Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Деля одну на другую формулы (11), найдем: Йп 1 1 — = -с1яа=- — — = — —, ЙЕ 1яь Йу' Йх так что угловые коэффициенты касательных к эволюте и к эвольвенте обратны по величине и по знаку, а сами касательные — взаимно перпендикулярны. Итак: 1' Нормаль к эвольвенте слулсит (в центре кривизны) касательной к эволюте.
Возьмем семейство нормалей к эвольвенте; оно зависит от одного параметра (например, от того, которым определяется положение точки на данной кривой). Из доказанного ясно, что эволюта является о г и баю !и ей для этого семейства нормалей. Для упражнения предлагаем читателя убедиться в этом же другим путем: исходя из уравнения нормалей (Х- )х;+(1'-у)у;=О (где параметр ! содержится в х, у, х,', у',), методами и' 238 найти огибающую и установить ее совпадение с эволютой (10). Можно доказать также, что центр кривизны есть характеристическая точка на нормали, '! Напомним, что в и Зтвс входят в т о р и е проезводлыс.
3 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 583 т. е. предельное положение точки пересечения данной нормали с бесконечно близкой к ней. Перейдем теперь к рассмотрению дуги о на зволюте. Возводя равенства (11) в квадрат и складывая, найдем — с учетом формулы (11) 248 для дифференциала дуги— Сйз =ИР+ ИЗ)В=~ИЗ, откуда (12) или (ведь ~ИнО) Так как это отношение есть непрерывная функция от параметра, которая не может перескакивать от значения — 1 к значению +1 (не проходя промежуточных значений), то она па во ем участке равна одному из этих чисел.
Иными словами, в правой части равенства (12) на всем участке фигурирует один и тот же знак, плюс или минус. Знак этот зависит от выбора напра в лен ия для отсчета дуг на эволюте. Если выбрать его так, чтобы дуга о возрастала вместе с радиусом кривизны Я, то в формуле (12) нужно взять плюс; если же дуга о возрастает в том направлении, которому отвечает убывание Я, то будет минус.
Сделаем первое из этих допущений; тогда (13) с(Я=с(о, откуда К-о=с=соп51 и мы получаем, что 2' радиус кривизны разнится от дуги эволюты на величину постоянную. Таким образом, разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна дуге эволюты между соответствующими центрами кривизны. Отсюда, межлу прочим, вытекает любопытный способ спрямления дуги на эволюте. Доказанное свойство эволюты допускает изящное механическое истолкование. Для того, чтобы облегчить его изложение, допустим, что радиус кривизны А, который (не обращаясь в О) сохраняет на всем рассматриваемом участке один и тот же знак, будет везде положительным; этого можно добиться выбором надлежащего направления для отсчета дуг на эвольвеите. Далее, отсчитывая дугу на эвольвенте от той точки Р, которой отвечает наименьший радиус кривизны, будем иметь н о О. В этих условиях и постоянная с, фигурирующая в равенстве (13), также положительна.
534 ГЛ. ЧН ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЛ [255 Представим себе теперь, что на эволюту навернута гибкая нерастяжимая нить, от конца Д (рис. 1бЗ) к началу Р; она сходит с эволюты в начальной точке Р по касательной и обрывается на расстоянии с от Р в соответствующей точке А эвольвенты. Станем нить развертывать, сматывая с эволюты, но сохраняя ее » в натянутом состоянии. Пусть ДКМ будет произвольное ее положение; так как ЯМ больше РА=с как раз на длину дуги »у . РИ=о, то ХМ и есть радиус кривизны Я, т.
е. точка М л езкит на э в о льве н те. р' Итак: эвольвента может быть описана путем разворачивания нити, предварительно навернутой на эволюту*). Иначе можно скаРис. 163. зать, что эвольвента есть траек- торил точки А прямой АР, описываемая ею, когда прямая катитсч по эволюте без скольжения.
В заключение, выведем еще формулу для радиуса кривизн ы р э в о л ю т ы. Обозначив через [з угол, составленный касательной к эволюте с осью х, имеем, очевидно: (14) ф=а+--, так что ар=»[а. Поэтому [см. (13) и (14)) Н»»И»»з»И»И р= — =- — = — --=Я— »[р»[к с»а св»»в Нужно помнить, что эта формула предполагает, что о растет вместе с Я; в противном случае следовало бы в правой части поставить минус.
Если же считать, что о растет вместе с з, то формулу мок»но написать в виде (16) объединяя, таким образом, случай — О (Я возрастает вместе с з) »И »И ~Ь и случай О (Я убывает с возрастанием з). «) Отсюда, собственно, ведут свое происхождение и самые термины э в О- люта и э в одьвсита, означаюшие»развертка» и»развсртываюшав».
5 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2561 5К5 256. Разыскание эвольвевт. Мы видим, что каждая эвольвента может быть восстановлена по своей зволюте с помощью разворачивания навернутой на эволюту нити нли — что по существу то же — путем качения прямой по эволюте (без скольжения). Докажем теперь обратное утверждение: если нряАЗая катится (без скольжения) по данной кривой, то траектория любой ее точки служит для данной кривой эвольвентой.
(Таким образом, каждая кривая имеет бесчисленное множество эвольвент.] 5 Рис. 1бл. Пусть кривая РХ (рис. 164) задана парамстрически уравнениями С=У(1), )=У(1), причем 55 и Зу имеют непрерывные производные до в т о р о г о порядка; допустим также, что на рассматриваемом участке кривой нет кратных и вообще особых точек. Дугу а кривой будем отсчитъ1вать от точки Р. На касательной в точке Р, направленной в сторону возрастания дуг, возьмем произвольную точку А, расстояние которой от Р (с учетом знака) обозначим через с,и проследюи ее траекторию при качении прямой РА (без скольжения) по данной кривой. При новом положении прямой, когда точкой касания станет Х, точка Р перейдет в Ю, а А — в М; очевидно, Б1Ч =РХ=о, так что ХМ=-с-а, 586 гл.
чп. прилежания лиоевтинциального исчисиипия 12бб х=8+(с-о) сокр, у=т)+(с-о) 81пр. Эти уравнения и дают параметрическое представление искомой траектории. Дифференцируя их, найдем с(х=а1с — сов)3 ест — (с — о) ап 13 Ыф, Ну=й~ — аш 18 оп ч-(с — о) сов 13 с(р. Так как (см. 249 (15)] ос Ссар= —, Йт ' гйп ф= —, 4ч (18) то эти результаты упрощаются: с(х = -(с — и) 81п ф ~Щ Ыу =(с - о) сов р е1р. Исключим случаи, когда Иф=-0 или о = с *); тогда, разделив почленно эти формулы, получим 4т 1 18 а= — = — с18 р = — —. ак Ф~' сЧ Отсюда уже ясно, что касательные к обеим кривым взаимно перпендикулярны, так что данная кривая действительно является огибающей для семейства нормалей к построенной кривой, т. е.
ее эволютой. Значит, построенная кривая служит для данной эвольвентой, ч. и тр. д. Примером получения эвольвенты указанным путем может служить уже рассмотренная выше эво льве нта круга [225, 8); ср. 252, 4)). *) Им отвечатот особые точки иа построенной кривой. Если координаты точек тт" и М обозначить, соответственно, через (Я, т)) и (х, у), а угол между прямой Ятт' и осью х — через 13, то, проектируя отрезок ФМ на оси, нетрудно получить: ДОПОЛНЕНИЕ ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИИ ФУНКЦИЙ 257.
Случай функции одной переменной. Рассмотрим функцию г"(х), определенную в некотором (конечном или бесконечном) промежутке Е' илн — более обще — в области Ю, состоящей из конечного числа отдельньгх таких промежутков. Если функция у'(х) непрерывна в Х и имеет в этой области непрерывные зке производные до п-го порядка вкмочительно (пв 1), то говорят, что она в области л пр инадл еле ит классу Я".
Отметим при этом, что если конец какого-либо нз промежутков включен в его состав, то по отношению к этой точке имеются в вцду одно с то ро инне производные»). Пусть же функция Лх) в некоторой области К, не охватывающей всей числовой оси, принадлежит классу Яя (п=1, 2, 3, ...). Предположим, что в какой-либо области Х», налегаю щей на Е', существует функция )ж(х), тоже класса Я", которая в общей части областей л и К» совпадает с г'(х); тогда эта функция у'» осуществляетраспространвние функцииг над» с сохранением класса. Всегда ли возможно такое распространение функций на более широкую область? На этот вопрос отвечает следующая Теорема.
Любую функцию у (х) класса ЯЯ (п = 1, 2, 3, ...) в з а мк н у т о й **) области Х можно распространить на всю числовую ось Х»=( —, +-) с сохранением класса. Покажем, что здесь распространение осуществляется просто с помощью целых ми огочленов. С этой целью сделаем предварительно следующие замечания. Как мы видели в ЮЗ, многочлен и-й степени р(х) = с,—; — ", (х — я) о — "(х — а)к+... -> — '", (х-сс)ь в точке х=а, вместе со своими и производными, принимает, соот- ветственно, именно значения с, сд, сз, ..., ся.
») Или — по в данных условиях означает то же самое — предельные з н а ч е н и я для производных, при приближении к названному концу со стороны самого промежутка. »*) То есть состоящей из одного или нескольких з а м к н у т ы х промежутков вида [а, Ь], [а, + ), [-, Ь]. 5ВВ ДОПОЛНЕНИЕ Пусть, далее, требуется построить такой многочлен, который, удовлетворяя по-прежнему условиям, относящшися к точке х=з, кроме того, принимал бы, вместе со своими л производными, в некоторой другой точке х=р" наперед заданные значения а',с(„ 4, ..., Ы„. Возьмем искомый многочлен в виде р(х) + (х — к)'+' о(х), (2) где у(х) есть многочлен (1), а многочлен л-й степени д(х) еще подлежит определению. Как бы ни выбирать я(к), многочлен (2) в точке х=а во всяком случае удовлетворяет поставленным условиям. Продифференцируем многочлен (2) последовательно и раз и подставим в этот многочлен и его производные х=р'; приравняв полученные выражения, соответственно, И„Ыг, яз, ..., И„, мы придем к системе линейных уравнений относительно д(б), д'(Я, д"(ф),..., ф"~(ф), из которых эти значения последовательно и определятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
