Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 111
Текст из файла (страница 111)
+Н;=1„а Н~ — -0 для у [, то уь(М)=ЯМ). Таким образом, функция у'ь и есть искомая. 260. Основная теорема о распространении. Теперь мы в состоянии доказать и для случая функции двух переменных теорему о распространении, но налагая ограничения на контур области. Условимся называть гладкой кривой класса Яь (п~1) простую кривую без особых точек, выражаемую уравнениями х =у(г), у =~р(с), (10) где г изменяется в некотором промежутке Я, в предположении, что функции ~у, р принадлежат в этом промежутке классу ~~ Теорема 1.
Если функция Дх,у) принадлежит классу;~ (пи 1) в ограниченной замкнутой области аег, контур которой Я состоит из одной или нескольких (непересекаюи[ихся) гладких кривых, тоже класса Я", то эта функция может быть распространена на всю плоскость $ с сохранением класса. Пусть М„(хь,ув) есть произвольная точка контура,М; для простоты будем считать хе=ус=0.
Эта точка лежит на одной из кривых, входжцих в состав ь, и является обыкновенной ее точкой. В таком случае, без умаления общности, можно допустить, что в окрестности точки М, кривая выражается явным уравнением Рвс. 166. у=я(х), где я — также класса Я", и что область оеу лежит в в е р х от нее, т. е. (вблизи М ) определяется неравенством у э*я(х) (рнс. 166, а). Произведем преобразование переменных, полагая х=и, у=я(и)+о. Функция у(х, у) при этом перейдет в функцию Я, о) =Л.П К(и) - о) 595 ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 2611 которая оказывается класса ~, вблизи точки и=о=О, именно, для о~О (рис. 166, б). Тогда, по лемме 1, функцию 9» можно распространить с сохранением класса и на значения о -0 (все время ограничивалась точками, достаточно близкими к начальной).
Если это распространение осуществляется фувхцией <р* (и,о), то, возвращаясь к старым переменным, легко видеть, что функция 1«(х, у) =у«(х, у — е(х)) дает распространение функции у на некоторую окрестность точки Мь. На основании леммы П мы можем заключить теперь, что функцияу', действительно, допускает распространение, с сохранением класса, на всю плоскость 3. 261.
Обобщение. Однако полученный результат для практических надобностей все же недостаточен, поскольку часто приходится иметь дело с областями, контуры которых имеют «угловые точки». условимся называть кусочно-гладкой кривой класса ~~ — кривую, состоящую из нескольких гладких дуг класса,, примыкающих одна к другой под углами (не равными ни О, ни зт!).
Теорема И. Заключение теоремы 1 сохраняется, если контур,к области аЖ состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых класса ~~. х-4у> Мы уже видели, что любую точху контура,л5, не являющуюся угловой, можно окружить окрестностью, в пределах которой допустимо распространение функции Ю 7 с сохранением класса. Докажем теперь то у=уа:~ же относительно угловой точки Мь(хв, уь). И здесь снова можно принять хв= Рве. 167.
=у, 0; можно, не нарушая общности, предположить также, что смыкаютциеся в начале дуги имеют в этой точке касательные, из которых одна совпадает с положительной частью оси х, а другая идет к ней под углом (рис. 167). В таком случае в достаточной близости к началу эти дуги выражаются„соответственно, уравнениями у=я(х) и х=Ь(у), причем я'(0) =0; функции я и Ь принадлежат обе классу «,'. Прибегнем к замене переменных х=иФЬ(о), у=я(и)+о.
Так как якобиан этих функций л = = 1 — «'(и)Ь'(о) 1 Ь'(о) я'(и) 1 59б ДОПОЛНЕНИЕ [261 в точке и=о=О обращается в 1, то система (11) в окрестности нулевых значений всех аргументов допускает однозначное обращение: (12) и = л(х, у), ю =[«(х, у), причем функции А, [«также оказываются класса Ял (209). При ю=О и и~О из (11) получаем у=8(х) и х~О, так что положительной части оси и отвечает первая из названных дуг; аналогично убежцаемся в том, что поло- жительной части оси ю отвечает вторая нз дуг. Очевидно, при этом пре- образовании две угловые об" ласти, на которые этими дугами делится окрестность начальной точки на плоскости ху, отвечают тем двум — «входяРис.
168 щему» и «выходящему» — прямым углам, на которые положительнымн частями осей и и ю делится на плоскости ию окрестность начальной точки (рис. 168, а и 6). Подставляя в функцию у' выражения (11), получим преобразованную функцнзо у(и, и) =Ли+ й(ю), 8(и)+ ю), определенную и принадлежащую классу ял в том или другом — смотря по случаю — из упомянутых только что прямых углов. Если речь идет о «выходящем» угле (рис. 168, а), то, по лемме 1, сначала функцию я» распространяют на 1Ч координатный угол, а затем полученную функцию (меняя роли и и ю) распространяют уже на П и П1 углы, т. е.
на полную окрестность начала. Сложнее обстоит дело, если речь идет о «входящем» угле (рис. 168, б). В этом случае поступают так. Прежде всего, опираясь на лемму 1 (но меняя знак и), распространяют функцию у с л е в о й полуплоскости на п р а в у ю ') и получают, таким образом, функцию л», — в полной окрестности начала. Затем рассматривают функцию «р=«» — в»т в нижней полуплоскости и, пользуясь указанным при доказал«ельсп«ве леммы 1 меп«одом, распространяют ее на в е р х н ю ю полуплоскость, что дает функцию «у, — уже в полной окреспюсти начала.
Но в 1П угле «у, = р =в» -в», = О, а тогда, по самому характеру упомянутого метода, ясно«что ~р,=О и во П угле. Если положить теперь в окрестности начала в»«=«р: +1»„, то во П и 111 углах «у =О и у,=«», так что и 8»« =у, и в [Ч угле «у,=«у=в»-е»„и опять-таки р«= «) Иее время имея в виду лишь точки, б»л»«»лежащие к ив«илу. ЗАДАЧА РАСПРОС ГРАИЕНИЯ ФУНКЦИИ 2621 597 =(оз-у,)-Ру,=у.
Таким образом, построенная функция у» дает распространение ~р на полную окрестность начала. С помощью обратного преобразования (12) к старым переменным получается и распространение у'(х, у) = уо(1(х, у), 7з(х, у)) функции У: Доказательство завершается„как и в теореме 1, ссылкой на лемму П. 2б2. Заключительные замечанвя. Доказанная теорема о распространении функций имеет многообразные приложения.
Мы ограничимся здесь указанием на обобщение с ее помощью ряда л о к а л ьных, т. е. связанных с окрестностью определенной точки, формул и теорем анализа — на случай, когда упомянутая точка лежит на границе рассматриваемой области, а не внутри нее, как обычно предполагается. Пусть, например, в замкнутой области аоК, ограниченной контуром Я (рассмотренного выше типа), определена функция я=у(х, у), непрерывная вместе со своими производными У и уу. Тогда, е с л и только точка (хо,уо) лежит внутри сои, имеет место известная (178] формула для полного приращения функции: зз = У (хо + зх Уо Р ~УУ) — У (хо Уо) = =Ихо уо) ~)х+ХФо уо) "1у+к~~к РР~)у (13) где а и р' стремятся к нулю вместе с бх н Лу. Рассуждения, приведенные для доказательства этой формулы, вообще неприложимы, когда точка (х,у ) оказывается лежащей на контуре. А между тем формула верна и для этого случая, если только связать Лх и Лу условием, чтобы точка (х +Ах, у ч-Ау) не выходила за пределы аФ'.
В этом легко убедиться, если написать сначала формулу для функции уо дающей распространение у на всю плоскость, а затем — ограничиваясь, как указано, точками области оо2, — вернуться к исходной функции Х Во всех случаях, когда в основе умозаключений лежала формула (13), мы получаем теперь существенное дополнение к прежним результатам. Так, при сделанных относительно функции У предположениях она оказывается диф фере нцируемо й (1791 не только во внутренних точках области соо, но и в точках ее границы. Для поверхности, выражаемой уравнением я= 7(х, у), мы получаем возможность говорить о касательной плоскости 11801 даже в точках ее контура. На рассмотренной формуле, как мы знаем, основано также правило дифференцирования сложной функции [181).
598 дополнение Если функции х — о«(г), у-«у(г) (го г Т) (14) имеют производные, и точки (у(г), «у(г)) лежат все внутри области аМ, то для сложной функции х=Яу(г), «у(г)) мы имели формулу Р хам =э'ох«+Лу~. Теперь она распространяется и на случай, когда «кривая» (14) подходит вплотную к контуру области аХ и т. д., и т. п.
Не входя в подробности, укажем еще один важный пример. Пусть имеем систему функций (15) х =~у(и, е), у =«р(и, е), непрерывных вместе со своими производными в некоторой замкнутой области й на плоскости ие, с контуром К, и пусть в некоторой точке (и, ю ) этой области якобиан )Кю, ю) »»(и, е) отличен от О. Если точка (ио, юо) лежит внутри й, то по теореме ТУ и' 208 система функций (15) допускает обращение, так что в окрестности точки (хо, у ), где хо=«о(ио "о) уо -'Р(ио ео)* переменные и, е выражаются однозначными функциями от переменных х, у: и = Л(х, у), е =)»(х, у), (15о) непрерывными вместе со своими производными в упомянутой окрестности. Таким образом, ограничиваясь значениями и, е, х, у, достаточно близкими, соответственно, к и, ео, х, у, можно сказать, что соотношения (15) и (15«) совершенно равносильны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
