Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Таковы: плотность, температура, электрический потенциал и т. и. Все зти величины суть «функции точки» или, если угодно, функции от координат х, у, г точки. Если физическое состояние тела меняется во времени, то к этим независимым переменным присоединяется еще и время, 1. В этом случае мы имеем дело с функциями от четырех независимых переменных. Число подобных примеров читатель и сам может произвольно увеличить.
Уточнение понятия функции в случае нескольких независимых переменных начнем с простейшего случая, когда этих переменных две. 160. Функции двух переменных и области их определенна. Говоря об изменении двух независимых переменных х и у, мы должны всякий раз указывать, какие пары значений (х, у) они могут принимать совместно; множество о«к этих пар и будет областью изменения переменных х, у. Самое определение понятия ф у н к ц и и дается в тех же выражениях, что и для случая одной независимой переменной: Перел«е»«кая г (с областью изменении ~~) называетсн ф у н к и и е й независимых переменных ху вмложествеЛ,есликаждой паре (х, у) их значений из оФ' — по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение х (из оо). Здесь имеется в виду од н о з н а чная функция; легко распространить зто определение и на случай ми ог озн ачн ой функции. Множество с»й, о котором выше шпа речь, и есть область о предел ения функции.
Сами переменные х,у, — по отношению к их функции г — называются ее а р г у м е н т а м и. Функциональная зависимость между е и х, у обозначается, аналогично случаю одной независимой переменной, так: з = „т(х, у), к = у(х, у), гч к(х, у) и т. п. Если пара (х, у ) взята из оХ, то Дх„у) означает то частное (числовое) значение функции 1(х, у), которое она принимает, 1«си Ла х хо У -Уо Приведем несколько примеров функций, заданных аналитичсски — форми у л а и и, с указанием их областей определения. Формулы: 1) я= ху и 2) х»Ч-у' З42 Гл. ч.
Функции нескольких пеРеменных опредещпот функции для всех пар (х, у) без исключения. Формулы: 1 3) г='у'1-х'-у', 4) г= ~/1-ха-)а годятся (ссли мы хотим иметь дело с конечными яещестясинымн значениями х) лишь для тех пар (х, у), которые удоялепюряют, соотяетстаенио, неравенству хг+)а~1 или хх+)а 1, формулой: х у 5) я= агснл — +агсып-- а Ь функция определена для тех значений х и у, которые порознь удовлетворяют неравенствам -а хша, -Ь~ушь. Во ясса этих случаях мы указыяалн наиболее широкую — естествен- и у ю [46, 2') — область применения формулы. Рассмотрим теперь такой пример.
б) Пусть стороны треугольника произнольио измеюпотся, с тем лишь ограничением, что периметр его сохраняет постоянную величину 2р. Бели дяе егоровы его обозначить через х и у, то третья сторона будет 2р-х-у, так что треугольник вполне определяется сторонами х я у. Как зависит от них площадь г треугольника? По формуле Г е р о н а эта площадь выразится таге г= 'ур(р-х)(р — у) (х~-у — р).
Что же касается области определен и я ааг этой функции, то она обусловливается, на этот раз, тем конкретным вопросом, который привел к рао. смотреюпо функции. Так как длина каждой стороны треугольника есть положительное число, меньшее полупериметра, то должны яьпюлняться нерааенстяа 0 х р, Оу р, х+у р; онн и характеризуют область аясч). Таким образом, в то время как для функции одной переменной стандартной областью изменения аргумента являлся (конечный или бесконечный) промежуток, в случае функции двух переменных мы уже сталкиваемся с большим разнообразием и сложностью возможных (и естественных) областей изменения аргументов.
Рассмотрение этих областей значительно облегчается их геометрической интерпретацией. Если взять на плоскости две взаимно перпендикулярные осн и обьгчным образом откладывать на них значения х и у, то, как известно, каждой парой (х, у) однозначно определяется т о ч к а на плоскости, имеющая зти значения своими координатами, и обратно. Тогда для характеристики тех и а р (х, у), для которых определена функция, проще всего указать, какая фигура на плоскости ху заполняется соответствующими точками.
ч) Несмотря на то, что полученная формула сама по себе сохраняет смысл н я более широкой области, например, для х р н у»р. 343 180) 1 ь основньш понятия Так, говорят, что фущщин 1) и 2) определены во всей плоскости, функцви 3) и 4) — в к р у г е, соответственао, замкнутом (т. е. включающем окружность) вли открытом (без окружности) (рис. 89); функция 5) определена в пр я ма угольнике (рис. 90); наконец, функция 6) рассматривается в открытом тр еу го ль н и к е (рис. 91).
Рис. 91. Рис. 90. Рис. 89. Эта геометрическая интерпретация настолько удобна,что обычно самые пары чисел (х, у) называют «точками», а множество таких «точек», отвечающее тем или иным геометрическим образам, называют по имени этих образов. Так, множество «точек» или пар (х, у), для которых выполняются неравенства а~хмЬ, с пу~«(, есть «прямоугольник»„измерения которого равны Ь вЂ” а и г( — с; его будем обозначать символом [а, Ь; с, И), сходным с обозначением промежутка. Множество «точек» или пар (х, у), удовлетворяющих неравенству (х )г+ (у р)г гг есть «круг» радиуса г, с центром в «точке» (и, ф), и т. п.
Наподобие того, как функция у=лх) геометрически иллюстрировалась своим г р а ф и к о м 147), можно геометрически истолковать и уравнение к= Г"(х, у). Возьмем и пространстве прямоугольную систему координатных осей х, у, г; изобразим на плоскости ху область ая» изменения переменных х и у, наконец, в каждой точке М(х, у) этой области восставим перпендикуляр к плоскости ху и отложим иа нем значение г= 1(х, у). Геометрическое место полученных таким образом точек и явится своего рода пространственным г р а ф и к о м нашей функции, Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность; в свою очередь, равенство г= 1(х, у) называется у р а вн ением поверхности.
Для примера на рис. 92, 93 и 94 изображены геометрические образы функций; к=ху, г=хгч-у', *= гг- ~ -'7. гл. у. ФУнкции нескОльких пегеменных 11бО Первыйизнихпредставляетсобой гиперболический параболоид, второй — п араб олоид вращения, а третий— полусферу. Рис. 92. В заключение упомянем, что иногда приходится рассматривать переменную х '„„значения которой занумерованы д в у м я натуральными значками т и л (каждый из которых, независимо от другого, г~~г Рис. 93. пробегает натуральный ряд чисел). Такая переменная представляет собой, в некотором смысле, обобщение варианты х„. Можно положить, например, (те и)! Хт и т!д! 1 (т+1) и и т. п.
345 1б!1 Ф 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ По сути дела, значки н«и п следует рассматривать как независимые переменные, а переменную х „— как функцию от них. Область изменения независимых переменных в данном случае геометрически иллюстрируется своеобразной точечной квадратной сеткой в первом координатном угле. 161, Арифметическое и-мерное пространство. Переходя к функциям от п независимых переменных (при пи=3), мы сначала остановимся на системах совместных значений этих переменных. В случае и = 3 такая система из трех чисел (х, у, г), как ясно читател»о„еще может быть геометрически истолкована как точка пространства, а множество таких троек — как часть пространства или геометрическое т е л о. Но при и 3 возможности непосредственной геометрической интерпретации уже нет, ввн)ту отсутствия у нас интуиции пространства с числом измерений, ббльшим трех. Тем не менее, желая распространить геометрические методы (оказавшиеся плодотворными для функций двух и трех переменных) и на теорию функций большего числа переменных, в анализе вводят понятие и-мерного «пространства» и при и.
3. Назовем (и-мерной) «т о ч к о й» систему из л вещественных чисел; М(х„х„..., х„)«); сами числа х„хз, ..., х„являются ко о р динаа гамп этой «точки» М. Множество всех мыслимых л-мерных «точек» составляет и-мерное «пространство» (которое иногда называют арифметическим). Целесообразно ввести понятие «расстояния» ММ' между двумя (л-мерными) «точкамн» М(х„х„..., х„) н М'(х,', х,',..., х„'). Подражая известной из аналитической геометрии формуле, полагают п ММ'=ММ= ~/ ~(х,' — х)з=у(х»' — л»)т .(х» — х»)зе . -»(х,',-ха)«; (1) 1=1 при н=2 или 3 это «расстоянис» совпадает с обычным расстоянием между двумя соответственными ! еомстрическимн точками. Если взять еще одну «точку» М"(х,", ха', ..., х,"), «) Имея дело с нсопрсдсвсш»ым числом переменных, представляется удобным обозначать их не различными буквами, но одной и той же буквой лишь с различными номерами. Таким образом, х; означает (вразрез с пре»хной практикой) пе»е значение некоей переменной, а самое »тю переменную, которая сама по себе принимает различные значения.
[161 346 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕЬШННЬГХ то, как можно доказать, для «расстояний» ММ', М'М" и ММ" вы- полняется неравенство (2) .ММ" аММ'+ М'М", напоминающее известную теорему геометрии: «сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон». Действительно, для любого набора вещественных чисел а,, а,,..., ал и Ь„Ь„..., Ь„имеет место неравенство е) | л (а, «Ь«)' « ~/,~~'„ав зь ~[ ~Ь,'. |=1 |=1 |=1 Если положить здесь а|+Ь;=х, — х|, а|=х,-х;, Ь;=х" ,— х'„так что (1=1, 2,..., л), то получим 2 л [( л [|г л ~~",—;)2=- 1 ~(',—;)" 1 ~.; —; .
1=1 г=1 |=1 что равносильно (2). Таким образом, существенное свойство расстояния оказывается налицо и в нашем «пространстве». В л-мерном «пространстве» можно рассматривать и непрерывные «кривые». Известно 1106), что уравнения х =|у(|), у =«р[1), ") Это неравенство есть ие что ииое как частаый случай уже встретившегося лам неравенства минковского [133 (7)[ при 7«2. Если возвести обе части его в квадрат и опустеть в сбевх частях равные члеиы, то оио сведется к тоже извеспюму неравенству К о ш и [133 (5а)[. Приведем совершенно злемеитариое доказательство этого последнего иеравеиспж, а вместе с тем — и веравелства в тексте. Квадратлый трехчлса '~~[а;х+ь«)«з а| х«+2 >,а;ь« ° х+~~~~ь!, |-1 |=1 |=1 |=1 очевидно, ие принимает отрицвтельиых зпачеш|й. В таком случае ои ие может иметь двух различных вещественных корпей, и выражелие ,.~~а| ° '»' Ь1 — ~~ а|Ь« ~ |=1 |=1 должно быть неотрицательным, а зто равносильно неравенству К о ш и.
1О11 $1. основныв понятия где < (1) и ф(1) суть функции от параметра 1, непрерывные в некотором промежутке [1', 1'), — выражают на плоскости непрерывную кривую. Лнзлогично, но лишь с помощью трек непрерывных функций: х = ~ (1) ~' = Ф (1)* =)((1) (' ~1~1')* выражается непрерывная кривая в (обыкновенном) пространстве. Подражая этому, рассмотрим теперь сг непрерывных функций ог 1 х,= р,(1), хя=е,(1), ..., х„=е„(1) (б =.Ф~г").
Тогда множество «точек» получаемых при различных значениях п а р а и е т р а Р, и составляет непрерывную <кривую» в л-мерном «пространстве». Положив х,'=~»гИ') °, х„'=у<(1); х,"= р,(1'), ..., х«='т<(Г ). можно сказать, что эта <крнвая» соединяет «точки» М(х,'...,, х„') и М (х,", ..., х„"). В том случае, когда все функции ен ..., ~,"„оказываются линейными, «кривая» переходит в «прямую»: х,=а,1+~о ..., х„=я«1+р„; здесь коэффициенты аы ..., з„предполагаются необращзющимися зараз в О, а 1 изменяется от — ео до +ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
