Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

а' Ьз Станем иискать огибающую семейства окружностей, построенных, как на диаметрах, на хоРдах эллипса, параллельных ося у (рис. 144). Рис. 143. Рис. 144. Приняв за параметр абсциссу с центра окружности, напишем уравнение э~о~о семейства в виде: Ьз Р(х, у, г)=(х-г)з+уе — — (лз — гз)=О, аз причем г изменяется в промежутке [-а, л[, Имеем 2[4 Г[= -2(х-г)+ — с-О, откуда а' ае С= — х. а'+ Ьз Подставив это значение г в уравнение Р=О, мы получим уравнение огибающей в следующем виде: или, после преобразований: хз у' — + — = 1.

аэ-РЬз Ь' Мы прюпли к эллипсу с теми же осями симметрии, что и данный. Любопытно отметить, что этот эллипс касается н е в с е х окружностей семейства. Зто обстоятельство легко усмотреть, если не исключать г из уравнений Р= 0 и Р[-О, а выразить вз ввх х и у через г: а'+ Ьз Ь х= — г, у- х- [га'-(а*+Ь')гй лз л' Действительно, отсюда сразу видно, что Вмражсвис для у Мсжст быть вещественлз ным лишь при ~ г[~ . Значит, только для части семейсгваокружно[~азеЬз отей, соответствующей указанным значениям с, существует огибающая. ззе 548 ГЛ. ЧП. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1239 Этот поучительный пример показывает, что параметрическое задание огибающей может оказаться более выгодным, потому что из него легче усмотреть, для какой части данного семейства огибающая действительно существует.

б) Дляссмейства концентрических окружностей ха+уз = а (щ-О) огибающей нет: дифференцирование по а сразу приводит к невозможному равенству О 1. 7) Рассмотрим два семейства и ол ук у б и ч ес ких и араб ол (а) (у-а)з-хе=О и (б) уз — (х — а)а= О (рис. 145). Дискриминантная кривая будет (а) х=О, (б) у=О, и в обоих случаях является носительницей особых точек. Но в случае (б) она все же одновременно будет огибающей; в случае (а) огибающей нет. 8) Более сложаый пример такого же типа дает другое семейство полухубических парабол: (у — а)' — (х — а)' =- О (рис, !4б). Здесь дискриминанпшя кривая распадается на две прямые: у=-х и Ь' л> Рис. 146. Рис. 145. 4 у = х- †. Первая является лишь геометрическим местом особых точек, а вторая 27 будет огибающей. 9) Наконец, рассмотрим семейспю прямых 4(1+ г)х = гау.

Рсли продифферевцировать по г: 4х= 2~у и исключить г из обовх уравнений, то получим, как результат исключения: х(хч >) =.О. 549 1 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ Это уравнение представляет две прямые: х= О и у= -х, которые входят в состав данного пучка (при Г= О и Г= -2). Нн одна из ннх не является ни огябающей, ви носительницей особык точек. Огибающей в этом случае нет. Этот првмер иллюстрирует указанную нами ранее возможность того, что уравнение (10) представит не огибающую, а одну или несколько кривых семейства.

Ясли бы мы, не исключая с, попьпались выразить хнучерез« при перемени о м г, то зто оказалось бы невозмоиным. 240. Характеристические точкк. С понятием огибающей тесно связано другое интересное геометрическое понятие — х а р а к т е р истических точек. Возьмем одну из кривых семейства Г(х, у, а) =О, определяемую значением а параметра. Придадим а некоторое приращение Ла; значению а+ г)а параметра будет отвечать другая кривая семейства Лх, у, а+ г)а) = О, «близкая» к первой. Может случиться, что при достаточно малом г)а обе кривые пересекаютсяя в одной или в нескольких точках. Прн стремлении ба к нулю Га Л,а7 1 га"а»щ 1 ! 1 1 1 1 <а~А,а Рис.

147. эти точки пересечения будут каким-то образом перемещаться по первой кривой. Если при этом какая-либо из точек пересечения стремится к определенному предельному положенщо, то эту предельную точку называют характеристической точкой на исходной кривой (рис. 147). [Обращаем внимание читателя на то, что характеристическая точка связана не только с той кривой, на которой 550 ГЛ.

Р!Ь ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [240 лежит, но и со всем семейством. Говорить о характеристической точке для отдельно заданной кривой было бы лишено смысла.) Точка пересечения упомянутых выше кривых должна удовлетворять системе уравнений Г(х, у, а)=0, Г(х, у, а-РАа)=0 или равносильной ей системе Г[х, у, а+да) — Г[х, у, а) 0 Г(х, у, а) =О, Ла (11) Устремив здесь ![а к нулю, мы придем к уже знакомой нам системе (9): Г(х, у, а)=0, Г,',(х, у, а)=0, которой, таким образом, при заданном а, и должны удовлетворять координаты характеристической точки. Точнее говоря, если сохранить за х и у значения координат точки пересечения, то вместо (11) (применяя формулу Л а г р а н ж а) можно написать: Г(х, у, а)=0, Г;(х, у, а+ОАа)=0 (О О 1).

Если при за 0 координаты х, у имеют соответственно пределы х, у, то, переходя в написанных равенствах к пределу, ввиду непрерывности функций Г и Г;, легко убедиться в том, что координаты х, у характеристической точки, действительно, удовлетворяют системе уравнений (9). Допустим теперь, что характеристические точки существуют на каждой кривой семейства.

Тогда можно поставить вопрос о г е ометрическом месте характеристических точек. Если зто место представляет собой кривую вида (2), то функции р(а), 7'(а), фигурирующие в ее уравнениях, должеь! удовлетворять системе (9), а значит — получаться в числе решений этой системы относительно х, у. Точно так же все точки упомянутого геометрического места удовлетворяют и уравнению (10), т. е. это место необходимо входит в состав д искр им инантной кривой. Из сказанного ясно, что геометрическое место характеристических точек, если существует, представляет собой (полностью или по частям) либо огибающую, либо носительницу особых точек.

Легко убедиться в том, что в примерах 1), 2), 4), 5) предыдущего и' геометрическое место характеристических точек совпадает с огибающей. Это в некотором смысле, — общий случай. Но вот в примере 7) (а) это геометрическое место служит лишь носительницей особых точек, а в примерах 3) и 7) (б) вовсе нет пересечения между кривыми (хотя огибающая существует). 1 3. КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 551 2411 241. Порядок касания двух кривых. Рассмотрим две кривые, касаюп(неся в точке М . Если кривые заданы явными уравнениями у=Ях) и 1'=8(х), и Мл имеет абсциссу хр, то совпадение ординат и угловых коэффициентов касательных может быть записано так: Лхо) =-я(х,), Г(хо) =аха) Для характеристики близости рассматриваемых кривых в окрестности точки Мл возьмем точки М н т на этих кривых (рис. 148) с абсциссой х и установим порядок бесконечно малого отрезка тМ= Г-у=у(х) -у"(х) ~р(х) относительно основной бесконечно малой х — х,.

а Если этот порядок равен п+1 Рис. 148. (или болыие, чем п+ 1), то говорят, что кривые в точке Мл имеют порядок касания п (или выше, чем п). Мы видели, что при наличии касания всегда ч!(хл) = я(хл) - Р(хр) = О, ча'(хл) = е'(хл) — 1 '(хл) = О. Пусть в точке хв для функций 1(х) и 8(х) существуют производные всех порядков до (и -Р 1)-го включительно, причем рл(Х ) ел(,. ) ('(л)(Х ) л(л)(Х ) так что Р" (хл) = Ел(хл) - ("(х„) = О, ..., Р(л)(х ) =Я(")(х,) — У (л)(хв) = О. О величине производных )(л+))(хв) и е(л(')(хл) пока никаких предположений не делаем. Применяя к функции р(х) формулу Т е й л о р а с дополнительным членом в форме П е а н о [124 (10а)): (12) видим, что лам Е(л+а)(х ),(л+а)(х ) а(л(-а)(~ ) йш (х ха)в+ а (л+ 1)! (и+ 1)! Таким обРазом, если У(л+!)(хл) ы8(л"')(хл), то кРивые имеют касание и-го поРЯдка, если же (т'+')(хл)=8(""')(х), то поРЯдок касаниЯ будет выше и.

Отсюда (в предположении существования всех упоминаемых производных) следует: 552 гл. чш пунложвння диоевганпньльного исчисления 1241 Для того опобы в точке с абсииссой хс кривые у=Ях) и У'=я(х) имели касание и-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Дх,) =«(х ), у'(хь) =я'(х,), ..., ~<">(х ) =я!Ю(х ), (13) у(а+и(х ) Ф ФГн-п(х ) (14) (Если последнее неравенство не установлено, то можно лишь утверждать, что порядок касания не ниже и.) Для случая, когда порядок касания точно равен п, из (12) непосредственно вытекает, что при п четном кривые, касаясь в точке М„взаимно пересекают одна другую, при и же нечетном этого нет.

Замечание. В свете выведенных условий мы вернемся вновь к самому о п р е д е л е н и ю порядка касания. Это определение кажущимся образом связано с выбором координатной системы. На деле же порядок касания двух кривых от этого выбора не зависит (лишь бы только ось у не была параллельна общей касательной), так что установленное понятие является действительно г е о м е т р и ч еским. Если повернуть координатную систему на произвольный угол а, то новые координаты х, у выразятся через старые х, у с помощью известных формул преобразования: х = х сов а+у ып а, у = - х ып а+ у соз а.

4Гу ., ау — = — зш а+ — соз а Их Ых ду — = сова -ь — ып а дх дх одновременно в 0 обратиться не могут, так что в новом представлении ни одна точка не будет о с о б о й, а тогда ясно, что первая из этих производных — не 0 в интересующей нас точке (ибо иначе касательная к кривой в этой точке была бы параллельна оси у!). Следовательно, в ее окрестности кривая выразится и в новой системе явным уравнением у = Ях).

Теперь легко видеть, что (ср. 121! Иу г!гу — зш а-Ь вЂ” сова гГу ах азу даз Нх Ыу ахз Иу сова+ — зш а ~соз а+ — зш а) Их дх и вообще Пусть в старой системе координат дана хривая у =э(х); если в преды- дущих уравнениях под у разуметь именно эту функцию, то они дадут параметрическое представление кривой в новой системе, с х в роли параметра. Очевидно, производные 2421 в т. касании квивых мнжд)' совой 555 где Яа есть знак рациональной функции.

Характеристики

Список файлов книги