Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Отсюда ясно, что как только для д в у х функций у от х выполняются равенства (13), то для двух с о от ве тс твующ их функшчй у от х выполняются аналогичные равенства. Точно так же — при наличии (13) — из неравенства (14) вытекает такое же неравенство для новых функций, ибо — в противном случае — обратное преобразование привело бы нас, взамен неравенства (14), тоже к равенству. Этим и завершается доказательство высказанного утверждения. 242.
Случай неявного задавив одной из кривых. Рассмотрим теперь случай, когда вторая кривая задана неявным уравнением 6(х, у)=0. (15) Пусть рассматриваемая точка Мо(хо, уо) не является для этой кривой о с о б о й, а именно пусть 6'(х„уо) м О. Тогда в окрестности этой точки уравнение (15) определяет однозначную фунхцию у =я(х), и для установления порядка касания могут быть использованы уже известные условия (13) (и (14)).
Но так как явного выражения функции «(х) в этом случае мы не имеем, то было бы удобнее выразить эти условия в такой форме, которая использовала бы лишь данную функцию 6. С этой целью вспоминаем, что значения функции «(х) и ее производных я'(х), и"(х), ..., я<")(х) последовательно и притом о д н оз н а ч н о определяются уравнением (15) и теми уравнениями, которые получаются из него дифференцированием по х, если под у разуметь и(х) (209): 6(х, и(х)) =- О, 6„'(х, и(х)) + 6'(х, «(х))я'(х) = О, 6~ + 26'„' .и'(х) —,'- 6"*(я'(х))т ч 6'К "(х) =- О.
6В)ч... т 6)у(п)(х) =О е), Поэтому, если (ири х=хо) в этих равенствах везде вместо «(хо), я'(хо),..., я~")(хо) подставить, соответственно, Яхо), у'(хо),, ут")(х,), то получатся условия 6(хо, Лх )) =О, 6;(хо, Лхо)) ч6;(хо, У(хо))Г(хо) =О, 6х' г 26хуЛ (ХО) + 6у'() (ХО)) ~ 6)Л (ЛО) 6ф ч-... е 6'ут")(х ) = О, которые совершенно равно сильны условиям (13). *) В каждом уРавнении подчерквута та именно величина, которая из него о д н о а н а ч н о определяетея, если уже определены нредшеетвуюшие ей величины. Это относится и к приводимой ниже системе уравнений, 554 Гл.
Рп. НРиложения диФФеРенциАльнОГО исчнслРния 1хвз Для того чтобы представить их в более обозримой форме, введем обозначение «б) Ф(х) 6(х, Дх)). Тогда условия эти перепишутся так." Ф(хо)=0, Ф'(хв)=0, ..., Фод(хо)=0. «7) Итак, при соблюдении условий «7) (в точке с абсуиссой х ) кривая «5) будет иметь с кривой у = у(х) касание порядка не ниже и. Йетрудно сообразить, что этот порядок ш очно и, если оьерх того Ф"+ь>(х ) и О. «8) 243. Соприкасающаяся кривая.
Предположим теперь, что вместо кривой «5) нам дано семейство кривых с ЛФ1 параметрами о+г во*,ь., ь.. О о. «9) Теперь естественно поставить вопрос, можно ли, распоряжаясь зна- чениями параметров, выбрать из этого семейства такую кривую, которая с данной кривой у = г(х) в определенной ее точке Мв(хв, г"(хо)) имела бы наивысший возможный (для данного семейства) порядок касания. Подобная кривая и носит название соприкасающейся к данной кривойв точке М .
[Точнее было бы сказать: с о прил а с а- ющей ся кривой из такого-то семейства, ибо для отдельно взятой кривой «5) этот термин не имеет смысла.] Для разыскания соприкасающейся кривой введем обозначение, аналогичное «6): Ф(х, а, Ь, ..., 1)=6(х„Лх), а, Ь,..., 1), и напишем ряд условий, вроде «7): Ф(х„а, Ь,..., 1)=0, Ф„'(хв, а, Б, ' 1)=0 ° ..., Ф~">(х„а, Ь, ..., 1) =0. Мы имеем здесь систему из ЛФ1 уравнений с и+1 не- известнымии а, Ь, ..., 1. Обычно зта система однозначно опреде- ляет систему значений параметров, и таким путем находится с о- прикасающаяся кривая, имеющая порядок касания не ниже и. При этом обычно оказывается, что так что порядок т очи о равен и, Такое положение вещей (при ЛФ1 параметрах) считается нормальным. В тех же исключительных точках, где дополнительно выполняется и равенство Ф'„Ф'(хв, а, Ь, ..., 1)=0, (21) 1 3.
КАСАНИЕ КРИВЫХ МЕЖДУ СОБОЙ 555 говорят о пере соирикасании. Эти точки можно найти, если равенства (20) и (21) вместе рассматривать как систему из и+2 уравнений с и+2 неизвестными х, а, Ъ, ..., 1. П р и м е р ы. 1) Соприкасающаяся прямах. Семейство прямых выражается уравнением ,Р— ах.). Ь с д в у м я параметрами. Поэтому наибольший порядок касания, который удается установить в общем случае, будет первый. Здесь имеем: Ф(х, а, Ы=у — ах-Ь, Ф„'(х, а, Ь)=у'-а, Ф„':(х, а, Ы=у", у,-а,— Ь-О, у; — а=О. Отсюда а=у« и Ь=уо — у«хо.
Подставляя эти значения в уравнение прямой, придем к уравнению Р = У«+у«(х хо), в котором читатель без труда узнает уравнение касательной. Итак, соприкасающейся прямой является касательная. Порядок касания, вообще говоря, как указывалось, будет первый. Он повышаетоя в тех отдельных точках, где выполняется дополнительное условие уо' = О (например, в точках перехиба). 2) Соприкасающийся круг «). Семейство окруююстей выражается уравнением (Х вЂ” До+ (Р— О)о = Яо с т рема параметрами 1, и и Я. Наивысший порядок касания во обще будет второй.
Так как здесь, если снова под у разуметь у(х), Ф(х, б, си Я)=(х-3«-Ь(У вЂ” в)о-Яо, 1 — Ф1(х, 1, ч, й)=х — $~-(у-ч)у', 2 1 — ФЯХ, 1, св Я)=1~-уо~-(у-Ч)у", 2 то параметры определяются из уравнений (хо-3*+(Уо-о))*= 11' хо С+(Уо о))уо 1+У+(ъ-ч)УГ-о. Из двух последних (в предположении, что у" ив) находим координаты центра: ,1+Ус 1+Уо С=хо Уо — „Ч=уо+ Уо Уо (22) «) В этом контексте слово к р у г привычным образом употребляется в смысле о к р у ж н о с т ь. если под у разуметь у(х). Отмечая вуликами значевия у, у', У", отвечающие выбранному значению х = хо, для определения параметров а и Ь получим уравнения 556 Гл.
чдд. приложения диФФеренциальнОГО исчисления 1244 а тогда вз первого получится радиус (1+усе> ! уо'! (гз> По этим элементам н устанавллвается с о при к ас аю щ н йся круг. По сказанному в и' 241, как правило, касательная не пересекает крнвой, а соприкасающийся круг, наоборот, пересекает ее. Искпюченне может представиться лишь в точках, где порядок касання и о в ы ш а е т с я против нормального. 244. Другои подход к сопрвкасающвмси кривым.
Пусть даны кривая у=у(х) и семейство кривых (19) с и+1 параметрами. Возьмем на кривой произвольные и+1 точек с абсциссами хд, хя, ..., х,+д. Для того чтобы кривая семейства через эти точки проходила, должны выполняться и Ф 1 условий: Ф(хд, а, Ь, ..., 1) =О, Ф(х, а, Ь„..., 1)=0,... ..., Ф(х„дд, а, Ь, ..., 1)=0. Ф(х, а, Ь, ..., 1) обращается в 0 для и41 значений х: х, -х ... кх„+д.
Тогда, по теореме Ролла [11Ц, первая производная обратится в 0 для и значений хд«хк ... х„', вторая — для и — 1 значений: х,". хя ....х'„' д, ... ..., (и — 1)-я — для двух значений: х1" д> «х1" '> и, наконец, и-я для некоторого значения хдш>; при этом все упомянутые значения лежат между хд и х„+д. Таким образом, имеет месго и+ 1 равенств: Ф(хд, а, Ь, ..., 1)=0, Ф„'(хд, а, Ь,..., 1)=0, Ф„",(х,", а, Ь, ..., 1)=0,..., Ф<й>(хдд">, а, Ь,..., 1)=0. Еслитеперь одновременно хд х„хя хо,..., х„ьд хо, то д а, Ь Ь, ... ..., 1 1 н, очевидно, также хд х„хд х„..., х1"> х,. Переходя к пределу в написанных выше равенствах, мы вернемся к уже знакомой нам системе (20), определявшей соприкасающуюся кривую. Обычно отсюда значения параметров определяются однозначно; обозначим их через а, Ь,..., 1. Предположим теперь, что когда взятые и+ 1 точек по произвольному закону стремятся к некоторой определенной точке кривой с абсциссой х, то и значения параметров а, Ь, ..., 1 стремятся к определенным пределам а, Ь, ..., 1.
Можно считать, что проходящая через упомянутые точки кривая семейства, перемещаясь илн деформируясь, стремится к предельной кривой. Для того чтобы ее найти, станем рассуждать так. Функцдгя от х $ Я. ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 557 2451 Итак, если существует предельное положение для кривой семейства, проходящей через п+ 1 точек данной кривой, то зта пр е д е л ьная кривая и будет с о пр ика с ающей ся. В связи с этим иногда говорят (не слишком строго, но образно), что соприкасающаяся кривая — из семейства с п+ 1 параметрами— есть «кривая, проходящая через и+ 1 бесконечно близких точек» данной кривой. В частности, касательная проходит через д в е бесконечно близкие точки кривой, а соприкасающийся круг — через т ри. з 4.
Длина плоской кривой в) 245. Леммы. Рассмотрим (незамкнутую или замкнутую) плоскую кривую АВ, заданную параметрически уравнениями: =Иг), ) = р(г), (1) (Ге 7 Т) где функции 7| и «р здесь пока предполагаются лишь н е п р е р ы в- ными. Пусть кратных точек на кривой нет, так что каждая точка получается лишь цри одном значении параметра | (за исключением — если кривая замкнута — совпадающих концов кривой) *«). При этих предположениях кривую будем называть непрерывной простой кривой. Имея в вцду установить для такой кривой понятие д л и н ы, мы начнем с некоторых вспомогательных предложений.
Пустые Т, и значениям параметра |' и |" отвечают точки М' и М". Лемма 1. Для любого 6- О найдется такое т) ~О, что при .т) длина хорды М'М". д. Действительно, ввиду (равномерной) непрерывности функций |р и «р из (1), по д найдется такое |1=0, что при ~ |" — |' ~ .т) будет одно- временно !'у(|") -у(7'И )/2 ' !у(по)-Ф')~- —, У2 а тем самым М'М" =)г(у(г")-у(Р))зо(ФР')-у(|'))з д Имеет место также Лемма 2. В случае незамкнутой кривой для любого е О существует такое д О, что лишь только длина хорды М'М" 6, тотчас же разносты" — т' значений параметра, соответсп|вующих ее концам, будет е.
«) Хотя этот вопрос по существу относится к и н т е г р а л ь н о м у исчислевню, но мы в некоторой части начинаем его изложение уже здесь, так как в следующем 1 нам понадобятся н понятие длины дуги кривой и его свойства. Самое в ы чи ел си не длины дуги кривой мы откладываем до второго тома. ««) См.
сноску на стр. 505. 558 гл, шь пеиложвния диеевевппипльного исчисления [246 Допустим противное„тогда для н е к о т о р о г о е =.О, при л юб о м д О, найдутся такие две точки М'(Р) и М"(Р'), что М'М" < 6 и в то же время Р' — Р-е. Взяв последовательность (д„), сходящуюся к О, и полагая поочередно д =б„(я=1, 2, 3, ...), придем к двум последовательностям точек (М,(г„)) и (М„"(зп')), для которых М»Мп'=дп но»„"-з„'~е (н=1, 2, 3, ...). По лемме Боль пан о — В ей ерш трасса [4Ц без умаления общности, можно предположить, что при этом З' »и З" »пп п ~ и (этого легко добиться, переходя — в случае надобности — к частич- ным последовательностям).
Очевидно „ так что зп ы зпп. В то же время для соответствующих точек М* и Мпп имеем М»М*'=О, т. е. эти точки должны совпасть, что невозможно, так как кривая не имеет кратных точек и не замкнута. Полученное противоречие завершает доказательство. Для замкнутой кривой утверждение леммы оказывается неверным: хорда М'М" может быть сколь угодно малой н при достаточной близости Р к гп, а Р' к Т. 246. Направление иа кривой. Будем считать, что точка А отвечает значению параметра г =ге, а точка  — значению г= Т, и назы- ватьА начальной, а  — конечной точкой кривой.
Вообще, расположим точки Мкрнвой по возрастанию параметра О т. е. из двух отличных от А и В точек ту будем считать следующей, которая отвечает большему значению параметра. Таким образом определяется и н а п р а в л е н и е на хривой». Однако, формально это определение поставлено в зависимость от ч а с т н о г о параметрического представления (1). Покажем, что на деле понятие н а п р а в л е н и я на кривой не зависит от конкретного способа задания кривой. Начнем с более простого случая не з ам к путо й кривой. Если незамкнутая кривая АВ, наряду с представлением (1), имеет и представление (также без кратных точек) х =у*(и), у =»уп(и), (и ~и~У) где 1бункиии е»п и»уп по-прежнему непрерывны, и значению и=и отвечает точка А, а значению и=У вЂ” точка В, то оба представления определяют на кривой одно и то же направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
