Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 54
Текст из файла (страница 54)
58 [ср. 147, !)). э ! 3) Найти экстремумы функции г" (х) = х — (х' — !) Здесь и в следующих примерах изменение функции мы иллюстрируем графиками, но самый вопрос о построении графиков будет подрооно рассмотрен лишь в 8 3. См., в частности, 149, 3). 282 Гл. т«. исслпдовяттив Функ~им с пОмощью птоизыодцьзх 1134 На этот раэ ковечная провзводвая з 4 1 э 2 — 1 — 2 (х — 1)з- Р /'(х) — х — — (хз — 1) 2х 3 3 3 хз (хз-1) существует везде, исключая точки х = О п х- ~ 1. При приблвжелии х к зтвм звачевиям (с обеих сторон) производная стремится к и Для определения корней лропэводыой, приравниваем пулю ее числитель; мм 1 ыайдем х ~ †. Итак, «подозрптааьпымиз по экстремуму будут точки: 1 1 -1, — —, О, —, +1.
~2 ~Г2 При х-0 (и вблызы этой точки) числитель я второй множитель знаменателя 1 имеют зыак шпос. Множитель же х знаменателя меняет звал мивус иа шпос, 1 производная — тоже: мввимум. Прп х = — и (вблизи) знаменатель сохраняет ")Г2 1 зыак плюс. Числитель же, имея в виду значешш х, близкие к —, перепюпем так: ~Г2 (1-хз) -х; ов обращается в вуль при х= —,с умевьшевиемх — увеличивается„ ~Г2 а с уаеличевием — умевьшается, так что мекает знак плюс ва мивус, и налицо з 1 максимум.
То же и пры х= — —. При перекоде через х=1 мпожитель (хз-1) )Г2 в знаменателе, который обращается в этой точке в пуль, ие меняет знака; зто же справеллыво в для производной, так что при х-1 иютрпчума нет. То же в при х — 1. х Рыс. 59. Итак, максвмумы у э — =')Г4 — — '1,59, аминимумУ(0)=1. )Г2 Грабмк иа рпс.
59 (ср. 149, 4)!. 4) Затухающие колебания. Пусть даииевие точки происходит по следующему закову: э=А« а~зш вт, 1 ь изучвнив ходя измвнииил эвикции где « — пройденный путь (отсчитываемый от начального положения), а г — время (отсчитываемое от начального момевта). Будем считать все постоянные А, «, со, а таске переменную г — положительными. Вылсввм шщ графша этой эависвмости; его внтересно сопоставить с улш знакомой нам синусоидой г А эш шг. Так как е М . О, то, очевидно, оба графика пересекают ось х в одних и тех же точвах г-л — (л 1, 2, 3, ...).
Заметим, что функция «=А«шов имеет попеременно макси- ОЭ 1) ж мумы в мвнвмумы в точках г = ~ л+ — ) —, где обращается в нуль ее производная 2) сэ э'=Ага соз ыг. Составим производную для заданной функцви [ср. 99, ЗО)ф О3 « з'=Ае «Ос соя вг-lс эш ел)=А )г«Р+л -«( соэ ы|- "") 1[/ д+/~ [(Р+«э Вводя вспомогательный угол р лод условиями: гс « -сову, =-жп р, )Яа.д,а перепашем выражение производной в виде э'=А. 1'газ+«ее ы соэ(ы+р).
Она обращается в нуль в точках и так как косвиус, проходя через нуль, меняет знак, то легко сообразить, что при этих значениях наша функция, действительно, имеет максимумы лри л четных и минимумы при л нечетньы. По сравненшо с синусоидой, произошло с м е щ е в и е У экстреьыльных точек в л е в о на — . Нетрудно проверить, что все максвмумы будут лолохштельны, а мввимумы отРвлательвы. Ясли величвнУ л-го экстРемУма обозначить чеРез Ал, то — е", так что размахи убывают в геометрвчсской прогрессии. График (для простого частного случая) представлен на рис. бО. двюкение подобного типа носитназвание затухающего колебания.
3 а м е ч а и и е, В большинстве представшнощихся на практике случаев изложеиного в лредьщущем л' правила оказывается вполне достаточно для исследовашш аподозригельныхз значений. Однако следует дать себе отчет в том, что могут быть случаи, где оно непряложвмо: зто будет тогда, когда в любой близости от испытуемой точ«ж содержится бесконечное множество другах подобных же точек, и производная не сохраняет определенного знака с той или с другой стороны от этой точки. Рассмотрим для примера фувклию, определяемую равенствами: 1 Лх) = хз. зш — (при л я О) и г(0) = О.
х 284 гл. пс исслндовяннв о нкции с помощью пвоизводных 1137 Мы уже знаем, что она прн х= 0 нмеет проюводную ~'(0)=0 $102, 2'). Однако в любой близости от стацнонарной точкн х=О как слева, так н справа пронзводная 1 1 у (х)=2х 51п — — соз— х х бесконечное множество раз меняет злах. здесь в точке х=О нет э кот р е мума. Нслн же определить функцню так: 1) у(х)=х«(1+зьч — / прн хиО, у(О) О, х! то она обнаруяивает такую же особенность, но на этот раз прн х = О, очевидно будет минимум.
Правило в обоих случаях непрнложвмо. 137. Второе правило. При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака в т о р о й производной в самой этой точке„покажем это. Итак, пусть функция у'(х) не только имеет производную у'(х) в окрестности точки х, но и вторую производную в самой точке х,: /"(хе). Точка х — стационарная, т.
е. у'(х ) = О. Если у"(х )»О, то, по лемме и' 109, — функция у'(х) в т о ч к е х = х в о з р а с т а е т, т. е. вблизи точки х слева у'(х) у'(хе) = О, а справа ~"'(х):-у'(хе) = О. Таким образом, пройзводная у'(х) меняет знак минус на плюс и, следовательно, у(х) имеет в точке х= хе минимум. Если Х"(х ) О, то у'(х) в точке х х, убывает, меняя знак плюс на минус, так что налицо максимум. Таким образом, можно сформулировать второе правило для испытания «подозрнтельногоэ значения ха: подставляем хе во вторую производную )'"(х) если у "(хе) .О, то функция имеет минимум, если эюе у"(хе) О, то — максимум. 1 Ь ИЗУЧЕНИЕ ХОДА ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЩФИ Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения; оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса зависит тогда от поведения высших производных [см.
следующий пс). Нели пожелать првложить это правило к примеру 2), то нужно вычислять вторую щюизводную: у""(х) = 6 яп х соз х (соз х+аш х) — 3(зшз х+ созз х). л 3л Прях -0(2л). —, л, — первое слагаемое обращается в нуль и знак у "(х) протяво- 2 2 положен знакУ у(х) -з!пз х+созз х; это бУдет минус дла х-0 (2л), — (здесь макси- 2 Зл л 5л мумы) и пинк для х-л и — (здесь минимумы). Для х- — и —, ввиду равенства 2 4 4' з)п х= соз х, у""(х) сведется к 6 яп' х, так что в первой вз этих точек знак второй производной будет плюс (минимум), а во второй минус (максимум).
хз-5хЧ-6 Вот новый пр яме р: найти экстремумы Функции у(х)= —. ха+1 хз-2х-1 Производная /'(х) = 5 обращается в нуль вместе с числителем; (х'+ 1)з ее корни будут х, - 1 — 1'2= — ' — 0,41 н х,-1+ [(2 ге 2,41. Дифференцируем производную снова как произведение: 5 т "(х) = — (2х — 2) + .. (хаЧ-1)з причем точками заменен член, содержащий множителем хз-2х-1 и нам не Рис. 61. нужный, ибо для тех значении х, которые мы собираемся подставлять, ои заведомо нуль. Легко видеть, что у "(х,) О, а,Г(х,)=0, следовательно, звачеияе У(х,) ='. 7,04 есть максимум, а У(х ) =ь — 0,03 — мвнимум.
График функции данна рис. 61 [см. 149, Я. 286 ГЛ, Ш. ИССЛВДОВАНИВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [13В Нахожц, рассмотрим еще такую задачу геометричеаюго содержания: найти экстремальные значения для расстояния г от данной (на плоскости) точки Р Я, Ч) до точек М(х„у) кривой (К), заданной своим уравнением: у -у"(х) (рис. б2). Вместо функции г можно рассмотреть фувкцаю 1 1 и — гх — [(х-4)х+(у- п)х), 2 2 где у=у"(х).
Приравнивая нулю производную: и„'=-х-4~-(у-л) у„', видим, что для того, чтобы точка М(х, у) на кривой (К) доставляла экстремум расстоянию г, необходимо выполнение условия: 2 — х-Ру„'(Ч-у).=0. Иными сломми, точка Р (б, Ч) должна лежать на прямой К- х+у[(У-у) = О, проведенной через точку М(х, у) кривой перпендикушцшо к касательнойх); ее называют нормалью к кривой. Доауствм же, что точка Р(б, Ч) действительно лежит на нормали к кривой (К) в точке М(х, у); будет лн расстояние РМ зкстремум7 Решение згого вопроса зависит от знака второй производной: их' = 1+ Ух + (У 6) 'Ух' Это выражение обращается в нуль (предполагая у„ и 0) лишь в точке С с координатами: 1+Ух 1+Ух б=-х-ух' „, с=у+ — „-; Ух' У»' для нее вопрос остается открытым.
Точка С отделяет на нормали те точки Р, для которых и" О, и расстояние РМ будет максимум, от тех точек Р, дпя которых и" О, и это расстояние есть минимум. Впоследствии [243, 233) мы увидим, что эта пограничная точка С на нормали замечательна во многих отношениях. 138. Использование высших производных.
Мы видели, что если 1'(хе) О иу™(х ) .О, то функция у"(х) достигает в точке х минимума; если же у'(хе) =О и у"(хе) О, то функция имеет в этой точке макси- 1 х) Бе угловой коэффициент — —, обратен по величвие н по знаку угловому Ух коэффициенту у» касательной. ьз81 3 Ь ИЗУЧПНИП ХОДА ИЗМПНПНИЯ ФУНКЦИИ мум. Случай, когда и у'(ха) =О и у"(ха) =О, был оставлен нами неис- следованным. Предположим теперь, что функция у"(х) имеет в точке х=х п по- следовательных производных, причем все они, вплоть до (и — 1)-й, в этой точке обращаются в нуль: У"'(ха) =У"п(ха) =... = У'"" г)(ха) = О, между тем кал у(а)(х ) м О. Разложим приращение .у'(х) — у(ха) функ- ции у'(х) по степеням разности х- х по формуле Т е й л о р а с до- полнительным членом в форме П е а н о (124, (10а)1.
Так как все про- изводные порядков меньших, чем и, равны в точке х нулю, то Ях)-ЯХ,)=, (х-х)". у(л)(хе) + и Вследствие того, что п 0 при х-х„при достаточной близости х к х знак суммы в числителе будет совпадать со знаком ута)(х ) как для х х, так и для х ха. Рассмотрим два случая. 1' п — нечетное число: п=2к+1. При переходе от значений х, меньших, чем х, к значениям, ббльшвм, чем х„выражение (х-х )" изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности Лх) -у'(ха) изменится. Таким образом, в точке ха функция у'(х) не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и большие, чем Лх,).
2' п — четное число: п=2к. В этом случае разность Лх)— -Дха) не меняет знака при переходе от х меньших, чем х, к ббльшим, так как (х-х,)" -0 прн всех х. Очевидно, вблизи х как слева, так и справа знак разности у"(х) — Лх) совпадает со знаком числа (та)(ха). Значит, если У(а)(ха) .О, то У"(х) .Ях) вблизи точки х, и в точке х, функция у'(х) имеет (собственный) минимум; если же у'(я)(ха) «'О, то функция имеет (собственный) максимум. Отсюда получаем такое правило: Если первая из производных, не обращающихся в точке ха в нуль, есть производная нечетного порядка, функция не имеет в точках ха ни максимума, ни минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
