Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 58
Текст из файла (страница 58)
2) Полагая у'(х) = [и х, где х О (в о г в у т а я функция), получим Ер! !и х; ЕРЗх! 1п.— ЕР1 ЕР~ Отсюда, погепцвруя, придем тоже х уже встречавшемуся неравенству 1 и.ЕН Ер~х; ') 2"р. Ер!х, ЕР1Х! ЕР1кГ !П х, — 1и ЕРЗ Ерй ЕЛ е) Наподобие того, как Е означает сумму, знак 11 означает произведение. [ср. 133 (4)[. 3) Наконец, возьмем г'(х)=х 1пк, где х О (выпуклая функция). Тогда окажется, что 1451 1 г. выптклын <и вогнутыв) еь нкции ЗО1 Умножая иа Ьрг и потенцируя, получим неравенство 1 Ерг 1 В частности„положив здесь р; —, будем иметь х; н — — ж Ях~. 1 х; Если распространить понятие среднего гармони ч ес к о то*) на случая нескольких чисел, то неравенство зто можно сформулировать так: среднее гармоническая ряда нологншнвльньвх чисел нв превосходим нх среднего геометрического.
145. Точки перегиба. При построении графиков функций (чему будет посвящен следующий параграф), представляют интерес, так называемые, точки перегиба кривой у=)'(х). Точку М(хя, з (хз)) кривой гвазывангт ее т о ч к о й и е р е г и б а, если она отделяет участок кривой, где функгуия Лх) выпукла (выпукла вниз), от участка, где эта функиия вогнута (выпукла вверх) (рис. 74). Рис. 74. Если предположить„что в рассматриваемом промежутке функция Т(х) имеет конечную производную, то эта производная, по теореме 2, возрастает в некоторой окрестности [х„— д, хз) слева от хз и ) бывает в окрестности [х„, хяьб) справа, илн наоборот — убывает слева и возрастает справа. В первом случае у'(х) имеет при х = х, максимум, з во втором — минимум.
Если допустить еще существование конечной второй производной 7"(х) хотя бы только при х=хе, то необходимо у" (х ) = 0 (ср. 134). Это условие у'"(х) =0 играет такую же роль в отношении точек перегиба, какую играло условие у'(хв)=0 при разыскании экстремумов функции Дх): оно необходимо, но ие достаточно. ") См. сноску ня стр.
74. зов гл. пс исслвдовянив еункцин с помощью производных 114б В последнем легко убедиться на примере — пусть Дх)=х', тогда /"(х) =12хл~0 в промежутке ( — -, + ), так что, по теореме 2, функция у'(х) выпукла во в с е м этом промежутке, хотя 1"(х) обращается в нуль в точке х=0.
Если вторая производная у"(х) существует везде внутри рассматриваемого промежутка, то абсциссы точек перегиба следует искать среди к о р н е й этой производной. Но каждый корень х подлежит испытанию. Пусть в некоторых окрестностях ~х — д, х,) и (х, хс+д) слева и справа от ха производная у "(х) сохраняет определенный знак. Тогда для распознавания точки перегиба можно дать такое правило: если при переходе через значение х =х производная)' "(х) меняет знак, то налицо перегиб, если же знака не меняет, то перегиба нет (ср. 13э).
Отметим, что при этом на участках кривой, отделенных точкой (х,Ях )), кривая оказывается с т р о г о выпуклой на одном и с т р ог о вогнутой на другом. Рассмотрим, лля примера, функцию у(х)-зшх; лля нее Г"(х)- -ып х обращается в нуль в точках х=йп(й — целое). меняя при этом знак. Следовательно, все точки синусоиды, лжащие на оси х, являются точками перегиба; легко видеть, что в промежутках (2ю — 1 и, 2юя) синусоида выпукла (выпукла вниз), а в промежутках (2>лл, 2м+ 1л) она вогнута (выпукла вверх).
Можно было бы, как мы это сделали в и' 138 при разыскании экстремумов функции, привлечь и высшие производные в испытуемой точке х„для которой 7"(х)=0. Таким путем получается правило: если первая из производных (выше второго порядка), не обртцакпцихся в пшике х, в нуль, есть производнал нечетного порядка, то налицю перегиб; если же такой производной является производная четного порядка, то перегиба нет. В заключение, укажем замечательное свойство кривой у=у'(х) относительно касательной к ней в точке перегиба (если такая касательная существует): кривая переходит в этой точке с одной стороны касшпельной на другую, и. е.
кривая и касательная взаимно пересекаются (см. рис. 74). Это обстоятельство очевидно, если касательная вертикальна (ср. рис. 43, а и б). Обратимся к случаю наклонной или горизонтальной касательной, предполагая существование конечной производной у'(хс), Допустим для определенности, что левее точки перегиба, для х — д и ~х. х, кривая выпукла, а правее, для х, х~хв+д, кривая вогнута (это отвечает рис. 74, б). В этом случае установим, что для х хв кривая лежит иад касательной (нли на пей), а для х х, — под касательной (или на ней), т. е. что У(х)-у(хс) ь 7'(хв)(х — х„), если хатха у(х) ()'(хс) +у '(х )(х -хс), если х хс. 2 3.
ПостРОение ГРАФикОВ Функпий 1461 305 Но первое из этих неравенств совпадает с неравенством (10) [143] (следует иметь в виду з а м е ч а н и е, там же). Второе есть аналог неравенства (10) для вогнутой функции. Замечание. Часто именно это свойство кривой принимают просто за определение точки перегиба. Такое определение вовсе не равносильно данному выше. Кривая прежде всего может не иметь касательной в точке перегиба, так что второе определение окажется неприложимым.
Может случиться обратное: кривая пересекает касательную в точке, которая не отделяет выпуклого участка кривой от вогнутого, и первое определение неприложимо. Таковы кривые на рис. 43, в и г; но интереснее кривая 2 1 у=-х» ]1ез)п'-~ при хиО, у=О при х=О, которая в начале координат касается оси х и пересекает ее; здесь существует даже непрерывная вторая производная, но она бесчисленное множество раз меняет знак вблизи точки х = 0 как слева, так и справа от нее. й 3. Построение графяков функций 14б. Постановка задачи. Во всеоружии методов дифференциальногоисчисления вернемся к вопросу о построении графиков ф у н к ц и й 1ср.
47]. Пусть сначала требуется построить График непрерывной в конечном промежутке 1а, Ь] функции у:ну(х). При этом сейчас основной целью для нас является возможно точная характериапика самого хода измемения функции; точность отдельных ординат интересует нас в меньшей степени. Обычно применяемый прием построения «по точкам» 147], взятым более или менее густо, но случайно и без отношения к (неизвестным наперед) особенностям графика, непригоден. Он прежде всего требует вычисления большого числа координат, что и р а к т и- чески неудобно. Но главное в другом: он непригоден принципиально, потому что именно ввиду случайности вычисляемых ординат он все же не обеспечивает достижения поставленной цели. Предположим теперь, что функция у =Дх) вообще имеет конечную производную у'=у'(х); исключение может представиться лишь в конечном числе отдельных точек, где производная оказывается б е с к он е ч н о й — определенного знака или разных знаков справа и слева.
Тогда методы дифференциального исчисления дают возможность установитьнекотороечисло«опорных»точек, характерных именно для данного графика, по которым график строится уже с достаточной точностью. Прежде всего, мы имеем здесь в виду поворотные точки Графика, т. е. вершины его горбов и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции 1134 — 138], Впрочем, к ним следует «Н Ы»». Фнн»ннгнньн, е» зеб Гл.
Рс исследоллиин Функции с помОШью пРОизВОдных [т47 присоединить все вообще точки, где касательная горизонтальна или вертикальна, даже если они не отвечают экстремумам функции. Разумеется, должны быть отмечены и концы графика. Когда упомянутые только что точки нанесены на чертеж (а число их обычно невелико), этого, собственно, уже достаточно для построения графиха. Построенный подобным образом график уже довольно полно отображает ход изменения функции, точно отмечая промежутки ее возрастания и убывания, а также точки, где скорость изменения функции падает до нуля (у'=О) или возрастает до бесконечности (у'= ~"). Можно достигнуть дальнейшего уточнения графика, если учесть его выпухло сть (выпуклость вниз) или во гнуто сть (выпуклость вверх) на отдельных участках и положение отделяющих их точек перегиба [143, 14э[.
147. Схема нестроения графика. Примеры. Итак, пусть функция у=Ях) в рассматриваемом промежутке [а, Ь] двалщы дифференцируема, исключая отдельные точки, в которых производная у'=у'(х) имеет бесконечное значение, определенного знака с обеих сторон или разных знаков справа и слева. Тогда для построении графика функции у=баХ) надлежит выполнить следующее: 1) определить значения х, для которых производная у'=у'(х) равна нулю или бесконечности, и подвергнуть их исследованию на экстремум; 2) определить значения х, для которых вторая производная у" = =у"(х) равна нулю, и подвергнуть их исследованию на перегиб; 3) вычислить значения самой функции у=Дх)„отвечающие всем этим значениям х, а также концам а и Ь рассматриваемого промежутка. Результаты удобно расположить в виде таблицы [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
