Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 110
Текст из файла (страница 110)
По ним же, пользуясь формулой, аналогичной (1), уже нетрудно восстановить д(х). (Ор. 1Зб.) Обратимся теперь к доказательству высказанного утверждения. Пусть, в общем случае, область Ю состоит из замкнутых промежутков КВ (1=1, 2, ..., щ), перенумерованных слева направо. Полагая в этих промежутках функцию г"*=г', дополнши ее определение следующим образом. Если левый конец а, промежутка Л; есть конечное число, то для х- а, положим 1'* равной многочлену вида (1), при с, =Да,), с, = г""(а,),..., с„= / Ое(а,).
Аналогично распространяется функция )'и направо от Х, если только правый конец Ь этого промежутка есть конечное число. Наконец, для промежутка (Ь„, а„~,) (1=1,2, ...,т — 1), отделяющего ХВ от Хк+„отождествим г'* с таким многочленом, который вместе со своими л производными в обеих точках х=ЬЕ и х=ае+, принимает те же значения, что и функция 1 н ее производные.
Нетрудно видеть, что определенная так функция У'* н осуществляет требуемое распространение на всю область К~ =( — -, + -). 258. Поставовка задачи для двумерного случая. Положение вещей сразу усложняется при переходе к функциям нескольких переменных. Мы ограничимся в дальнейшем случаем функции двух переменных.
Результаты, которые для этого случая будут установлены, переносятся и на общий случай любого числа переменных. Мы будем рассматривать области аяВ' в двумерном пространстве, разумея под этим либо открытую область, либо же открытую с присоединением к ней части ее границы,У или же всей границы (в последнем случае область будет з ам к ну то й). При распространении на рассматриваемый случай определения функций класса Я" (л 1) мы сталкиваемся с своеобразным затруднением.
Дело в том, что в точке, лежащей на границе Я области, ЗАДАЧА РАСПРОСП'АНЕНИЯ ФУНКЦИЙ зба) Р( 4 )рр воляет вообще говорить о производной рассматриваемого типа. Впрочем, для простейшего случал и р ямоугольцой области мы этот факт установим уже сейчас. Итак, пусть функция у'(х,у) непрерывна вместе со всеми своими —,х а)' сс хвоя производными, до п-го (п~1) порядка включительно, в некотором Рнс. 165. пРЯмоУгольнике о4х, и точка Мо(хо, У„) лежит на отрезке прямой у=у„служащем границей этого прямоугольника (рис.
165) и входящем в его состав. Начнем с производной у'„для которой вопрос исчерпывается просто. По формуле Лагранжа (112] отношение приращений (хо го+~)-з(хо уо) у'(„,бу,) (О 9 1) — у хю уо+ н при к 0 стремится именно к предельному значению з з(хо,уо), которое таким образом оказывается и производной в собственном смысле [ср. 1131. Что же касается производной у'„', то соответствующее ей отношение приращений само может быль рассмотрено как предел У(хо+А, Уо) — У(хо, Зо) ° У(ховй Уоч й) У(хо то+во) ') Сохраняя нря этом дяя нее обычное обозначение.
может оказаться просто н е п р и л о ж и м ы м самое определение частной производной того или иного тела. Например, если область ого есть замкнутый круг х'+у' 1, то в точках (О, х1) нельзя говорить о частной производной по х, ибо при у= х1 значению х=О нельзя придать никакого приращения, чтобы сразу же не выйти за пределы области, где задана функция; аналогично, в точках (~1, 0) це имеет смысла частная производная по у. Говоря о частной производной (определенного порядка и типа), непрерывной в области ая1; мы условимся в граничной точке Мо области раз>меть под этой производной* ) лишь пр е д е л ь и о е з и а ч е н и с, к которому стремится одноименная производная, вычисленная во внутренней точке М, при стремлении М к Мя — независимо от того, будет ли оно на деле играть роль производной или нет.
Из дальнейшего изложения впоследствии выяснится, что упомянутое предельное значение — в широком классе случаев— будет вместе с тем и настоящей производной, если только положение точки М„ относительно области поз- зчо дополнение Но последнее выражение, снова по формуле Л а г р а н ж а, преобра- зуется к виду Лхзч и Уач и) У(хо Уо+и) ' ОИ ) И =У Го б" о (О б .!). При Ь О, )с О оно стремится к предельному значению Д(хо,уо). По теореме же и' 168, ввиду существования простого предела при к-О, этот д в о й н о й предел служит в то же время и п о в т о р н ы м пределом: ) ) ВШ З(хоа-о. Уо )-З(~а УаЧ о) „хо, уо — — аш И а-о о-о Лхо-~И уо)-У(ха.
уо) И а-о так что и здесь число у"„(хо, у ), определенное лишь как предельное значение производной, является настоящей производной. Сказанное последовательно переносится и на производные высших порядков. Итак, заключенное выше условие позволяет теперь говорить о непрерывных производных в любой области оХ, как бы ни были расположены по отношению к этой области ее граничные точки (включенные в ее состав). Функция у(х,у) принадлежит классу ~оо (пъ 1) в двумерной области ого, если она в олей н е п р е р гв в н а и имеет н епрерывн ы е зове производные всех типов и всех порядков до и-го включительно. Пусть область ого не охватывает всей плоскости; если в какой-либо областиома, н а л е г а ю щ е й на ооо,существуетфункПияу'о, тоже класса ~~, которая в общей части областей ове и аФ'а совпадает с 1; то мы будем говорить, что она дает распространение функции у на соко, с сохранением класса.
Естественно и здесь поставить вопрос: всегда ли возможно такое распространение на более широкую область, в частности, на всю плоскостью Как мы покажем, на этот вопрос для замкнутой области ало' можно ответить утвердительно, если только ее контур удовлетворяет некоторым простым условиям. Впрочем, для облегчения изложения мы будем всегда предполагать область ало о г р а н и ч е н н о й, хотя окончательное утверждение верно и для неограниченной области.
Излагаемые результаты в основном принадлежат У и т н е ю (Н. Ж)зйпеу) и Хестинсу (М. Н. Нее~елее). 259. Вспомогательные предложения. Для облегчения доказательства основной теоремы установим предварительно некоторые леммы. 592 ДОПОЛНЕНИЕ С этой целью продифференцнруем равенство (4) г раз по и, а затем йразпоо(о 0): л)Г~-кол(и с) д'.гкк(и е) дяг дск г ди) дск =(-1)кЛ 1 лэььяр и, — -о) 2~ -' дилдль ( ' )''- дую+Яр ~и, --= с) л' ди~ дьк и перейдем к пределу прн и и, и о -О. В результате, в силу равенства (3), мы н получим (6).
Таким образом, существование единого предельного знач е н н я для любой производной (5) как со стороны о О, так и со стороны о .0 — обеспечено. Больше того, если за значение производной (5) в точках прямой о=О принять это ее предельное значение, то получится непрерьгвная во всем ф* функция. Но точка (и, 0) является для 9* в н у т р е н не й точкой, и здесь нам нужна была бы ггроизводная в собственном смысле.
В этом отношении мы имеем возможность сослаться на доказанное в предыдущем и'. упомянутое предельное значение будет в то же время и настоящей производной. Функция у* и осуществляет искомое распространение функции ~у на ялэи Лемма 11. Пусть функция Ях,у) будет класса к~ в некоторой ограниченной открытой области алл *). Если каждую точку границы -о этой области ложно окружить окрестностью, е пределах которой допустимо распространение функции )' с сохранением класса, гпо такое распространение возможно и на есю плоскость,'5. Для любой точки М замкнутой области алд'=аФ+,Унайдется **) либо окрестность, в которой функция 1 определена и принадлежит классу ~, либо же окрестность,на которую сможет быть распространена с сохранением класса. Эту окрестность можно взять, например, в виде открытого круга В=Я (М, Зг) с центром М и радиусом Зг.
Таким образом, вся замкнутая областью покрывается не только системой ~"„состоящей из этих кругов, а, но и системой г,', состоящей из кругов а= Я (М, г) с втрое меньшими ради)'сами. *) Мы не предполагаем этой области даже связной и пока ничего ие говорим о виде ее границы. л') В зависимости ог того, принкллеиит ли М открытой области олс или ее границе,К. 593 тл91 ЗАЛАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ ~„,=(ад, а..., а,„), извлеченной из г,'.
Здесь се = 51((Мд, г;) (д=1, 2,, лд); одновременно будем рассматривать и круги ад — Я(Мдг 2г), ад' — — ае1((Мгз Згг.). Легко построить функцию Ь,(М)=Ь,(хгу) класса доа в ф, такую, что Ь;(М)=0 в сй и Ь,(М)=1 в ач-а; Н=),2,...,лд). Можно, например, определить — методами п' 257 — функцию Ь(д) класса до" во всем промежутке — . д + так, чтобы было Ь(д)=0 для 2~1 и Ь(д)=1 для 2~2, а затем положить , ~ммд) С помощью функций Ь; составим функции Н, = Нд(М) = 1 — Ьд, Н Нг(М) Ьд Ь2 Ь д(1 Ьд) (1 ( д' т) они также принадлежат классу [~ в 3. Очевидно, Нд —— 0 в а, (для всех д=-д', Н,=О в ф-ад, (7) (8) ибо в а,.
обращается в нуль множитель Ь;, а в 5 — а; — множитель 1-Ь,. Так как Нд-РН2" ... ФН;=(1 — Ь,) РЬд(1-)~)+... ЬдЬ2 Ьг'-д(1 Ьг) 1 ЬдЬ2 Ь! то Н,+Н,+... +Нд=1 в а,, (9) потому что там обращается в нуль множитель Ь,. Пусть теперь ггд в а" ,совпадает с функцией Г илие ее распространением, о котором упоминалось выше, а вне а,' пусть 92,=г в точках ад2 и =0 в прочих точках. Функция дгНу обращается в нуль в $ — ад [см.
(8)] и, очевидно, во всейдплоскости б принадлежит классу е'"'. Положим, наконец, во всех' точках бг ' аг 32 Г. М Фаттеагеаеа, т. Д Так как область Ф28; а с нею и Ф2е' ограничены, то к данному случаю применима лемма Б о р е л я (17з1, и Ф22 покроется к о н е ч н о й системой 594 дополнения [260 Этим равенством функция у ь определяется во всей плоскости и притом оказывается функцией класса Я". Возьмем любую точку М из ом'; она принадлежит некоторому кругу о;. Так как все [ог(М) =ЯМ) и, кроме того, в этой точке (ввиду (9) и (7)) Н,-ьНь+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
