Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Если ограниченное замкнутое множество ой' точек плоскости покрывается бесконечно й системой ~* =[о) открытых областей, то из нее всегда можно выделить к о н е ч н у и подсистему .г,'е=(о„оа,..., ае) которая также покрывает все множество олг. Доказательство (от противного). Допустим, что множество ОЖ не может быть покрыто к о н е ч н ы м числом областей а из ~. Ввилу ограниченности множествааз2, оно содержится в некотором прямоугольнике [а, Ь„с, тт).
Разделив каждый из двух промежутков [а, Ь) и [с, а) пополам, мы разложим этот прямоугольник, как и при доказательстве леммы Боль цано — Вейерштрасса [172ь на четыре прямоугольника. Вместе с тем и множество ой разложится на части, содержащиеся соответственно в этих частичных прямоугольниках; частей, впрочем, может оказаться и меньше четырех, если какой-либо прямоугольник не содержит вовсе точек множества олГ.
Хоть одна из этих частей (скажем, ест), в свою очередь, не может быть покрыта ко печным числом областей и (ибо в противном случае все множество азе, вопреки предположению, было бы покрыто к о н е ч н ы м числом областей о). Тот из частичных прямоугольников, который содержит именно часть оке т множества эта, обозначим через [а„Ь,; с„ттт1 ч) Эти частичные области метут иметь общими июнь пограничные точки. 373 1761 » х пап»в»в»вныв и нкции Этот прямоугольник снова разложим на четыре прямоугольника. Хотя бы один из них — обозначим его через [а, Ь»; с,, »(»1 — содержит часть а4У» множества аХ, которая не может быть покрыта к о н е чн ы м числом областей а. Продолжая этот процесс до бесконечности, на 1с-й стадии его мы придем к прямоугольнику [а», Ь», 'с», »»»[, содержащему такую часть а.»»» множества ай, которая не может быть покрыта к о н е ч н ы м числом областей а, Как и в 172, мы заключим отсюда, что прямоугольники [а», Ь„; с», И»1»стягиваются» в точку (х, у), так что 1ип с» = 1пп Ы».= у.
1ци а» = 1ци Ь» = х, Эта точка М(х, у) принадлежит множеству аэ». Действительно, какую бы окрестность (х — Ь, х+ Ь; у — Ь, у+ Ь) точки М ни взять, для достаточно больших 1с будет х — Ь -а»=Ь» .х+Ь, у-Ь-.с». 4,=у-~-Ь, так что в упомянутую окрестность попадает часть о»Г» множества ай (по самому выбору ее, наверное содержащая бесконечное множество точек). Следовательно, точка М является точкой сгущения для множества о»» и должна ему принадлежать, ввиду его замкнутости. В таком случае, точка М содержится в одной из областей а, скажем, в а», Так как а есть о т крытая область, то в нее входит и некоторая окрестность (х — Ь, х+ Ь, у — Ь, у+Ь) этой точки. Как и только что, легко показать, что в эту окрестность целиком попадет, при достаточно большом к, прямоугольник [а», Ь», с», »Я, а с нвм — и содержащаяся вием часть а~» множества а»г.
Таким образом, все множество а»»» покрывается одной областью а„, между тем как выбирали его мы так, чтобы оно не могло быть покрыто никаким конечным числом областей о. Полученное противоречие и доказывает лемму. В тех применениях леммы Б о р е л я, которые читатель найдет в следующем п' и в других частях курса, в качестве множества о»е будет фигурировать обыкновенно з ам к путая о б л а с т ь. Но иной раз придется применять ее и к другим замкнутым множествам, например, к непрерывной кривой. 17б.
Новые доказательства основных теорем. 1' 1-я т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а. Функция У(х, у) предположена непрерывной в ограниченной замкнутой области сс. Следовательно, каждую точку 374 гл. ж екнкцни нескольких пкевмвнных 1ттб (х', у') этой области можно окружить такой окрестностью о', что в ее пределах (если через е обозначено наперед взятое число) ~Ях, у) — Лх', у') ! .«е 7(х', у') — е «Лх, у) . Лх', у') бе. Таким образом, в области о' функция оказывается о г р ан ич е ни о й. Применяя лемму Б о р е л я к системе ~ =(о') этих окрестностей, можно выделить из ~ к о н е ч н о е число окрестностей о, оз, ..., о„, которые в совокупности покрывают всю область й.
Если т;~Ях,у)~М; в о; (1=1, 2, ..., л), то, взяв в качестве т наименьшее из ш„а в качестве М вЂ” наибольшее из М;, будем иметь в ® т Дх, у)~М, ч. н тр. д. 2' Т е о р е м а К а н т о р а. Задавшись произвольным числом е = О, каждую точку (х', у') окружим такой окрестностью о'=(х'-6', х'+д', у'-д', у'+б'), что для любой принадлежащей ей точки (х, у) (из й)) будет (1(х, у)-7'(х', у')! Если (хе, уе) есть другая подобная же точка, так что и !Х(х У ) У(~ МЛ -2 то в результате ~Ях, ») -Ях„уе) ~ (9) Заменим каждый прямоугольник о' вчетверо меньшим прямоугольником, с тем же центром, д, д, д, д1 Система ~ =(о') этих открытых прямоугольников покрывает область й.
По лемме Б о реля, из нее выделяем конечную систему прямоугольников д~ д; 4 дй о=~х — —, х+ — ' у — —, у+ — '~ 2' ' 2' ' 2' ' 2) с тем же свойством. Наконец, обозначим через 6 наименьшее из всех бчисел — . 2' Пусть (х, у) и (хе, уе) — любые две точки области гл, для которых ~х-хе( Ь, ~у-у ! д, (10) 1771 375 Ф к пвовзводныв и днеевгищнолы Точка (х„у ) принадлежит одной из окрестностей о;, например, окрестности так что дь дь !хо — ~--» ~уо-у 1--- Из (10), так как д~ — ', следует, что !х — х / — ' и /у — уо/ дь фа дь Отсюда (х-хь~ дь, (у-уч( д,„ и точки (х, у), (х„уо) обе оказываются лежащими в одной из п е р в он а ч а л ь н о определенных окрестностей (х, — д;„ха+ д;.; уь — дь, уь ь дь), а тогда, по доказанному, для них выполняется (9).
Итак, удалось по о~О выбрать д О независимо от положения точки (хо, уо), чем и доказано, что функция Ях, у) р а в и омерно непрерывна. й 3. Производные и дифференциалы функций иеекольквк переменяык 177. Частные производные и частные дифференциалы. Для упрогцения записи и изложения мы ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Итак, пусть в некоторой (открытой) области й имеем функцию и=Ах, у, к); возьмем точку Мо(хо, уо» ко) в этой области. Если мы припишем у и к постоянные значения уо и зо и будем изменять х, то и и будет функцией от одной переменной х (в окрестности х ); можно поставить вопрос о вьгшслении ее производной в точке х=хо. Продадим этому значению х, приращение х)х, тогда функция получит приращение )хо=АУ(хо» уо» ко) =Х(хо~-«х, уо» ко) -Х(хо» уо» ко)» которое можно было бы назвать ее частным приращением (по х), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел х»хи, баххх х1х уо хо) Лха»уа хо) йш — = 1пп хх-о ')х хх-о Лх Эта производная называется частной производной функции 1(х, у, к) ло хеточке(хо уо ко) (177 гл. ч.
азнкции нескольких пненмпнных Как видим, в этом определении не все координаты равноправны, так как у, и го наперед фиксированы, а х меняется, стремясь к х . Частную производную обозначают одним из символов: ди дЛхо уо. яо) ') . — их Хх(хоо Уоо го)' ""'хи ОхХ(хо* Уоо го). Заметим, что буква х внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точке (х, у„го) мы производную вычисляем о*). Аналогично, считал х и г постоянными, а у переменным, можно рассматривать предел '(уи й Лхо уо Е4у.
хо) Лхо уо. го) иг о хгу яу о У г( Предел этот называется частной производной функции У(х, у, г) по у в точке (ха, уо, г,) и обозначается символами, аналогичными предьщуппгм: Уу(хо Уоо го)) '~~уио ЙуАхо Уа го). ди др(хо*ух яо). ду ду Точно так же определяется и частная производная функции Лх, у, г) по г в точке (хо, уо, го). Самое вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. примеры.
1) пусть и=ху (х О); частные пронзводные этой функции будут: ди, ди — у хУ г, — =хУ ° Ьгх. д ' ду Первая нз ннк вычнсляетса как производная степенной функции от х (прн у = сопзГ), а вторая — как производная показательной функция от у (прн х = сопзб. х 2) Если и-агсгв —, то У ди у ди х дх хо+у' ду хо+у' о) Я к о б н (С. О. )асоЬг) предложил пользоваться круглым д (вместо прямого а) в обозначи~ии нменно ч а с т н о й производной. оо) И здесь цельные символы ду — У'. )Уху дх монна рассматривать как функциональные обозначения для частной производной по х. Подобных првмечаннй впредь мы повторать уже не станем.
377 1771 1 3. ПРОИЗВОДНЫВ И ДИФФНРРНЦИАЛЫ Х 3) Для и=- имеем хе+ уз+ хз ди уз-~-кз-хз ди -2ху ди — 2хх дх (ха+уз+за)з ' ду (хе о уз+ге)" дк (ха+уз+кз)з 4) Пусть к=у )(хз-уа), где г"(и) — и р о и з в о л ь н а я функция (имеющая производную), Показать, что для х всегда выполняется соотношение: дз — = у(хз — у') — 2у'1"'(хз - у'), ду и отсюда 1 д* 1 дк 1 х — — + — — -2у у'(хз-уа)+ — 1'(хз -у') - 2У у'(хз -)а) - †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
