ilin1 (947407), страница 63
Текст из файла (страница 63)
рассмотренные выше примеры 1' и 2'). Для вычисления интегралов первой группы следует применить форму- лу (8.9), полагая в ней и(х) равной одной из указанных выше функций *. 2) Ко второй группе относятся интегралы вида ! (пх+Ь) "Х асов(сх)г(х, ! (пх+Ь) "и!п(сх)г(х, ) (ах+Ь)'е'кпх где а, Ь, с — не- которые постоянные, и — любое целое положительное число (см. рассмотренный выше пример 3').
Интегралы второй группы бе- рутся путем и-кратного применения формулы интегрирования по частям (8.9), причем в качестве и(х) всякий раз следует брать (ах+ Ь) в соответствую!цей степени. После каждого интегрирова- ния по частям эта степень будет понижаться на единицу. 3) К третьей группе относятся интегралы вида !пак з!пЬхах, !езкз!пЬхг(х, ) з!и (!пх)г(х, ) соз (1пх)йх, ... (см. рассмотренный выше пример 4'). Обозначая любой из интегралов этой группы че- рез ! и производя двукратное интегрирование по частям, мы соста- вим для 1 уравнение первого порядка. Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех без ис- ключения интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям.
Приведем примеры интегралов, не входящих ни в одну из перечисленных трех групп, но вычисляемых при помощи фор- мулы (8.9). Г как 5'. Вычислим интеграл ! = ! †, . Этот интеграл не входит 5!и к ни в одну из упомянутых трех групп. Тем ие менее, применяя ак формулу (8.9) и полагая в ней и=х, г(п= —, получим мпз к Ни=с(х, и= — с!ух, Г сов хг(к У= — хс!их+~с(йхг!х= — хс(их+ ! з!ил = — хс(их+ ч = — хс!йх+!п(в!пх(+С Р а(5!и к) з!и к (в проведенных рассуждениях х~пп, где в=О, .ь1...).
Г как Аналогично вычисляется интеграл ,) сжзх 6'. Вычислим„наконец, весьма важный для дальнейшего интеграл Ка =~ „, где п=сопз1, Л=1, 2, ... *е. Этот интегб! (!з+ а') рал также не входит ни в одну из упомянутых выше трех групп. ь В случае, если подынтегральная функция содержит в качестве множителя (агс(кк)з, (агссозх!', ..., формулу интегрирования по частям (8.9) придется применить дважды. " Для обозначения переменной под знаком этого интеграла нам удобнее писать букву Ь $ 3 Клессы функций, интегрируемых н элементарных функциях ЗОЗ Для вычисления этого интеграла установим для него рекуррентйь ю формулу, сводящую вопрос о вычислении К, к вычислению ,.
Можно записать (при Х~[): 1 (' ~~ сн 1 [" [(Р + ае) — Р] сй а',) (Р+ а')" а',) (Р+ а')х 1 (' ае 1 (' 21Ш 1 1 (' а(Р+ ах) = — Кх-~ — — ( 1 ае,) (Р— а') ~ 2ае 1 (Р+ ае)х ае 2ае,) (Р+ а')' ' Для вычисления последнего интеграла применим формулу интега(Р+ а') рнрования по частям (8.9), полагая в ней и=(, до= (Р+ае)л ' Получим с[и=И, о=— 1 (Х вЂ” 1)(1е+ах)~ ' ! 1 Кх= — Кх ~+ ае 2ае (й — 1) (Р + а')Х ' 2ае (й — 1) Из последнего равенства получим рекуррентную формулу 2а' (Х вЂ” 1) (Р + а')х ~ ае (2Х вЂ” 2) Убедимся в том, что рекуррентная формула (8.12) позволяет вычислить интеграл Кх для любого Х=2, 3, ....
В самом деле, интеграл К~ вычисляется элементарно: а После того как вычислен интеграл Кь полагая в формуле (8.12) Х=2, мы без труда вычислим Кх. В свою очередь, зная Кх н полагая в формуле (8,12) А=3, мы без труда вычислим Ке. Продолжая действовать таким образом дальше, мы вычислим интеграл [Г,, для любого натурального Х, выразив его через элементарные функции. $3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ Н ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ Хотя, как уже отмечалось выше, неопределенный интеграл от элементарной функции может не выражаться через элементарные функции, все же существуют широкие классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции.
Изучению таких классов функций и будет посвящен настоящий параграф. Наиболее важным среди указанных классов функций является класс р а ци он альп ых дробей, представляющих собой от- 304 Гл. 8..Перапобразная функция и неопределенный интеграл ношение двух алгебраических многочленов. Изучению класса раа циональных дробей мы предпошлем краткие сведения о комплекс. ных числах и об алгебраических многочленах. 1. Краткие сведения о комплексных числах. Два вещественнвак числа х и у мы будем называть упорядоченной парой, если указано, какое из этих чисел является первым, какое Вторым.
Упорядоченную пару вещественных чисел х и у будем обозначать символом (х, у), записывая на первом месте первый элемент этой пары. Комплексным числом называется упорядоченная пара ('х, у) вещественных чисел, первое из которых х называется де йствительной частью, а второе у — мнимой частью этого комплексного числа, В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующую пару (х, 0) договариваются отождествлять с вещественным числом х. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как подмножество комплексных чисел.
Два комплексных числа г1 = (хь у|) и ге= (хм уз) называются равным и, если х1 — — ха, У1=уз. Говорят, что комплексное число г=('х, у) равно нулю, если х=О и У=О. Определим операции сложения н умножения комплексных чисел. Поскольку вещественные числа являются подмножеством комплексных чисел, эти операции должны быть, определены так, чтобы в применении к двум вещественным числам они приводили к уже известным нам из Ч 4 гл. 2 определениям суммы и произведения вещественных чисел. Суммой двух комплексных чисел г~ —— (хь у~) и ге=(хь уа) назовем комплексное число г вида г=(к~+ха, у,+у,).
(8. 13) Произведен нем двух комплексных чисел г~= (хь У1) и гг= (хь уз) назовем комплексное число г вида г= (хгхз — У~уз х1уз+хзу~) . (8. 14) Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же самыми свойствами, что и сумма и произведение вещественных чисел. Именно справедливы следующие свойства; 1'. г1+г,=гз+г| (переместительное свойство суммы). (г~+га)+гз=г|+ (ге+ге) (сочетательное свойство суммы). 3'. и+(О, 0) =г (особая роль ч ела (О, 0)).
4'. Для каждого числа г= (х, у) существует противоположное ему число г'= ( — х, — у) такое, что г+г'= (О, 0). 5'. г|.ге=ге г, (переместительное свойство произведения). 6', (г, г,) гз=г,. (гз г,) (сочетательное свойство произведения). 7'. г (1, 0) =г (особая роль числа (1, 0)). З 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях ЗОВ 8'. Для любого комплексного числа г= (х, у), не равного ну- У лю', существует обратное ему число г = ( та+ уз / кое, что г.г'= (1, 0).
9'. (гг+гг) гз — — гыгз+гз гз (распределительное свойство произведения относительно суммы). Свойства 1' — 9' позволяют утверждать, что для комплексных чисел полностью сохраняются все правила элементарной алгебры„ относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств. Кроме того, эти свойства полностью решают вопрос о вычитании комплексньзх чисел как о действии, обратном сложению, и о делении комплексньгх чисел как о действии, обратном умножению. Р а з но с т ь ю двух комплексных чисел г~= (хь у~) и =(хь уз) называегсл такое комплексное число г, которое в сумме с г, дает гь С помощью свойств 1' — 4' элементарно устанавливается существование и единственность разности двух любых комплексных чисел *.
Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел г, = (хь у~) и гз= (хз, уз) является комплексное число г вида г- (х~ — хз, у~ — уз). (8.15) Частя ым двух комплексных чисел г1=(хь у1) и ге= (хз,уз), второе из которых не равно нулю, называется такое комплексное. число г, которое при умнозкении на гт дает гь С помощью свойств 5' — 8' легко установить, что единственным частным двух указанных комплексных чисел является комплексное число г: вида хгхз + УгУз хзУз хтУз ) г= =( з ' з 2 4+Уз ' ",+,У, В операциях с комплексными числами особую роль играет число, представимое парой (О, 1) и обозначаемое буквой г. Умножая эту пару самое на себя (т.
е. возводя ее в квадрат), получим в силу определения произведения комплексных чисел (О, 1) (О, 1) =' ( — 1,0) = — 1, т. е. 1т= — 1. Заметив это, мы можем любое комплексное число г= (х, у) представить в виде г= (х, У) = (х,О) + (О, у) = (х, 0) + (у, 0) (О, 1) =х+ гу. В дальнейшем мы будем широко использовать для комплекс- ного числа г=(х, у) представление г=х+гу.
Это представление: ' Для этого следует дословно повторить рассуждения, проведенные в гл.2'. для случая разности двух вещественных чисел (см. и. ! $5 гл. 2). зоб Гл. 3 Пераообразная функция и неопределенный интеграл и рассмотрение Г в качестве множителя, квадрат которого равен — 1, позволяет производить операции с комплексными числами так же, как они производятся с алгебраическими многочленами. Комплексное число г=(х, — у) =х — Гу принято называть сопр яж е н н ы м по отношению к комплексному числу г= (х, у) = =х+су. Очевидно, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное ему число', Для геометрического изображения комплексных чисел удобно пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. Прн этом комплексное число г= (х, у) изображается или точкой М с координатами (х, у), нли вектором ОМ, идущим из начала координат в точку М.
При таком способе изображения сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению н вычитанию соответствующих нм векторов (это понятно из формул (8.13) н (8.15)). Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает следующее ут в е р ж де н не: произведение двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один из сомножителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
