Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ниже примеры)„с непременным указанием о с о б е н н о с т и вычисленной точки графика: максимум, минимум, у'=О, у'= + или —, у'= х или + *), перегиб. Иногда к названным точкам графика при желании присоединяют еще и некоторые другие, например, точки пересечения графика с осями. После нанесения иа чертеж всех вычисленных точек через них проводят самый график, учитывая при этом все упомянутые их о с обенности. Мы имеем в виду, конечно, обычный в практике построения графиков случай, когда первая производная обращается в 0 (или в х ) или вторая производная обращается в 0 — лишь в конечном числе точек.
*) так мы условно будем отмечать тот факт, что производная слева есть Ф а справа —, нлн наоборот. 8 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 307 147[ Примеры. 1) В 136, 2) мы уже исследовали поведение функции у = ЗШЗ Х -)-СОЗЗ Х; с помошью ее производной мы установили значения х, доставляюшие функции экс1ремумы, а также вычислили и сами экстремальные значения функции. При этом, ввиду периодичности функции, мы ограничились промежутком [О, 2л) изменения х. График функции также достаточно построить для этого промежутка. Теперь нам нужно найти корни второй производдой.
Если представить ее в виде 9 „( 2) У" = — (ЗШ ХепСО5Х) ЫП 2Х вЂ” —, 2 ~ 31 Зл. то легко видеть, что первый множитель в скобках обрашается в 0 лри х= — =' 7л 4 ='. 2,36 и — ='- 5,50, а второй — при х 20,3о (21'), 1,21 (69'), 3,51 (201') и 4,35 (249'); 4 во всех случаях знак у" меняется, так что налицо и е р е г и б.
составляем таблипу: 0,78 1,21 1,57 2,56 З,М зл! 4,55 0,71 0,86 -0,86 - 0,86 — 0,71 0,86 у=! г и и р еаб р'=о перегиб пи, г'=о папе. и региб 5'=О аи . перегиб перегиб и=4,71 6,28 5,50 По этой таблице и построен график, изображенный на рвс. 58. Замечание. 'Читатель должен иметь в виду, что пригюдимые в канте чертежи, ввиду малого масштаба, не полностью ис- р — 1 1е=О у'=0 папе. перегиб пользуют те точные данные, которые полу чены вычислением. Рекомендуется повторить эти чертежи в большом масштабе.
2) Рассмотрим функцию у=э!Вх(-5)п 2х. Оиа ие только периодична, но и нечет на. Это позволяет сократить еше промежуток изменению х, сведя его к [О, л). В этом промежутке производная у' - соб х Ф 2 соз 2Х =- 4 соке х + соэ х — 2 20» Тогда в промежутках между ними график идет все время вверх нли все время вниз, а также оказывается выпуклым, вниз или вверх. Вычисления и проведение кривой упрощаются, если функция не изменяет своего значения при изменении знака х (ч е т н а я функция),такчто график симметричен относительно вертикальной оси. Аналогичную услугу может оказать и симметрия относительно начала хо ординат, которая аналитически выражается в том, что функция прн изменении знака х также лишь меняет знак (нечетная функция).
308 ГЛ. 7Ч. НССЛЕДОВАНИЕ ЕУНКЦИН С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [348 обращается е О, если соз х = —, т. е. при х ' 0,94 (54и) и 2,57 (147"). Так 8 как вторая лроизводиая у = — О(п х — 4з!и 2х= — згп х(1-~-8 соз х) 0,74 ( 7,70 х=о г,ОО 2,57 ЗЛ4 Ь76 ~ 0,74 О и-о -О,З7 ~грггиб р'=О ии г. жг б игрггиб у'=о 2 К указоииым выше значениям х мы присоединили здесь еще значение х= — л =' 3 ш2,09 (120'), при котором у=.О (график пересекает ось х).
График, построеивый Рис. 75. по этим точкам, изображен иа рис. 75; для промежутка [ — л, 0) ои получается двойиым перекладыванием: вокруг оси у, а затем — вокруг оси х. 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты. Полезно расширить класс рассматриваемых функцигл в двух направлениях. Во-первых, мы допустим теперь для функции у=)(х) возможность обращаться в бесконечность для отдельных значений х. Это значит, — если х, есть одно из таких значений, что, при приближении х к х с той или с другой стороны, Дх) стремится к 4- или к — .
Во-вторых, нас может интересовать поведение функции и в бесконечном промежутке. Так как размеры чертежа, разумеется, конечны, то в обоих этих случаях приходится довольствоваться частью всего графика. За пре- при первом иэ этих значений, очевидно, отрицательиа, то оиа доставляет функции максимум; аналогично, при втором значении имеем минимум. Сама вторая производная обращается в 0 вместе с ып х при х = 0 или х = и=' 3,14, а также вместе с множителем в скобках цри хгь!,70 (97') — во всех случаях меняя знак (перегиб). Таблица: 1481 1 а ПОствоениь ГРАФикОВ Функции юа делами чертежа стараются оставить такие части графика, о виде которых легко наперед составить себе представление, исходя из того, что начерчено.
Остановимся на случае бесконечного разрыва функции, скажем, при х =х . Прн приближении х к хь с одной стороны функция стремится к бесконечности (того или иного знака) м о н о т о н н о если, по крайней мере, в конечной части промежутка — производная у'=-7"(х) лишь конечное число раз меняет знак. С разных сторон от хь (если хь не есть конец промежутка) функция может иметь пределы и разных зна1 ков. Во всяком случае, график будег безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вер тик аль ной прямой х=хь в верхней или в нижней его части, смотря по знаку бесконечногоп е ела.Эта и я- р д Р мая позволяет отчетливо представить себе вид графика и за пределами чертежа (рис.
76). Примерами могут Рис. 76. служить и уже известные нам графики функций у= — при х=О (рис. 10), у =1я х при х=(2/с; 1)— (рис. 16), у = 1оя, х при х = 0 (рис. 14). В случае бесконечного (в одну сторону или в обе) промежутка, подобную же услугу иногда оказывает горизонтальная или н а к л О н н а я прямая, к которой график приближается безгранично.
В связи с этим, дадим следующее общее определение. Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если рассто,чяие б от точки кривой до некоторой определенной прямой по л~ере удаления точки е бесконечность стремится к нули, то эта прямая называется а с' и м и т о т о й криеой. Только что мывмелпдело с вертикальными асимптотами; теперь займемся асимптотами г о р и з о н т а л ь н ы м и и н ак л о н н ы м и — все время для кривой, заданной уравнением у= 7 (х). Примеры горизонтальных асимптот нам уже встречались: для кривой у=- — прямая у=-0 при х- .
- (рис. 10), для кривой х и у=агс1я х прямые у=- и у=- — —, соответственно, при х -: - и 2 2 ' х- — (рис. 21), для кривой у=а' — прямая у=О при х --, если а =.1 и при х +, если а. 1 (рис. 13), 310 ГЛ. !У. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПН1И1ВОДНЫХ [143 Для того чтобы, например, при х-+-, прямая т =Ь служила асимптотой для кривой у = 7'(х), очевидно (рис. 77), н е о б х о д и м о н достаточно, чтобы было 1цпЬ=1пн (у — Ъ| =О илн 1ппу=1пп у'(х)=Ь. х-+- х-+- х + х + Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте сводится попросту к вопросу об этом пределе. Рис. 78.
Рис. 77. (2) У=ах+ Ь (рис. 78), скажем, со стороны положительной части осн х. Так как разность ординат 1у — У1 лишь постоянным множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью х) разнится от расстояния Ь, то прн х-+- одновременно с Ь должна стремиться к нулю и эта разность: (з) 1нп (у-ах-Ь) =О х Ф Разделив на х, получим отсюда: 1пп -=а; У х + кроме того, равенство (3) непосредственно дает 1пп (у-ах)=Ь. (4) (5) Отдельно нужно искать подобньй предел и при х- — -; при этом (как, например, в случае кривой у = агс18 х) может получиться и другая асимптота. Переходя к наклонным аснмптотам, упомянем, что примерами ик могут служить известные читателю из аналитической геомет- Ь рии асимптоты у= х — х гиперболы а Ьх — — =1 или у= х-)1х' — ае а (1) (см.
также рис. 7). Предположим теперь, что кривая у=у'(х) имеет наклонную асимптоту 312 ГЛ 7У ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [149 График мы уже имели иа рис. 57. 1) Пусть 2 ! у х -(хк-1)' 2 з [см. 136, 3)). Функция сохраняет непрерывность в промежутке ( —, + ). Представив ее в виде 1 4 2 ! 2' х +х (х'-1) +(х'-1) легко установить, что 3 -В при х» й, так что график нашей функции имеет асимптотой ось х (и направо и налево).
Вторая производная у" не имеет корней; перегибы будут лишь в точках, где произволная у' обращается в бесконечность. Ввиду четности функции — симметрия относительно оси у. Таблица: 07! ~ ! — 0,7! 5,59 5,59 ! р=о зг=о макс. р'=0 макс. График — на рис. 59. х'-5х+6 5) у= - [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
