ее через и' я =- цг). ы йз Придадим переменной г п о л о ж и- тельное приращение Ан точка з М переместится вдоль по кривой, В по направлению к В, в положение М' (рис.
151). Величина $ получит положительное же приращение Аз, равное длине дуги ММ' (по а д д и т и в н о с т и длины дуги, доказанной в предыдущем и'). Таким образом, функция цг) оказывается возрастающей. Рассмотрим теперь, вместо промежутка (гв, Т], промежуток (12, гв;- Аг] и применим к дуге ММ', длины Аз, оценки (9) и (9"): Йч-12 Аг .Аз~~ГРЖ Аг но здесь под ( и Ь (1 И,С) мы вправе разуметь наименыпее и наибольшее значения функции ] »р'(г) ] (]4у'(г) !) уже в промежутке (б 1+Аг]. Отсюда ]Г12~ 1. в ~/У2+ гз 454 451 и, так как — по непрерывности производных — при Аг О оба числа 1 и л, ]4у'(г)], а оба числа 1 и Х, ]»у'(г)], то оба корня в предшествующем неравенстве стремятся к общему пределу дв Следовательно, к тому же пределу стремится и отношение —; как Уг ' легко видеть, зто справедливо и для Аг О.
Итак, имеем окончательно: длина переменной дуги з =- 2(4) оказываетея д и ф ф е р е ицируемой функцией от параметра г; ее производная по парам е тру выражаетея формулой: или, короче, (10) Если возвести это равенство в квадрат и умножить почленно на 4й2, то получим замечательную по простоте формулу 6Ь2 = ЫХ2 + 4(уз, (11) 24» 5б« Гл. Чп. НРиложения диФФБРенциАльного исчисления 1248 которая к тому же обладает геометрической наглядностью. На рис. 152 в (криволннейном) прямоугольном треугольнике МИМИ «катетами» служат приращения координат точки М: МИ=Ах, ЖМ«=Ау, а «гипотенузой» вЂ” дуга ММ»=Аз, и, которая является приращением дуги зз лу АМ=и Оказывается, что если не У л Я для самих приращений, то для их главных частей — дифференциалов— имеет место своеобразная «теою рема Пифагора».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
