Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ЧитаУ .. ;.' тель видит, однако, насколько ® " :.-" усложняется картина при переходе к и-мерным (прн л 2) образам. Простым и однотипным промежуткам, границей которых служат всего лишь две точки, здесь противопоставляется огромное многообразие «областей» со сложными «границами». Все изложенное в последних пп' можно рассматривать как установление лишь некоего геометрического языка; с этим не связано (при л 3) никаких реальных геометрических представлений. Однако полезно подчеркнуть, что на деле и-мерное арифметическое пространство является лишь первым шагом к тем в высшей степени плодотворным обобщениям понятия пространства, которые лежат в основе многих более высоких частей современного анализа *).
Рис. 96 164. Фуикции и переменных. Пусть имеем и переменных х„хк, ... ..., х„, совместные значения которых могут выбираться произвольно из некоторого множества ам' точек л-мерного пространства: этн переменные называются н е з а в н с н м ы м н. Определение функции н все сказанное по поводу него для случая двух независимых переменных [160) непосредственно переносится и на рассматриваемый случай, так что нет надобности на этом останавливаться. Если точку (хг, ха,...„Ха) обозначить через М, то функцию и= =у (х„х„..., хе) от этих переменных иногда называют ф у н к ц и е й точки М и обозначают тем же знаком: И=ЛМ).
") Мы помещали и кавычках все геометрические термины, которые употреблялись а смысле, отличном от обычного: «точка», «раестояиие», «область», и т. п. Впредь мы »того делать уже ие будем. 164! 1 1. ОСНОВНЫН ПОНЯТИЯ 353 Предположим теперь, что в некотором множестве й точек Н2-мерного пространства (где т не связано с л) заданы и функций от лз переменных 1„1„..., 1 Х1 Ч~1(!1~ 12~ . ~т)* э Хп !Ра(!1~ 12 ~ 1т) (5) илн, короче, Х1 ='~1(Р) и ='г (Р) (5а) где Р означает точку (1„1„..., 1,„) л2-мерного пространства. Допустим, сверх того, что когда точка Р(11, г„..., г ) изменяется в пределах множества зг, соответствующая ей и-мерная точка М, с координатами (5) (нли (5а)), не выходит за пределы л-мерного множества нас, где определена функция И=Яхт, хз,..., Х„) =у(М).
Тогда переменную и можно рассматривать как с л о ж н у ю ф у нкцию от независимых переменных 2„!2,...,1 (в множестве ч)— через посредство переменных х„...,х„: И=У(221(г„г„..., 1 ), ..., Р.(1„!2, ..., 1„)); и является функцией от функций 51„...,!)1„. (Ср. 511 Самый процесс определенна сложной функции по функциям <р„... ...,22„и функции у называется (как в простейшем случае функций одной переменной) — с у не р по зи ц и ей. Класс функций нескольких переменных, с которыми непосредственно приходится иметь дело на первых порах, очень невелик.
По существу, он строится с помощью суперпозиций на элементарных фунхдиях о д н о й переменной 148, ЯЦ и на следующих функциях двух переменив!к: х з=хху, к=ху, 2=- и к=ху, У т. е. на четырех арифметических операциях и на так называемой степенно-показательной функции. Арифметические операции, повторно примененные, исходя из независимых переменных х„х, ..., Х„и постоянных, приводят прежде всего к целым многочленам е): Р(х„хз, ..., х„) = ~ Сн „, мх",'х",'... х„"" (целая р а ци о н альп ая функция) ик частнымдвухтакихмногочленов н 2;с„, „„.....Х1'Ха'" Ха" 2СИ,!Ч,...ОЫХР4' "Хаа (дробная рациональная функция).
") Мы знаем, что знак ~ означает сумму однотипных слагаемых. Здесь мы имеем более сложный случай, когда слагаемые зависят от нескольких значков. 21 Г. М. Фачснаольж т, ! 354 Пи гл. ч. е нкции нескольких пегвмвнных Привлечение элементарных функций одной переменной приводит к таким, например, функвдям: Л ) Ьх (х+у-Ь а) )ха+ух.~.аа' у(х, у, г, ~)=в1п ху+ь(п укэвш кг+з1п гх, и т~ п. Те замечания, которые были сделаны в 46 по поводу аналитического задания функций одной переменной, могут быть повторены и здесь.
165. Предел функции нескольких переменных. Предположим, что функция Дх„..., х ) определена в некотором точечном множестве оФ, допускающем точку сгущения Мь(аы аь, ..., а,). Аналогично определению предела функции от одной переменной, говорят, что хрункчин г(хы..., х„) имеет пределом число А яр и стремлении переменных хд,...,х„, соответственно, к а„,..., а„, если для каждого числа в -О найдется такое число д -О, что ~у'(х„,..., х„) — А! в, лишь только )х,-а,! «д,..., (х„-а„) д. При этом точка (х„...,х„) предполагается взятой нз ель и отличной от (а, ..., а„).
Итак, неравенство для функции должно выполняться во всех точках множества овь, лежшдих в достаточно малой окрестности (аг-д, а,+д; ...; а„— д, а„+д) точки Ма, но исключая саму эту точку (если она принадлежит оак). Обозначают предел функции так: А = )пп,У'(х„..., х„). х, а1 х а В геометрических терминах, вводя для точек (х„..., х„) и (а„... ..., а„) обозначения М и М, можно было бы перефразировать приведенное определение так: число А называется пределом функуии ЯМ) при стремлении точки М к Мь (или — в точке Ма), если для каждого числа е. О существует такое число г. О, что У(М)-А~ г, лишь только расстояние МаМ. г.
Как и выше, точка М предполагается взятой изб, но отличной от Ма. Таким образом, неравенство для функции должно выполняться 1651 Ь 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 355 во всех точках множества а4К, лежащих в достаточно малой сф ерическ ой окрестности точки Ма, за исключением самой этой точки. Обозначение предела функции также можно приспособить к этому определению: А = йш ЛМ).
м-м, (6*) Из замечания и' 161 об окрестностях разных типов непосредственно ясна тождественность обоих приведенных определений. Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае А= ь или — -, неравенство 1Яхг,...,х„) — А!. е лишь заменяется, соответственно, неравенством вида Лх„..., х„)» Е у'(хг, ...,х„) — Е, или (Дхг, х,..., х„) -А ~ «е, х, .Л, х,.
А, ...,х„.»А А = 1пп г"(х„..., х„). лшиь только В обозначениях: к, + к + В частности, возвращаясь к переменной х „, о которой была речь в конце и' 160, говорят, что эта переменная при безграничнолг *) В этом случае точка Ма называстса несобственно ». где Е есть произвольное наперед взятое положительное число. Упомянем в заключение о случае, когда некоторые из н е з а в ис им ы х п е р е м е н н ы х х„..., х„стремятся к бесконечным пределам.
Можно было бы распространить понятие точки сгущения М (а„..., а,) области овб и на тот случай, когда все координаты этой точки (или некоторые из них) бесконечны*). Например, точка ( ',..., + ) является длясь пгочкой сгущения, если в этой области найдутся точки со сколь угодно большими (положительными) координатами. В этом предположении, говорят, что ьвункуия Дх„..., х~ имеет пределом число А при стремлении всех переменных х„х,..., х„к .. -, если для каждого числа е. О существует такое число А=.О, что 356 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 11ее возрастании обоих номеров т и и имеет нределом А, если для каледого е О найдется такой номер Ф, что (х „-А( е при т Х,п -Ж. Записывают это так: А = 1пп х „ нли просто А =1пп х м.
+ и + Легко понять, как трактуется случай, когда А= л- или— 166. Сведбние к случаю варианты. Рассмотрим в н-мерном пространстве по следо вательн ость точек (Ме(х1"1, ..., х~">)) ((с=1, 2, ...). Мы будем говорить, что эта последовательность сходится к п р едельной точке Мв(а„...,а„), если, при 1с +-, расстояние (7) Вместо этого можно быпо бы потребовать, чтобы координаты точки Ме и о р о з н ь стремились к соответствующим координатам точки М, т. е. чтобы было (8) Равносильность обоих определений, собственно, вытекает из доказанного в 161 утверждения об окреспюстях двух типов.
Действительно, условие (7) означает, что, каково бы ни было число г О, точка М„при достаточно большом )е удовлетворяет неравенству Маме«г, т. е. попадает в (открытую) сферу радиуса г с центром в точке М; требование же (8) имеет тот смысл, что, каково бы ни было число д -О, названная точка — снова при достаточно большом к — удовлетворяет неравенствам )х~ю-а,~ д, ..., )х1в1-а„~ д, т. е. содержится в (открытом) параллелепипеде (а,-д, а,+д; ..., а„-д, а„ч д) с центром в той же точке.
Пусть теперь точка М(а„...,а,) является точкой сгущен и я некоторого множества ФЕК в и-мерном пространстве. Тогда из иег всегда можно извлечь такую последовательность отличных от Мв точек: (М„), которая сходилась бы к Ме, как к предельной точке. 166) 357 Ь Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Для доказательства зададимся положительной вариантой г„О. По определению точки сгущения (162], в каждой сферической окрестности точки М, радиуса г„, найдется (отличная от Мь) точка М» множества аль'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
