Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 106
Текст из файла (страница 106)
!! Полезно отметить частные слуРяс. 152. чаи важной формулы (10), отвечающие различным частным типам задания кривой. Так, если кривая задана я в н ы м уравнением в декартовых координатах у = у(х), то в роли «параметра» оказывается х, луга з зависит от х: г = з(х), и формула (10) принимает внд з'=уТ+у" (10а) Бсли же кривая задана полярным уравнением г=я(0), то это, как мы знаем, равносильно заданию ее параметрическими урав- нениями х=гсозд, у=гзшд, где параметром будет 0; дуга на этот раз будет функцией от 0: з = цд).
Так как, очевидно, х« — — г; соз 0 — г яп О, у;=г;яп О+гсозд, хи у," = г,"+ г', то и формула (10) преобразуется так: з» =У.«*+". (10б) Часто представляется удобным взять в качестве н а ч а л ь н о й точки А для отсчета дуг не один из концов дуги, а кахуюлибо внутреннюю точку ее. В этом случае естественно дуги, откладываемые от нее в направлении возрастания параметра, считать положительными, а в другом — отрицательными и, соответственно этому, длину дуги в первом случае снабжать знаком плюс, а во втором — знаком минус. Вот эту величину г дуги со знаком мы для краткости будем называть просто д у г о й. Формулы (10), (11), (10а), (10б) имеют место во всех случаях. [Заметим, что если положительное направление для отсчета дуг выбирать не в сторону возрастания периметра, как это делается 2491 1 Ь Дяниа ПЛОС«ОИ «снеси 565 обычно, а в сторону его убывания, то в формулах (10), (10а), (10б) пришлось бы перед радикалом поставить знак минус.] 249.
Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной. Так как переменная дуга в=41) является непрерывной монотонно возрастающей функцией от параметра 1, то и последний, в свою очередь, может быть рассматриваем как однозначная и непрерывная функция от ьз с=аз(з), где з изменяется от 0 до длины Я всей рассматриваемой кривой [83].
Подставляя это выражение 1 в уравнения (1), мы получим текущие координаты х и у выраженными в функции от ж Несомненно, дуга з, играющая роль «криволинейной абсциссыь точки М, является самым естественным параметром для определения ее положения. Заметим, что начальная точка А для отсчета дуг может быть взята и не на одном из концов рассматриваемой дуги кривой; тогда, как это разъяснено выше, дуга в может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть точка М кривой — в представлении (1) — будет о б ы к н ов е н н о й, так что [см. (10)] з,'=) х',з+у',~ «.0; тогда [94] для соответствующего значения з (и вблизи него) суще- ствует и непрерывная производная а следовательно, существуют и непрерывные производные х,' = Ф'(з), у', = 1[с'(в). Из основной формулы (11), считая, что все дифференциалы взяты, например, по з, получим, (12) Таким образом, если точка М была обыкновенной в прежнем представлении (1) кривой, то она наверное будет обыкновенной и при переходе к параметру в. Формула (12), далее, позволяет установить следуюзцее полезное утверждение: Пусть М вЂ” обыкновенная точка кривой Если через Мз обозначить переменную точку той же кривой, то при стремлении 566 гл.
чтг. пвнложиння диооиввнпнлпьного нсчнслвиия 1249 М, к М отношение длины хорды ММд к длине дуг и ММт будет стремиться к единице *): 1пп — ' = 1. ММ, (13) мм, аММг Примем дугу за параметр, и пусть точка М отвечает значению е дуги, а точка М, — значению я+ Аа Их координаты пусть будут, соответственно, х, у и х+ Ах, у о Ау. Тогда ММ,= )Ае(, а ММ,=)гАхзз-Ауз, так что Переходя справа к пределу при Ае О, в силу (12), получаем требуемый результат.
До сих пор мы определяли положение касательной к кривой в (обыкновенной) точке М вЂ” ее угловым коэффициентом 1к и, не различая двух противоположных направлений на самой каса- тельной: гяи для обоих один и У тот же. В некоторых исследованиях, однако, представляется необходимым фиксировать о дн о 4' м аз~ из этих направлений. Представим себе, что на кривой выбраны начальная точка и определенное направление для отсчета дуг; возьмем именно дугу за параметр, определяющий под ложение точки на кривой. б Пусть точке М, о хоторой была Рис. 55З.
речь, отвечает дуга а Если при- дать е положительное приращение Ае, то дуга в+ Ае определит новую точку М„, лежащую от М в сторону возрастания дуг. Секущую направим от М к М„и угол, составленный именно этим направлением секущей с положительным направлением оси х, обозначим через ф. Проектируя отрезок ММ, на оси координат (рис. 153), по известной теореме из теории проекций, получим пр. ММ =Ах=ММ сов/з, пр.
ММ, = Ау = ММд 51 и )), ') Ддв пРостоты мы шппем ММ, — вместо «длила отрезка ММгь и ММ,— вместо ~длина дуги ММОп 2 а ллинА плОскОЙ кРМВОЙ 5б7 откуда сов р= —, вш р= —. лх . лу Так как ММ -Ав, то эти равенства можно переписать так: сов 5= — —, вш ф= — —. Лх ММ, .
Лу ММ, лл маг,* Лв ММ, ' (14) Будем называть нолоасительным то нанравление касательной, которое идет в сторону возрастания дуг; точнее говоря, оно определяется как предельное положение при Ав 0 для луча ММ„направленного так, как зто разъяснено выше. Ясли угол п о л о ж и т е л ь н о г о направления касательной с положительным направлением оси х обозначить через а, то из (14) получим в пределе, с учетом (13), сов а= —, вш а= —. ох . оу Вв ' Лв (15) Эти формулы определяют угол а уже с точностью до 2кл (к целое), следовательно, действительно фиксируют о д н о из двух возможных направлений касательной, именно — и о л о ж и т е л ьн о е.
Замечание. Все сказанное в пл 245-249 по поводу плоских кривых переносится без существенных измененвй на случай пространственной кривой: х у(г), у =фг), в = 2(г). (1*) (уо~г'ат). Понятие д л и н ы к р и в о й устанавливается в тех же терминах, что и в и' 247.
При наличии у функций ур, ~р, 2 непрерывных производных — длина конечна, и кривая с п р я м л я е м а. Длина переменной дуги (от начальной точки кривой до переменной точки, отвечающей параметру г) в=юг) дифференцируема по б причем ее производная по г выражается формулой 2О у, (104) Отсюда получается формула для дифференциала дуги: у182 = дхв+ Иув + 2(вв. (114) В случае отсутствия особых точек (2Щ, можно перейти к такому параметрическому представлению кривой, в котором роль параметра играет сама дуга а Наконец, устанавливается понятие положительного направления касательной„направляющие косинусы которого даются формулами: у22 вУР Л2 сов а= —, сов р= —, сов у= —.
ав ' 6Ъ ' Вл ' (15*) 5я Гл. чп. пРилОжения диооевенциального исчисления 12511 З 5. Кривизна плоской крввой 250. Понятие кривизны. Пусть снова дана простая кривая к= у(г), у=у(г) (ге ~~У), (1) где на этот раз функции у и»у предполагаются непрерывными вместе со своими производными первого и второго порядка. Рассмотрим дугу этой кривой, без особых точек.
Если в каждой ее точке провести касательную (скажем, в положительном направлении), то вследствие еискривленности» кривой эта касательная с перемещением точки касания будет вращаться; этим кривая существенно отличается от прямой, для которой касательная (совпадающая с ней) сохраняет одно и то же на/ правление для всех точек.
Важным элементом, харак~ ге теризующнм течение кривой, является «степень искривлен- »( — 1. ности» или «кривизна» ее в »1 различных точках; эту кри- визну можно выразить числом. Рис, 154. Пусть ММ (рис. 154) есть дуга кривой; рассмотрим касательные МТ и М»Т„проведенные (в положительном направлении) в конечных точках этой дуги. Естественно кривизну кривой характеризовать углом поворота касательной, рассчитанным на единицу длины дуги, т.
е. отношением —, где угол о» измеряется в радианах, а длина о — в выбранных единицах длины. Это отношение называют с р е д н е й к р и в и з н о й дуги кривой. На различных участках кривой средняя кривизна ее будет, вообще говоря, различной. Существует впрочем (единственная) кривая, для которой средняя кривизна везде одинакова: это о к р у ж н о с т ь «). Действительно, для нее имеем (рис.
155) «1 ге 1 о о какой бы дуге окружности ни шла речь. От понятия средней кривизны дуги ММт перейдем к понятию кривизны в точке. Кривив но й кривой в точке М называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги ММт, когда точка Мт вдоль по кривой стремится к М. «) Не считая, разумеется, прямой, дяя которой кривизна всегда нуль. 1 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 5б9 збо1 Обозначив кривизну кривой в данной точке буквой lс, будем иметь /с = 1ппв СО О 0 Для окружности, очевидно, к= —, т.
е. кривизна окружности есть 1 величина, обратная радиусу окружности. Рис. 155. Ряс. 15б. Замечание. Понятия средней кривизньз и кривизны в данной точке совершенно аналогичны понятиям средней скорости и скорости в данный момент для движущейся точки. Можно сказать, что средняя кривизна характеризует среднюю скорость изменения направления касательной на некоторой дуге, а кривизна в точке — истинную скорость изменения этого направления, приуроченную к данной точке. Обратимся теперь к выводу аналитического выражения для кривизны, по которому ее можно было бы вычислять исходя из параметрического задания кривой.
Предположим сначала, что в роли параметра фигурирует дуга. Как мы знаем [249), такое представление всегда осуществимо, если ограничиться дугой кривой, где нет особых точек. Возьмем иа этом участке кривой точку М (заведомо не особую), и пусть ей отвечает значение г дуги. Придав з произвольное приращение Аз, получим другую точку М,(в+Аз) (рис. 156). Приратцение Асс угла наклона касательной при переходе от М х М даст угол св между обеими касательными: сО=АК.
Аи Так как а = Аз, то средняя кривизна будет равна — . Устремив ММЗ = Аз к нулю, для кривизны кривой в точке М получим выражение К=!ПП вЂ” =— Аз Ис т Олз (2) зто гл. ч!ь НРиложения диееегенпиального исчисления [язв Важно отметить, впрочем, что зта формула верна лишь с т о чно стью до знака, так как кривизна, по нашему определению, есть число неотрицательное, а справа может получиться и отрицательный результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
