Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Этот процесс последовательного дробления прямоугольников мы представляем себе продолжающимся до бесконечности. На /с-й стадии его мы выберем прямоугольник [а», Ь»', с», а|»[ под условием, что в нем содержится бесконечное множество точек М,. Измерения этого прямоугольника Ь-а Ь» — а»= --„--, ~-с «[» с»= 1» 1пп а»=йтЬ»=х и !Ип с»=!Пп «[»=у. (6) Можно сказать, что последовательность прямоугольников [[а», Ь»', с», ЫД «стягивается» в точку М[х, у).
Теперь, взяв в качестве М„, любую точку нашей последовательности, попадающую в прямоугольник [а„ Ьт; с„ с[«),мы станем затем поочередно выделять точки М„„ Ма,, ..., выбирая — в общем случае — в качестве М.,(х„, у„,) любую точку последовательности, с л едующую з а ранее выбранными и содержащуюся в»с-м прямоугольнике [а»„Ь„; с», с[»). Это сделать можно именно потому, что каждый из прямоугольников содержит бесконечное множествоо точек М„.
Так как а» ~ х„» ~ Ь» и с».ау,„я; Й», то, ввиду (6), 1!ш х„,=х, [пп у»»=У так что выделенная частичная последовательность [М„,) сходится к точке М(х„у), как к предельной [166ь П-е доказательство. Проще, однако, поступить иначе, использовав теорему, уже доказанную в 41 для случая линейной после- стремятся к О при [с + -. Применим теперь в отдельности к последовательности промежутков ([а», ЬД значений х и к последовательности промежутков [[с», «Ц) значений у лемму о вложенных промежутках [38). Из нее следует, что концы промежутков а» и Ь», а также с» и 4, стремятся, соответственно, к общим пределам: туз1 » 3.
НБПРБРЫННЫБ ФУНКЦИИ довательности. Если точки нашей последовательности содержатся в конечном прямоугольнике [а, Ь; с, »1), то а~хл~д, с-уайет( (для п =1, 2, 3,...). Применив теорему п' 41 сначала к последовательности (х„), выделим частичную последовательность (х„), сходящуюся к некоторому пределу х. Таким образом, для частичной последовательности точек (Хл, ул,)» (канул,)» ° ° ° » (~л» ул»)» ° ° .
первые координаты уже имеют предел. Вторично применим упомянутую теорему к последовательности вторых координат (у„) и выделим такую частичную последовательность (ула ), которая тоже стремится к некоторому пределу у. Тогда, очевидно, частичная последовательность точек (хл,ул„), (хл„,у „), ...,(Хл,ул„), будет стремиться к предельной точке (х, у). Заметим и здесь, что оба рассуждения легко переносятся на случай пространства и 2 измерений. В первом из них, например, изменяется только число частей, иа которые распадается заданная прямоугольная область„если разделить пополам каждый из определяющих ее промежутков; в общем случае этих промежутков будет и, а частей — всего 2". 173.
Теоремы Вейерштрасса. С помощью доказанной теоремы прежде всего может быть установлена для функций двух переменных 1-я теорема Вейе рштр асса: Теорема. Если функция Ях, у) определена и непрерывна в о гр аниченной замкнутой области ел1»), то функция ограничена, т. е. все ее значения содержатся между двумя конечными границами: т~Дх, у)~М. Доказательство (от противного) вполне аналогично рассуждению п' 84. Пусть функция Лх, у) при изменении (х, у) в ф оказывается неограниченной.
Тогда для любого и найдется в Я1 такая точка М,(х„ул)„что (Дх„, ул) ~ и. (7) По теореме п' 172, из ограниченной последовательности (Мл) можно извлечь частичную последовательность (М„„), сходящуюся к предельной точке М(х, у). *) Которая, на этот раз, монет быть н несвязной.
3» Г. М. Фл»т»нтольл, т. ! Зтс гл. ж синицин нескольких пвевьгянных (174 Отметим, что эта точка М необходимо принадлежит области ®. Действительно, в противном случае точки М„„все были бы от нее отличны, и точка М была бы точкой сгущения области Ф, ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости области .л [см. 163]. Вследствие непрерывности функции в точке М должно быть У(М,„) =Ях„„у„) У(М) =Лх, у), а это находится в противоречии с (7). 2-я теорема В ейерш трасса формулируется и доказывается (с ссылкой на предыдущую теорему) совершенно так же„как и в 85. Заметим, что без существенных изменений в рассуждениях — обе теоремы В ей ерштра сса переносятся и на случай, когда ф ункция непрерывна в любом ограниченном замкнутом множестве вле (хотя бы и непредставляющемсобою области).
Как и в случае функции одной переменной, для функции Лх,у), определенной и ограниченной в множествевлК,разностьмежду точными верхней и нижней границами значений функции в ого называется ее колебанием в этом множестве. Еслиовв ограничено и замкнуто (в частности, если овв" есть ограниченная замкнутая область), и функция у' в нем непрерывна, то колебание есть попросту разность между наибольшим и наименьшим ее значениями. 174, Равномерная непрерывность. Мы знаем, что непрерывность функцииу(х,у) в определенной точке (х,у,) множестваавк, где функция задана, на лязыке е-Ь выражается так: по любому в -0 должно найтись такое б -О, что неравенство ~у'(х, у) -)'(хв, ув) ) .
в выполняется для всякой точки (х, у) из ой~, лишь только 1х хв! б !у уо! Пусть теперь функция Лх,у) непрерывна во всем множес т в е вег.'; тогда возникает вопрос, можно лн по данному в О, найти такое 6»0, которое годилось бы — в указанном смысле — для в с е х точек (хв, ув) из оФ' о д н о в р е м е н н о. Если это возможно (при любом в), то говорят, что функция в олУ равномерно лепр ер ы в н а. Теорелва Кантора. Если функция у(х, у) непрерывна в о грании енн о й замкнутой облаетиЗ,тоонабудет и равномерно непрерывна в Л.
Доказательство поведем от противного. Допустим, что для некоторого числае 0 не существует числа 6 -О, которое годилось бы одновременно для всех точек (х, ув) области 9. З72 174) $ а напРНРывныв Функции Возьмем последовательность стремящихся к 0 положительных чисел дз дв дл .. О, д» -0 Так как ии одно из чисел д„не может годиться — в указанном смысле— одновременно для всех точек (хв,у) области »11, то для каждого 6„ найдется в ед такая конкретная точка (хл,у„), для которой д не годится. Это значит, что существует в ФЛ точка (х„',у,'), для которой ~х„— х„~ <д„, ~у„-у,! д„, и тем не менее фх„', у„') — Дх„у.) ~ п.е.
(8) Из ограниченной последовательности точек ((х„,у„)), по теореме Боль ца но-В ей ер шт расса, извлечем такую частичную по- СЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ ((Хл»,У»Л)), ЧтО Хл, Х, У„, У, ПРИЧЕМ ПРЕДЕЛЬНак точка (х,у) необходимо принадлежит области ф (ввиду ее замкнутости). Так как, далее, ~х.',— х„,! д„, (Улл Улл~ ~ длл и, при возрастании й, пв + и дл, О, то х'„,-х»,-0, так что и х»4 хл У»4 У' Ввиду непрерывности функции у'(х, у) в точке (х, у), принадлежащей области й), мы должны иметь как у(х„, у.,) -Ях, у), У(х,'„У„л) Лх, У), л (х,„, ул,) — У(хл„у,',) О, так и откуда 24 что оказывается в противоречии с неравенством (8). Теорема доказана.
Для формулировки вытекающего отсюда следствия нам понадобится понятие д и а м е т р а точечного множества: так называется точная верхняя граница расстояний между любыми двумя точками множества. Следствие. Если функция г"(х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области Щ то по данному в. 0 найдется такое д»О, чпю, на какие бы частичные замкнутые 24се области ей, ..., е24» с диаметрами, 372 Гл. ч.
Функции нескОльких ЦЕРеменньтх (17$ меньшими Ь, ни разбить зту область *), колебание функции в каждой части в отдельности будет меньше е. Достаточно за Ь взять то число, о котором говорится в определении равномерной непрерывности. Если диаметр частичной области й, меньше Ь, то расстояние любых двух ее точек (х, у) и (хе, уе) меньше Ь: 'Гт(х — хе)'-ь(у-уе)а Ь. Отсюда и подавно (х-хе~ Ь и (у — уе) д„ так что [Ях, у)-лх, уе)) е. Если эти точки выбрать так, чтобы у'(х, у) и у'(хе, у,) были соответственно, наибольшим и наименьшим из значений функции в области л)т, то и получим требуемое утверждение.
Легко видеть, что доказанная теорема без изменений переносится (подобнотеоремам В ейерш трасса) наслучай функции, непрерывной в любом ограниченном замкнутом множестве азК 175. Лемма Бореля. Полезное предложение, доказанное в В8 может быть обобщено на многомерный случай. Пусть имеем систему ~ открытых областей и на плоскости; если катхцая точка множества айсодержится хоть в одной из этих областей и, то будем говорить, что система г, покрывает множество озе. Лемма Бореля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
