Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Дело в том, что как Ла, так и Аг могут быть отрицательными, так что, строго говоря, следовало бы писать: сз= (Ла), н= ~АР~ и, наконец, Это замечание следует иметь в вцеу и впредь. Для того чтобы придать формуле (2) вид, удобный для непосредственного вычисления (а вместе с тем установить самое существование кривизны), обратимся к произвольному параметрическому заданию кривой (1).
Так как рассматриваемая точка М([) не является особой, и х,"+ у" ,. О, то без умаления общности, можно считать, что именно х,'= =р'([)~О. Перепишем теперь формулу (2) иначе: лх ле 6И с4 й= — = — = —. Ж Уг х[' сТс (3) Но х,'='['х," еу х (248 (10)1, остается лишь найти сс,'. Так как (106 (1 1)] [их=вЂ М ХЕ и и = агс[я —, У[ х[' то 1 х[уФ вЂ” х[(Р[ х[уй -Му! (4) [у[)в хР х +уР 1+Н х[ Подставив в (3) значения ю,' и х,' придем к окончательной формуле: х[у[[- хяу[ Ь [хР+з РР (5) ух' а' Г1-[-уЛ (5а) Эта формула вполне пригодна для вычисления, ибо все фигурирующие в ней производные легко вычисляются по параметрическим уравнениям кривой.
Если кривая задана явным уравнением у=лх), то зта формула принимает вид Ф к кРиВизнА плОскОЙ кРиВОЙ 25Ц 571 Наконец, если дано полярное уравнение кривой: г=я(0), то, как обычно, можно перейти к параметрическому представлению в прямоугольных координатах, принимая за параметр О. Тогда с помощью (э) получим 1с= тв-Ьгсвв- ттвп (5б) (г'+ гв')' 251. Круг кривязны н радиус кривизны. Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки — окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке. Мыбудемназывать кругом е) кривизн ел кривой в данной на ней точке М вЂ” круг, который 1) касается кривой в точке М; 2) направлен выпуклостью вблизи этой /' /// / точки в ту же сторону, что и кривая; / 3) имеет ту же кривизну, что и кри- С вая в точке М (рис.
157). центр С круга кривизны называется I просто центром кривизны, а у радиус этого круга — р а д и у с о м кривизны (кривой в данной точке). ---- //т Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны всегда лежит иа нормали-к кривой в рассматриваемой рис 157. точке со стороны вогнутости (т. е. со стороны, обратной той, куда направлена выпуклость кривой). Если кривизну кривой в данной точке обозначить через й„то, вспоминая 12%1, что для окружности имели формулу: теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь Пользуясь различными выражениями, введенными в предыдущем и' для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для *) Сюда также относится замечание, сделанное а сноске на сто, 555.
572 Гл чп, пРилОжения диФФеРенциАльнОГО исчисления 1251 радиуса кривизны; й (яр+ур) х)уй-хяг) ' (7) (1+РР)' Уй (7а) В Я=— (Г'+ ПФ)Ь Г +2гв ггь1 (76) которые и применяются в соответственных случаях. Из всех формул радиус кривизны получается со з н а к о м, как и выше — кривизна. Однако здесь мы знака не станем отбрасывать, а постараемся установить его геометрический смысл.
С этой целью введем понятие о положительном направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в 249, что на касательной положительным считается направление в сторону возрастания дуг. На нормали же мы за положительное выберем такое направление, чтобы оно относительно (положительно направленной) касательной было так же ориентировано, как ось у относительно оси х. Например, при обычном расположении этих осей нормаль должна составлять с касательной угол +- против часовой стрелки. 2 "Теперь, рассматривая радиус кривизны Я = МС как направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно приписывать ему знак плюс, если он откладывается У,т' по нормали в положительРф 7) ном направлении, и знак минус в противном случае.
Так, на рис. 158 в случае кривой (1) радиус кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой Уй;~) (Н) знак минус. Мы утверждаем, что знак ЛАК радиуса кривизны, получаемый "'г по любой из выведенных вы- 7 ~ ше формул, в точности соотРес. 158. ветствует только что данному Определению. При этом, однако, важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное направление отсчета дуг предполагается соответствую1цим возрастанию параметра (б х или 6). 1 З.КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 252) 573 Убедиться в сказанном прозце для случая явного задания кривой: здесь (рис. 158) касательная направлена н а п р а в о, следовательно„ нормаль — вверх. Если у'„~ .О (как в рассматриваемой точке, так и — по непрерывности — вблизи нее), то кривая здесь выпукла вниз (143], и радиус кривизны Я положителен; таким он и получается по формуле (7а). Наоборот, при у„''в О кривая выпукла вверх, радиус Я отрицателен, что и в этом случае вполне соответствует формуле (7а).
То же можно показать и для других формул. 252, Првмеры. 1) Цепная линяя: (рве. 41) х у-а сЬ вЂ”. а В этом случае [ср. 99, 28)) х у )/)+у„'~ = сЬ вЂ” = —; а и с другой сторовьй, уайи = — сЬ вЂ” = —. а а ав Поэтому [см. (7а)) у а Так как то же выракенне, как нетрудно видеть, имеет в отрезок нормали л = МФ, то приходим к такому способу пострсеввя центра крвввзны С: отрезок нормали МА1 (см. рве.) нулсао отлозшть по нормали же, но в обратвую (полонвтельвую) сторону.
2) Астр авда: (рнс. 116) в+в в х '+у в у' О ялв хй у'+ув -О, откуда й й ° в — х у+ — у 3 3 1 в у'+х у"=О, откуда й ав у у й В 1' Зхуй Зхйуй Провзводные у,'. н у„': монна найтв, не разрешая ураввенвя, по методу двфференцврованвя неявных функцвй: 574 Гл. чп. пРилОжения диФФЛРенциального исчисления [252 Подставляя значения у' и у" в формулу (7а), получим В 3(аху)1. 3) Цикл аида: х=а(с — япс), у-а(1 — созс) (рис. 118). и с 1 так как [231, 4)] а = — — —, то Вт= — — ссс; с другой же егоровы, как лепсо вы- 2 2 2 числить, с хс= а(1 — соя с), у;=-аяп с, х]з+у[з=4асяпз —, 2 так что з[=](хР+усз-2азш —, т. е.
~(1=2аяп-ссс. 2 2 В таком слу же для вычислевия и можно воспользоваться основной формулой (6): 2а зсп- сй 2 — = — 4аяп-. 1 2 Белл вспомнить выведенное нами в 231, 4) выражевие для отрезка нормали и, то окюкется, что и = — ул. Отсюда — построение центра кривизны С, ясное из чертила. 4) Эвольвевта круга: х=а(созс+сзшП, у а(з!пс — ссозс) (рис. 121). Здесь а= с [231, б)], так что с(а =аСс. С другой стороны, хс-ассов с, ус=асяп с, ху+у]з-сРсз; сс - ас. с(с = ас 18.
отсюда Поэтому также получаем просто ~Ь В= — =ос=-МВ. Ж (г'+ исзгз)1 В .= г [СТ+ иР. гз-~-2иРгз-иРгз Таким образом, точка касания В (точка схода нити с крута) и будет центром кривизиы для траекторви ковца М вити. Геометрическим местом центров в яр и в и злы нашей кривой оказывается и ох о дный круг. [Здесь мы сталкиваемся с часппям осуществлевием одного факта, который в общем виде будет рассмотрен нами вюке, в 2%.] 5) Л о г а р и ф м и ч е с к а я с п и р а л си г = ае е (рис. 134).
Имеем ге сит, г[(= иРг. Подставляя это в формулу (76), найдем: 252] 1 5.КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 575 Но ге = сев гс ]233, 3)], так что выражение для Я можно написать в виде г 77=— з!л гр а тогда непосредственно из чертежа ясно, что полярный отрезок нормали лр - ЖЬУ. Следовательно, центром крввизны будет точка Ф; зто дает легкий способ построения центра крвввзвы для логарифмической спирали. 6) К а р д и о и д а: г = а(1+сов 6) (рис. 135).
Здесь г]= -дзщ В, г]1 = -а сок В. Легко подсчитатг„что В гз+ гв = 4ат созз —; 2 остается еще вычислить е геч-ггго=де(1+сок 6) 2а~ созз —, 2 а тогда, по формуле (7б), сразу получаем 4 6 Я= — асоз-. 3 2 Вспоминая ]233, 4)] выражение полярного отрезка нормали для кардяоиды, видам, что 2 Я= — лр. 3 7) Лемн иск ага: гз=2аесозг26 (рис. 126). Мы видели в 233, 5), что в этом случае а = 36+ —, так что Иа- ЗИВ.
Но то~да 2 по формуле (6) сразу получаем аз 1 ! — 1 2а' В= — = — 55- — ](~ 4:грч- — яр= — ° Да 3 3 3 Зг ' Так как нормаль к лемвискате мы строить умеем, то отсюда получается и способ построения центра кривизны. 8) П а р а б о л а: у'= 2рх. Пользуясь здесь методами дифферевдировавия веяввык функций, найдем последовательно уу;-у. Уу +ук'-О, откуда уу,"= -у'. Теперь, по 4юрмуле (7а), ( 4-Ухз) ]уа+(«Ух) ] (5а+Ф) у'4 у'у'1 -уз Вспоминая (231, 1)], что отрезок нормали я ](уз+уз, получаем лз я=- — —. уз хз уз 9) Эллипс я гипербола: — х — 1.
де Ьз Днффереицируем это равенспю дважды: х Уух Их — т — =О, откуда уу;- т —; аз Ьз дз -' Ьз Ь' (хз уз) Ь' «Ф= -Ух', ИЛИ Урух(- -- ~-я — ~ = — —. аз (аз Ьз~ аз 576 ГЛ. ЧП. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [252 Как и только что, отсюда э (Ь'х'Ф агу')з Я=в (у-б). а'Ь' Мы имели уже (231, 2)) для этого случая выражение отрезка нормали ~/Ь4х~+ду! я=. дг так что де д- лз Ь4 Известно, что как для эллипса, так и для гиперболы полупараметр р вырюкает- Ь* ся так: р †. Поэтому н здесь для л получается то же окончательное вырюкение, д что и для параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
