Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Для всех трех конических сечений радиус кривизны о к а вы в а етс я пр опор ц и опален кубу отрезка нормали. 10) В заюпочеиие скажем несколько слов об одном практическом вопросе, в котором кас раз и используется существенно изменение кривизвы вдоль кривой: речь идет о так называемых переходных кривых, применяемых при разбивке железнодорожных зэхруглеввй.
Как устаиавлввается в механике, при дввжении материальной точки по кривой развевается певтробежиая сила, величава которой определяется формулой где и! — масса точки, е — ее скорость, а )1 — радиус кривизны кривой в рассматриваемой ее точке. Если бы прямолинейная часть железнодорожного пути непосредственно примыкала к закруглению, разбитому по дуге круга (рис. 159а), то при переходе на это закругление центробежная сила возникала бы мгновенно, создавая резиий 91 (а7 ь'с ! !7 Рис.
159. и сильный толчок, вредный для подвюкного состава и для верхнего строения пути. Для избежания этого прямолинейную часть пути сопрягают с круговой с помощью некоей переходной крввой (рис. 159 б). Вдоль нее радиус кривизны постепенно убывает от бесконечного зиачеввя — в точке стыка с 1 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2531 577 прямолинейной частью — до величины радиуса круга — в точке стыка с круговой дугой, и соответственно этому п о с т е п е н н о нарастает центробежная сила. В качестве переходной кривой чаще всего используется кубическая хе парабола у- †. В этом случае„очевидно, имеем 64 ха У = 24 х У 4 так что для радиуса кривизны получается выражение 253.
Координаты центра кривизны. Выведем теперь формулы для координат центра кривизны. Будем обозначать координаты рассматриваемой точки М кривой через х и у, а координаты отвечающего ей центра кривизны С вЂ” через с и 7). Радиус кривизны Я=МС (рнс. 158) лежит на оси — именно на направленной нормали, которая с осью х составляет угол иф —.
Проектируя отрезок МС поочередно на ось х и на ось у, по основной теореме теории проекций, будем иметь л1 с — х = Я сок ~а+ — ) = — Я гйп а, 7)-у=-Яаш ~ж+ — 1=Я соки. г)= Отсюда для координат центра кривизны получаем: с=х-Якши, (8) Ф) = У + Я сО5 и. Используя выведенные нами раньше формулы [251 (6); 249 (15)1 Иу ап и=в ~й Ых соки= — > 45 ' только что полученные выражения можно переписать в виде: 8=х-— 77У оа ' ат (9) *) Методами дифференциального исчисления 1134, 13э5 легко установить, что выражение для Я убывает лишь до х 0,946 )Ге, где оно имеет минимум 1,390)74. Только зта часть кривой и используется на практике.
57 Г. М 'Ь п|чюо вю т. ! При х=О имеем у' 0 и Я=, наша кривая в начале координат касается оси х и имеет нулевую кривизну «). Иногда в роли переходной кривой применяется и лемниската. 518 нив евгвнциьльного исчисления [254 Если кривая задана параметрическими уравнениями (1), то, вспомнив выражение (4) для а'„легко преобразовать формулы (9) следующим образом: хР+у[з (10) хр+у[з з[=У+ —, „,хо х[в[[- хеу[ Как видим, с и з[ здесь выражены в функции от того же параметра 0 что и х, у. В случае кривой, заданной явным уравнением у=Ях), формулы (10) принимают часзньтй вид: 5 [+Ух ° [+У Р .=х- — „у„', з[=-уь —,. (1Оа) Формулы (10) можно применить и в том случае, если кривая задана полярным уравнением г=е(9), выбирая, как обычно, за параметр угол 9.
Если сопоставить только что полученные формулы (10а) с формулами для пограничной точки на нормали, найденньгми при решении задачи п' 137 (рис. 62), то убедимся в том, что упомянутая пограничная точка совпадает с центром кривизны. Еще более важный результат получится, если сопоставить формулы (!Оа) и (7а) с формулами (22) и (23) п' 243: круг кривизны кривой в данной точке есть не что иное, как соприкасающийся круг.
Иными словами (244), круг кривизны представляет собой предельное полоэкеиие круга, проходящего через три точки кривой, которые стремятся к совпадению с данной Этот результат, конечно, можно было предвидеть: в случае касания в т о р о г о порядка между данной кривой н окружностью, ордината у и д в е е е производные у„' и у~ имеют в данной точке одни и те же значения для обеих кривых, так что для них совпадают в этойточке направления выпуклости нвеличиныкривизны, зависящие только от упомянутых производньзх. 254. Определение зволюты и эвольвенты; разыскание зволюты. Если точка М(х,у) перемещается вдоль данной кривой, то соответствующий ей центр кривизны С($, ц), вообще говоря, также описывает некоторую кривую.
Геометрическое место центров кривизньв данной кривой называется ее э в о л ю т о й. Обратно, исходная кривая по отношению к своей эволюте иазгввается ее э в о л ь в е нтой, 1 3. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 579 Формулы (10) или (10а) предмлущего и', выражающие координаты с, т) дентра кривизны С через параметр т (или х), можно рассматривать как уже готовые параметрические уравнения з в о л ю т ы. Иногда представляется выгодным исюпочить из иих параметр и выразить зволюту неявным уравнением Р(0, з)) =0. Примеры.
1) Найти эволюту п ар а б о л ы у' = 2рх. Пользуясь полученными выше 1252, 8)] результатами: УУ = Р Узуз'= Р по формулам (10а) находим координаты центра кривизны: >аЧ-(УУз)' У'+Р' ЗУ' б=х — уу„=хч- — = Зхч-р= — ч-р р 2р уз+ (уу,)з у уз ч=-у+у, =у- — (у'+р')= — —. Узуз' Р Р Итак, параметрические уравнения зволюты параболы (где у — в роли параметра) будут Зуз уз с= — +р, 2р р' Исключая из этих уравнений у, получим 2р >и= — (З-р), у'= -р'ъ 3 откуда, наконец, 3 Чз= я р)з 27р Мы видам, что эволютой параболы является полукубнческая парабола (рис.
160). 2) Найти эвошоту эллипса х=а сок Г, У=Ьз1п Г. Имеем х]=- -аялг, яр= — асов с, у]=Ьсоз г, УР'= -Ь з(лг. Подставляя это в формулу (1О), получим Ь соз г(аз зшз г+ Ьз созе г) а*- Ь' , = а соз г— - = — СОЗ з аЬ а а-Ь'. ч =- — — ял' г. Ь Таково параметрическое представление эволюты эллипса.
Исключив г, получим уравнение этой кривой в неявном виде: (ас)зь(ЬЧ)з сз (где с'=аз-ьз). 580 Гл. чи. ИРилОжения диФФНРенциялънОГО исчисления [254 Кривая напомшшет собой а с т р о и д у и получается из нее путем вытягивания по вертнкальному направлению [рис. 161). л Рис, 160. Рнс. 16!. Ананогичио, но лишь с помощью гиперболических функций [вместо тригоно- х' у» метрических), и для гиперболы — — -= 1 получается эволюга е [аб)» — [ЬЧ)»= с» [где с» = а»4 Ь»).
3) Найти эволюту астр о яды х'+у"=а». Мы имели уже в в' 252, 2): 1 ух= ~ ) у»'=( — — ~ . Подставив зто в формулы [10а), после упрощений получим 1 2 21 5-хо ухйу», 11 = у+ Зхбу». Нз этих уравнений, совместно с уравнением самой астроиды, слелуювгям Образом можно исключить х и у: ») =, (х» уй») 2 [6+ЯР+[6-ЧР=г~ +1Я[-.з». если повернуть оси координат на 45', то новые координаты би »„выразятся через старые 6, ч по формулам 6+и с-ч »)1 = )"2 ' ' ~г ' 1 З, куивизня плоСкой кгивой 2551 581 так что в новой координатной системе уравнение искомой эволюты получит вид зт+ Чт (2а)з Мы узнаем в этом снова уравненяе астро яды.
Таким образом, зволютой астроизшз служит астроида же вдвое больших размеров, с осями, навернутыми ло сравневшо с прежним на 45' (рис. 1с2). 4) Найти эволюту циклоиды х=а(г— б, -ног), у=а(1-сок з). Так как мы знаем [231, 4)), что для циклоиды: 1 з(а — — з(г, 2 зз то удобнее воспользонаться формулами (9). Под- ставив в них это значение з(а, получим б=х42у[, в=у — 2хз илн 5=а(гэзшс), з)= -аП-созг).
Рнс. 162. Полозкнв с= т — л, полученные параметрические уравнения перепишем в виде 4 — — -на+а(т — з|п т), у.== -2а+а(1 — соз г). Л вЂ” ззр — гс1йю мг аз=а 2 Исключая г н Р из эгих уравнений и уравнения самой спирали, получим уравнение эволюты хй 2) г, = злая Повернув полярную ось на надлежащий угол, можно отождествить это уравнение с исходным; таким образом, эволюта логарифыической спирали есть такая же спиРаль, получаюшаяся из исходной поворотом вокруг поляка. К построению эвольвент для заданной кривой мы нернемся после того, как изучим некоторые свойства эволют и эвольвент.
255. Свойства эволют н эвольвент. Мы имели параметрическое представление эволюты в виде с=х — К 5[в х, г)=у,'-Косах, (8) Отсюда ясно, что эволюта циклонды есть цнклоида„конгруентная с данной„ но смешенная на отрезок яа влево (параллельно осн х, в отрицательном направлении) и па отрезок 2а вниз (параллельно осн у, тоже в отрицательном направлении). Прелставляезз читателю убедиться в том, что зволюга эпи- илн гнпоциклонды также конгруентна с исходной кривой и получается из нее простым поворотом. 5) Найти эволюту л о тариф м и че ск о й спирали г=азмз.
Геометрическое построение центра кривизны, указанное в 252, 5) позволяет с лезкосгью установить сто полярные координаты г, и йз. Именно (см. Рнс. 134) 582 г.а. чн. ИРиложенил ЛНФФЛРенцилльно!О исчисления 1255 считая х, у, )т, а функциями от параметра. Предположим теперь существование (непрерывных) т р е т ь и х производных от х и у по параметру *); тогда выражение (8) можно продифференцироватгс Йс = Йх — 1т сое а Йл — ~И ып а, Йт1 = Йу — И з)в а Йа + ЙЙ сое сс. Прин!Линя во внимание, что Я ып . Йл = — — Йл = Йу, Йз Йу ЙФ Йв окончательно получим Йь = — ып а ЙК, Йц = сое и ЙК.
(11) Ограничимся теперь рассмотрением такого участка кривой, на котором Я ие обращается нн в нуль, ии в бесконечность и, кроме того, И не обращается в нуль. Этим исключена возможность особых точек как на данной кривой, так и на ее эволюте. Так как ~И м О, то радиус кривизны )т изменяется монотонно: либо возрастает, либо убывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
