ilin1 (947407), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В самом деле, если хотя бы одно из чисел гГ=(х1, у1) и .ге=(хго ут) равно (0,0), то из (8.14) очевидно„что г=г~га= = (О, 0). Если, наоборот, г=гГга равно (О, 0), то из (8,14) следует, что Г хтха — у,у,==О, ( у,х, + х,у, == О, (8.14') (г,г,) = г,г,. (8.14") Г к=о, Г к=о, * Ибо система ~ акаиаалентна системе [ ~ р = о [ — у=о. н сслн гГФ(0,0), т. е. хт+утчьО, то (8.14') представляет собой однородную систему двух уравнений относительно двух неизвестных ха и уа с определителем х',+ у'„отличным от нуля.
Такая система имеет только тривиальное решение, т, е. ге= (ха, уа) = = (О, 0). Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает и еще одно у тв е р ж де н не: комплексное число, сопряженное к произведению двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел, равно произведению комплексньГх чисел, являющихся сопряженными к каждому из сомножителей, т. е. Ь 3. Классы функций, интегрируемых и элементернмх фунициих 307 С помощью правила перемножения комплексных чисел (8.14)' легко проверяется, что как правая, так и левая часть (8.14") равна одному и тому же комплексному числу (х~хх — у1у „ вЂ хаус †).
2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. 1'. Ал геб р а и чески м многочленом и й степени называется выражение вида 1(г) =с,г"+с,г"-'+...+с„1г+с„, (8.16). где г= (х, у) =х+(у — переменное комплексное число, а се, сь...,с„— некоторые постоянные комплексные числа, первое из которых отлично от нуля. Как известно, любой алгебраический многочлен степени и можно поделить «столбиком» на другой алгебраический многочлен степени не выше чем и.
Таким путем мы приходим к следующему утверждению: каковы бы ни были два многочлена 1(2) и ф(2) такие, что степень ф(2) не выше, чем степень 1(2), справедливо равенство 1(г) =ф (2) и (2) +«(2), в котором д~г) и «(2) — некоторые многочленьс, причем степень д(г) равна разности степеней многочлгнов 1(2) и фГ2), а степень. «(г) ниже степени ф(г). По отношению к фигурирующим в равенстве (8.17) много- членам 1(г), ф(2), в(г) и «(г) обычно применяют вполне понятные термины «делимое», «делитель», «частное» и «остаток». Говорят, что многочлен 1(г) делится на многочлен ф(г), если в полученной посредством деления столбиком формуле (8.17) остаток «(г) =О. Договоримся называть м н о го членом нулевой степени любую комплексную постоянную. Тогда совершенно ясно, что любой многочлен делится на отличный от нуля многочлен нулевой степени.
Изучим вопрос о делимости многочлена 1(2) на многочлен первой степени. Определение. Назовем комплексное число Ь корнем многочл гна 112), если 1(Ь) равно нулю. Теорема 8.2. Многочлен ненулевой степени 1(2) делится на двучлен (2 — Ь) тогда и только тогда, когда Ь является корнем многочлена. До к аз а тел ьство. Запишем для многочленов 1(г)' и ф(г) =(г — Ь) формулу (8.17).
Поскольку степень остатка «(2) в этой формуле обязана быть ниже степени делителя ф(2) =г — Ь, то «(2) — многочлен нулевой степени, т. е. «(г) =с=сопз1. Таким образом, формула (8.17) принимает вид 1(г) = (г — Ь) в (2) + с. Полагая в формуле (8.18) г=Ь,. найдем, что с=1(Ь). По определению ) (2) делится на (г — Ь) тогда и только тогда, когда ос-- Зоа Гл, 8, Первообразная функция и неопределенный интеграл таток в формуле (8.18) с=)(Ь) равен нулю, т.
е. тогда и только тогда, когда Ь является корнем )(г). Теорема доказана. 2'. Естественно, возникает вопрос, всякий ли алгебраический многочлен имеет корни? Ответ на этот вопрос дает ос нов н а я т е о р е м а а л г е б р ы е: всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень. Опираясь на эту теорему, докажем, что алгебраический мноеочлен и-й степени имеет точно и корней"*, В самом деле, пусть )(г) — многочлен п-й степени.
Согласно основной теореме алгебры ((г) имеет хотя бы один корень Ьь т. е. для 1(г) справедливо представление (8.19') Р(г) = (г — Ь|) 11(г), в котором через ), (г) обозначен некоторый многочлен степени (и — 1). Если пФ1, то, согласно основной теореме алгебры, )1(г) ямеет хотя бы один корень Ь,, т. е. для Й(г) справедливо представление (8.19з) 6(г) = (г — Ьт)6(г), в котором через Гз(г) обозначен некоторый многочлен степени (н — 2). Повторяя указанные рассуждения далее, мы получим представления Ыг) = (г — Ь.) 6(г), (8.19з) (е 1(я) = (г — Ь„)1„(г) . (8 19п) В последнем из этих представлений через 1„(г) обозначен некоторый многочлен нулевой степени, т. е. 1,(а) =с=сонэ(. Сопоставляя между собой равенства (8.19') — (8.19") и учитывая, что .)„(г) =с, будем иметь )(г) = (г — Ь1) (г — Ь,),.
(и — Ь„)с. (8.20) Отметим, что комплексная постоянная с не равна нулю, ибо в противном случае многочлен 1(г) был бы тождественно равен .нулю и не являлся бы многочленом и-й степени **". Из равенства (820) очевидно, что 1(Ь1) =)(Ьт) =...=)(Ь„) =О, т. е. каждое из чисел Ь„ Ьь ..., Ь„ является корнем многочлена ,э(г).
Кроме того, из (8.20) очевидно, что, каково бы ни было комплексное число Ь, отличное от Ьь Ьь ..., Ь„комплексное число * Доказательство основной теоремы алгебры обычно приводится в курсах алгебры и в курсе теории функций комплексной переменной. '* При этом, конечно, предполагается, что п)О. *'* Здесь мы используем следуюгдее утверждение: если многочлен )(з) = =аеа"-~-а,а"-'+.„+а„,а+а' тождественно равен нулю, то асе его коэффициенты равны нулю. й самом деле, если 1(а) = — О, то при а=о получим аз=о.
Но тогда)(з) — а(асс"-'+а~а з+...+а 1) ==О. Так как анто, то вырансение в квадратных скобках тождественно равно нулю, откуда при а=о получим а„,=о, Продолжая аналогичные рассуждения далее, докажем, что все коэф.фициенты равны нулю, $3. Классы функций, интегрируемых в элементарных фунициях 309 ((Ь) не равно нулю в. Таким образом, многочлен 1(г) имеет ровно п корней: Ь,, Ьз, ..., Ь,. Равенство (8.20) дает разложение многочлена 1(г) на множители. Если известен вид многочлена 1(г) (8.16), то мы можем определить постоянную с в равенстве (8.20). Сравнивая в равенствах (8.20) и (8.16) коэффициенты при г", получим с=с,'*.
Многочлен (8.16), у которого со=1, называется п р и в еде чны м. Для приведенного многочлена формула разложения (8.20)' принимает вид 1(г) =(г — Ь!) (г — Ьз) „(г — Ь„), (8.21) В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать приведенньсе многочлены. Среди корней многочлена )(г) могут быть совпадающие корни, Пусть а, Ь, ..., с — р а з л и ч н ы е корни приведенного много- члена 1(г). Тогда для этого многочлена представление вида (8.21) принимает форму следующего равенства: )(г) = (г — а) "(г — Ь)"...
(г — с)т. (8.22) В этом разложении а, (), ..., у — некоторые целые числа, каждое из которых не меньше единицы, причем а+р+...+у=а, где и— степень многочлена 1(г). Если для многочлена )(г) справедливо разложение (8.22), то говорят, что комплексное число а является корнем 1(г) к ра тности а, комплексное число Ь является корнем )(г) кратности (1, ..., комплексное число с является кар и ем 1(г) к ра тности у.
Корень, кратность которого равна единице, принято называть однократным, а корень, кратность которого больше единицы, принято называть к р а т н ы м. Можно дать и другое эквивалентное определение корня данной кратности: комплексное число а называется к о рн ем много- члена )"'(г) кратности а, если для )(г) справедливо представление 1(г) =(г — а)'ф(г), где зр(а)чь0. (8.23) 3'. Пусть теперь 1(г) -гн ) с гг-~ ) с гн-я ) (8.24) приведенный алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами с„сж ..., с„, Ибо произведение нескольких комплексных чисел равно нулю лишь в том случае, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей (см.
п. !). *' Здесь мы используем утверждение: если дванногочлгна агя"+ага""'+. ..+а„и Ьгг" +Ьгг"-'+.,+Ь„тождественно равны друг другу, го аз= Ьг, а~=Ьь .. а„=Ь„. Для доказательства достаточно к разности указанных мвогочлеаов применвть утверждение, отмеченное в сноске *э* на с. 308. З1О Ги. В, Первообразиая функция и неопределенный интеграл нлн, что то же самое, (8.25)з Пусть теперь комплексное число а является корнем много. члена с вещественными коэффициентами )(г) кратности Л, т. е. справедливо представление Г(г) = (г — а)з~р(г), (8.26т (8.27р в котором р(а) ~0. Из сопоставления (8.26) и (8,25) вытекает, что Г (г) = (г — а) ~р (г), а последнее равенство в силу (8.14") можно переписать в виде ) (г) = (г — а) ~р (г).
(8.28) Заметим теперь, что в силу установленного выше соотношения (г") = (2") справедливо равенство (г — а) =(г — а) =-(г — а), (8.29) Докажем, что этот многочлен обладает следующим важныи свойством. Теорема 8.3. Если комплексное число а является корнеле многочлена с вещественными коэффициентами (8.24) кратности Л, то и сопряженное ему комплексное число а также является корнем этого многочлена той же самой кратности Л.
До к а з а т е л ь с т в о. Начнем с того, что докажем следующий вспомогательный факт: если Я(г) — многочлен с в е ш ее те е н н ы м и коэффициентами, то комплексная величина )(г~ является сопряженной по отношению к величине )(г). Так как коэффициенты многочлена (8.24) являются вещественными числами, то для доказательства указанного факта достаточно убедиться в том, что для любого номера и комплексная величина (г)" является сопряженной по отношению г".
Но это последнее сразу вытекает из утверждения, доказанного в самом конце и. 1, точнее, из соотношения (8.14"). Положив в этом соотношении г =г,=г, мы получим, что (г')=(г)'. Далее, положив в том же соотношении (8.14"), г1=га, гз=г, мы получим (гз) = (гз) г = (г)з Продолжая аналогичные рассуждения, мы убедимся в том, что (г") =(г)" для любого номера и. Итак, доказано, что величина 7(г) является сопряженной по отношению к величине Г(г), т.
е. ~(г) =~(г) Ь 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 311 Подставляя (8.29) и (8.28), мы получим представление )(з) =(з — а)'ф(х), (8.30) в котором через ф(г) обозначена величина Ф (з) =- ф (з). (8.31) Для завершения доказательства теоремы 8.3 остается убедиться в том, что ф(а) ФО*, но зто сразу вытекает из того, что в силу того, что согласно (8.27) ф(а) не обращается нуль "*. Теорема 8.3 доказана.
3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными мозффициентами на произведение неприводимык множителей. В дальнейшем нам придется иметь дело с многочленами от переменной, принимающей лишь вещественные значения. Поэтому зту переменную мы будем обозначать буквой х, а не х. Пользуясь теоремой 8.3, найдем разложение многочлена с вещественными коэффициентами 1(х) на произведение нсприводимых вещественных множителей. Пусть многочлен )(х) имеет вещественные корни Ьь Ь,,...,Ь кратности бь рх, ...,]) соответствен.но и компленсно сопряженные пары корней а~ и аь ах и ах, ...,а и а„кратности Ль Лх, ...,Л, каждая пара соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
