ilin1 (947407), страница 59
Текст из файла (страница 59)
1) Необходимость, Пусть график функции у=)(х) имеет при х-+-+со асимптоту (7.8), т. е. для 1(х) справедливо представление (7.9). Тогда !пп — = !пп 1(х) . ох+ Ь+ ц(х) . Г Ь а(х) 1 = 1пп 1/г+ — + — 1 =(е, « ~+««х «3+Ф х «-,+~ ~ х х !цп [[(х) — Ьх~)= 1пп [Ь+а(х)[=Ь. « ~+Ф «-«+ Ф (7.10) 2) Достаточность.
Пусть существуют пределы (7.10). Второй из этих пределов дает право утверждать, что разность 1(х)— — )ех — Ь является бесконечно малой при х -+со. Обозначив эту бесконечно малую через а(х), получим для 1(х) представление (7.9). Теорема доказана. 3 а и е ч а н н е. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 7.11 и для случая х- — оо.
2««+ х П Р и м е Р. ГРафик фУнкции У = — имеет наклонную х+1 1 П р и м е р. График функции у= — имеет вертикальную х 1 1 аснмптоту х=0, ибо 1цп — = + со, 1!гп — = — — со (рис. 7.14) «- о+о х оо х Предположим, далее, что функция у=)(х) определена для сколь угодно больших значений аргумента.
Ради определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения положительного знака. Определение 2. Говорят, что прямая У =йх+Ь (7.8) $5. Построение графика функции асимптоту У=2х — 1 и при х- +со, и при х- — со и, кроме того, имеет вертикальную асимптоту х= — 1 (рис, 7.15). В самом деле, 1ип — = 1ип =2, 7(х) . 2хк+ х к тк х «-~як к(х+ 1) 1'ии 11 (х) — 2х) = 1 ив ~ — 1 + — 1 = — 1, 1 к-ка к к-ке о х+1~ 1ип 1(х) = + оо, 1!гп 7'(х) = — оо. к-~ — Н-о к-1 — ! — о Наряду с линейной асимптотой (7.8) рассматривают также и асимптоты более сложного вида.
Говорят, что парабола п-го порядка, определяемая лногочленом у=а х +а„1х"-'+ ... +а,х+а„ (7.8*) является а с и м п т о т о й графика функг(ии у=((х) при хк-+ос, если функг(ая )~х) представила в виде )(х) =а ха+а„1х" '+ ... +а1х+ао+а(х), 1ип и(х)=0. к"к+ к Легко доказать следующее уттверждение. Длч того чтобы график функг(ии у =1(х) имел при х-к + оо Рис. 7.15 асимптоту (7.8*), необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие п+1 пределов: 1ип — = а„, 1ип 7 (х) . 7(х) — а„х" =а„ь ..., + хк ы к 1 хк-г (х) — (а„х" + а гх" 1 -1- ... -1- акх') 1ип а„ х +с х 1ип [7 (х) — (а„х" + а„ ~х"-' + ... + а,х)] = а,.
к-к+к й 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ В этом параграфе мы изложим схему, по которой целесообразно проводить исследование графика функции, и приведем пример, иллюстрирующий эту схему. Гк. 7.'Исслецоваиие графика функции 262 Для исследования графика функции у=!'(х) целесообразно прежде всего провести следующие исследования: 1'. Уточнить область задания функции. 2'.
Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных). 3'. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума. 4'. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба. 5'. Найти'точки пересечения графика функции с осью Ох. По полученным данным легко строится эскиз графика функции. В качестве примера построим график функции у= ха — 5ха -1- Рэх — 15 (7.11) Будем следовать изложенной выше схеме. 1'. Поскольку функция (7.11) представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду на бесконечной прямой, кроме точки х=О, в которой обращается в нуль знаменатель.
2'. Выясним вопрос о существовании асимптот. Очевидно, что ка — 5ха + 19к — 15 1нп, = — оо, а+а «а поэтому график функции имеет вертикальную асииптоту х=О. Далее, нз существования пределов !!гп — = 1!гп ха — 5ха -1- 19:г — 15 к-~к к х ', к-~Э ха 5 19 15 1 = 1пп (! — — + — — ) =1 а к-~к в х х ха) ха — 5ха+ 19х — 15 — ха к Кс к Ьк ха 19 15 ) = !нп ( — 5+ — — — )= — 5 к «Ф х х' к вытекает, что прн х-к.+оо н при х- — оо график функции имеет наклонную асииптоту У = х — 5. 3'. Для нахождения областей возрастания и убывания вычислим первую производную функции (7.11): х — 19х+ 30 (х+ 5) (х — 2) (х — 3) ха ха Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не,существуют при х=О, мы получим следующие области сохранения знака у: 283 $5.
Построение графика функции а<к<+ < к < — 5 -5 < к < О О<к<2 2<к<О Облесть значения к Знак д' убываег Поведение функции возрастает убывает возрастает возрастает Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума: 1) максимум при х= — 5, причем 1( — 5) = — 14, 4; 2) максимум при х=2, причем 1(2) =2,75; 3) минимум при х=3, причем 1(3) =2,666.... 4'. Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную 45 ) зр( — — ) 121 882 — 90 1 19 ! кз кз о<к<— 45 19 — < к < -1- 15 19 Область назченяа к —.- <к<о Знак у(з) Направление выпукло- сти графика вверх вниз вверх Из приведенной таблицы очевидно, что график функции имеет 545 (45'1 перегиб в точке ( —, 1 ( — )).
Легко подсчитать, что 19 (, 19) 5'. Остается найти точки пересечения графика с осью Ох.'Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения х' — 5х'+19х — 15 = О. Легко видеть, что х' — 5хз+19х — 15 не (х — 1) (х' — 4х+15) . Поскольку квадратный трехчлен х' — 4х+15 не имеет вещественных корней, то рассматриваемое уравнение имеет только Один ве- Имея в виду, что сама функция и ее производные не существуют в точке х=О, мы получим следующие области сохранения 'знака у121.
284 Гл. 7. Исследование графика функции шественный корень х=1, так что график функции пересекает ось Ох в точке (1,0). Пополученным данным строим эскиз графика рассматриваемой функции (рис. 7.16). $6. ГЛОБАЛЪНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Отыскание максимального и минимального значений функции, определенной на сегменте. Рассмотрим функцию у=)(х), определенную на сегменте [а, Ь] н непрерывную на нем. До сих пор мы Рнс. ?.16 занимались лишь отысканием локальных максимумов и минимумов функции.
Теперь поставим задачу об отыскании глобальных максимумов и минимумов или, по-другому, об отыскании максимального и минимального значений 1(х) на сегменте [а, Ь]. Подчеркнем, что в силу теоремы Вейерштрасса (см. теорему 4.15 из гл. 4) непрерывная функция [(х) обязательно достигает в некоторой точке сегмента [а, Ь] своего максимального (минимального) значения, Ради определенности остановимся на отыскании максимального значения 1(х) на сегменте [а, Ь]. Максимальное значение функции 1'(х) может достигаться либо во внутренней точке хо сегмента [а, Ь] (тогда оно совпадает с Рнс. 7.17 Рнс.
7.18 одним из локальных максимумов функции [(х)) (рис. 7.17), либо на одном из концов сегмента [а, ь] (рис. 7.18). Отсюда ясно, что для нахождения максимального значения функции 1(х) на сегменте [а, Ь] нужно сравнить между собой значения 1" (х) во всех б б Краевой акстремум точках локального максимума и в граничнььх точках сегмента а и Ь.
Наибольшее из этих значений' и будет максимальным значением ((х) на сегменте [а, Ь[. Аналогично находится и минимальное значение 7"(х) на сегменте [а, Ь[. Если желательно избежать исследования стационарных точек, то можно просто сравнить между собой значения 7(х) во всех стационарных точках и в граничных точках а и Ь, Наибольшее (иаименьшее) из этих значений, очевидно, и будет максимальным (минимальным) значением функции [(х) на сегменте [а, Ь). Отметим далее, что если [(х) имеет на сегменте [а, Ь) лишь одну точку локального максимума (или лишь одну точку локального минимума), то без сравнения значения [(х) в этой точке с 7"(а) и )(Ь) можно утверждать, что это значение является максимальным (минимальным) значением [(х) на сегменте [а, Ь[ (рис. 7А9).
Рис. 7.20 Ркс. 7Л9 Аналогичными средствами решается вопрос об отыскании максимального (минимального) значения функции у=7(х) иа интер. вале, полупрямой и бесконечной прямой (при условии, что это значение существует) . Может случиться так, что дифференцируемая функция вовсе не имеет на сегменте [а, Ь[ (или полупрямой а(х(+ос) стационарных точек. В таком случае 7(х) является монотонной на этом сегменте (полупрямой) и ее максимальное и минимальное значения достигаются на концах этого сегмента (на конце этой полупрямой). В качестве примера рассмотрим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции у=з1п(ха) на сег- )Яби менте — ) и < х ~( 2 Поскольку у'=2хсоз(ха), указанная функция имеет на рас- сматриваемом сегменте три стационарные точки: х=б и х = .+ Ъя' —,Сравнивая значения функции в указанных точках 1' 2 и на концах сегмента 288 Гл.
7. Исследованве графика функции /Уйи1 5я Уй г" ~ — 1 = 81п — = — —, 2 ) 4 2 убедимся в том, что максимальное значение рассматриваемой функции равно +1 и достигается в двух внутренних точках ссгмента: х, = — 2 — и х, = а / —, а минимальное значение рассматриваемой функции равно — — и достигается на правом тг 2 2 .конце сегмента у' 5и 2 График рассматриваемой функции изображен на рис. 7.20. 2.
Краевой экстремум. Пусть функция у=)(х) определена на некотором сегменте [а, Ь) . Будем говорить, что эта функция .илгеет в граничной точке Ь этого сегмента к р а е в о й м а к с им ум (краевой минимум), если найдется левая полуокрестность точки Ь, в пределах которой значение [(Ь) является наибольшим (наименьшим) среди всех других значений этой функции. Аналогично определяются краевой максимум и краевой минимум в граничной точке а сегмента [а, Ь[. Краевой максимум и краевой минимум объединяются общим ,названием: кр а евой э кот р е м у м.
Имеет место следующее достаточное условие краев о г о э к ст р е м у м а: для того чтобы функция у=[(х) имела в точке Ь сеглгента [а, Ь] краевой максимум (краевой иинимум), достаточно, чтобы эта функция имела в точке Ь положительную (отрицательную) левую производную *. (Д о к а з а т е л ь с т в о совершенно аналогично доказательству теоремы 7.1.) Из указанного достаточного условия краевого экстремума непосредственно вытекает следующее необходимое условие краевого э кс т р е м у м а функции, имеющей в точке Ь левую производную: для того чтобы функция у=((х), обладающая в точке Ь ле.вой производной, имела в этой точке краевой максимум (краевой минимум), необходимо, чтобы указанная производная была неотрицательной (неположительной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
