ilin1 (947407), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2 8 (6.86) Из формул (6.82), (6.83) и (6.86) следует, что х« х« х« х« 1 1 — — + — + о (х') — 1 + — — — — + а (х) 1=1!гп 2 8 2 24 . 12 — 1!гп о »«+ о (х« ) «о 1+а(х) 1 12 о (х') величину . являю «4 (так как при малых х зто выражение положительно); 1 Х« т !п у =' !п ~соз х + — ), Х (5!П Х вЂ” Х) 2 ) хк ! !п ! совх+ — ~ ! !гп 1п у =! Пп 2 т к-»О К"»О Х (5ИИ Х вЂ” Х) Вычислим (Здесь символом а(х) мы обозначили щуюся бесконечно малой при х-5-0.) ! .5 . х!5!их — «! 3'.
1=-1!щ (созх+ — х) . Обозначим через у величину «но 2 ! ! ! «1»!и« вЂ” «! у = (созх+ х ) . Тогда 1=1!щу. Прологарифмируем у 2 к- О 9 10, Примеры приложений формулы Манлореиа 261 Учтем теперь, что )п(1+а) =к+о(х). Из этой формулы 1п (] + — +о(х') ) = — +о(хз). Таким образом, 24 / 24 «4 1 о (хз) — +о(х ) — +— 1пп ]п у = 1пп 24 — 1ип 24 к' х О х-~о хз х о — — + о (кз) б — — +о(х) 6 1 1=1(пту=е о Отсюда Программа вычислении числа е Система Алгол — БЭСМ6, вариант 10 — 12 — 69 Ьей!п 1п1едег г', с, р, и, гп; !и[снег аггау а, Ь, е [О: 601); вс:=400,' гпагд (39, 60, 39, 10, О, О); е10]:=1; Ь[0]:=1; 1ог г:=1 з1ер 1 ипЯ 601 бо аЯ:=ЬЯ: =еЯ: 0; (ог и: =1 з1ер 1 ипп1 гп до Ьек(п 1ог 1: =0 з1ер 1 ипЯ 600 йо а[1]; -ЬЯ; с: а[0]; 1ог ! =0 з1ер 1 ипп( 600 «(о Ьен1п Ь Я: =с —:и; с: = (с — пХЬ [1]) Х10+а [!+!] епб р: 0 1ог 1:=600 з!ер — 1 ипЯ 0 «(о Ьек!и с: =е Я+Ь[г1+р; р:=0 П с<10 1пеп в [1]: =с е!зе Ье01п е[1]: =с — 10; р: 1 епд епб епб Еог и: =1 з1ер 1 ппП! б е(о Ьек!п оигРи1 ('101', 'хд.', в [0]); 1ег 1: =1 егер 1 йпЯ 590 Йо оюри1 ('«4'.
в Я) епй епи х' х' «з Поскольку созх=1 — + — +о(х'), з[пх=х — +о(х'), 2 24 б хз !и (1+ — + о (хз)) получим 1пп!пу=][гп 24 к з х-+о хз — — -1- о (хз) б Глава 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ В настоящей главе мы применим разработанный в предыдущих двух главах аппарат дифференциального исчисления для исследования графика функции н для отыскания как локальных, так и глобальньгх экстремумов функции. 5 г. ОтыскАние стАциОнАРных тОчек 1. Признаки монотонности функции.
Из предыдущей главы мы уже знаем, что изучение вопроса об участках монотонности дифференцнруемой функции 1(х) сводится к исследованию знака первой производной этой функции, Для удобства сформулируем еще раз найденные нами в предыдущей главе условия монотонности функции. 1'. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция 1(х) не убывала Гне возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная Г'(х) этой функции была неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервала. 2'.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция г(х) возрастала (убывала) на интервале (а, Ь), достаточно, чтобы производная ~'(х) была гголожительна (отрицательна) всюду на этом интервале. Найдем участки монотонности функции )'(х) =хг — Зх' — 4. Производная ~'(х) =Зх(х — 2) этой функции положительна при — ьь<х<0, отрицательна при 0<х<2 и положительна при 2< <х<+оо. Поэтому, согласно сказанному, данная функция 1(х) возрастает на полупрямой ( — оь, 0) убывает на интервале (О, 2) и возрастает на полупрямой (2, +со).
График этой функции изображен на рис. 7.1. 2. Отыскание стационарных точек. Напомним- определения локального максимума и локального минимума функции. Пусть функция г(х) определена всюду в некоторои окрестности точки с. Тогда эта функция имеет в точке с локальный максимум (или соответственно локальный минимум), если существует такая окрестность точки с, что для всех точек этой окрестности значение ((с) является наибольшим 1или соответственно наименьшим) среди всех значений г"(х) этой функции. й 1. Отыскание стационарных точек 263 Локальный максимум и' локальный минимум объединяются общим названием локальный экстре м ум. В $1 предыдущей главы нами было установлено необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Это условие имеет следующий вид: если 4ункция у= у =1(х) дифференцируема в данной точке с и имеет в этой й точке локальный экстремум, ! м то у~с) =О. Вместе с тем в $ 1 гл. 6 было указано, что обращение в нуль производной является а только необходимым и н е ! ! является достаточным у с л о н и е м локального экс- ! тремума дифференцируемой в ! данной точке функции. Так, функция ~~х) =ха имеет производную ('(х) = =Зхт, обращающуюся в нуль а точке х=О, но никакого экстремума в этой точке х=О функция 1(х) =ха не имеет (график этой функции см. на рис.
6.2). Точки, в которых производная !'(х) функции !'(х) обращается в нуль, будем называть с т а ц и о н а р н ы м и точками 4ункции ((х). Каждая стационарная точка — это точка возможного экстре. мума функции. Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке на самом деле имеется экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, для проведения которого мы должны установить достаточные условия экстремума. Такие условия будут установлены в ближайших трех пунктах. 3. Первое достаточное условие экстремума.
Теорем а 7,1. Пусть функция ((х) ди4ференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, и пусть точка с является стационарной точкой функции ((х). Тогда если в пределах указанной окрестности производная ~'(х) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция г(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум).
Если же в пределах указанной окрестности точки с производная ~'(х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. Доказательство. 1) Пусть сначала производная !'(х) в пределах рассматриваемой окрестности положительна (отрица- 264 Гл. 7. Исследование графика фуикиии тельна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с.
Требуется доказать, что значение 1(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений )(х) в рассматриваемой окрестности. Обозначим через хо любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от с. Достаточно доказать, что 1(с) — г(хо) )О (<О). Так как функция )(х) дифференцируема всюду в рассматриваемой окрестности точки с, то на сегменте, ограниченном точками с и хо, для функции 7"(х) выполнены все условия теоремы 6.4 Лагранжа.
В силу этой теоремы )(с) — ~(хо) =~'(и) (с — хо), (7.1) где $ — некоторое значение аргумента между с и хо. Поскольку производная г'(6) положительна (отрицательна) при х,<с и отрицательна (положительна) при хо)с, правая часть (7.1) положительна (отрицательна). 2) Пусть теперь производная 7"'(х) имеет один и тот же знак слева и справа от с.
Обозначая, как и выше, через хо любое значение аргумента, отличное от с, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы теперь докажем, что правая часть (7.1) имеет разные знаки при хо<с и при хо>с. Это доказывает отсутствие экстремума в точке с. Вытекающее из теоремы 7.1 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную стационарную точку с производная г'(х) меняет знак с плюса на минус (с минугуа на плюс), то функция 7(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум)7 2) если же при переходе через данную стационарную точку с производная 7" (х) не меняет знака, то экстремума в точке с нет.
П р и м е р ы. !) Найти точки экстремума функции )(х) = =х' — Зха — 4. Поскольку )'(х) =Зх(х — 2), то функция 1(х) имеет две стацйонарные точки: х=О и х=2. При переходе через точку х=О производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=2 — с минуса на плюс. Следовательно, х= =Π†точ локального максимума, а х=2 — точка локального минимума (см.
рис. 7.1). 2) Найти точки экстремума функции 1'(х) = (х — 2)а, Производная Г'(х) =5(х — 2)' обращается в нуль в единственной точке х=2. Так как Г'(х) положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция Цх) =(х — 2)' не имеет точек экстремума. График функции )(х) = (х — 2)а изображен на рис. 7.2. Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной )'(х) слева и справа от стационарной точки.
На этот случай мы укажем другое достаточное условие экстремума в данной стационарной точке с, не требующее исследования знака 265 $ !. Отыскание стационарных точек )и(х) в окрестности с, но зато предполагающее существование в точке с отличной от нуля конечной второй производной 1Ча1(х). 4. Второе достаточное условие экстремума.
Теорема 7.2. Пусть функция 1(х) имеет в даннои стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция 1(х) имеет в точке с локальный максимум, если 1!а>(с) <О, и локальный минимум, если 11а>(с) )О. Доказательство. из условия 11а1(с)<0 ()0) и из доказанной в гл. 6 теоремы 6.1 вытекает, что функция 1'(х) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию 1'(с) =О, то най- Рис. 7.2 Рис. 7.3 дется такая окрестность точки с, в пределах которой !'(х) положительна (отрицательна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с.
Но тогда по предыдущей теореме 1(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум) Замечание. Теорема 7.2 имеет, вообще говоря, более узкую сферу действия, чем теорема 7.1. Так, теорема 7.2 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная 11а1(х) не существует в точке с, а также для случая, когда ра1(с)=0. В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков', что будет сделано нами ниже в п. 5.
П р и м е р ы. 1) В неподвижную чашку, имеющую форму полушара радиуса и, опушен однородный стержень длины (рнс. 7.3). Предполагая, что 2г<1<4т, найти положение равновесия стержня. Положению равновесия стержня соответствует минимальное значение его потенциальной энергии, т. е. наиннзшее положение центра его тяжести О (поскольку стержень является однородным, центр тяжести его совпадает с его серединой). Обозначая через ОК перпендикуляр к плоскости, на которой стоит чашка, 2бб Гл. 7. Исследование графика функции мы сведем задачу к отысканию того положения стержня АВ, при котором отрезок ОК имеет минимальную длину.
Прежде всего вычислим длину отрезка ОК как функцию угла а наклона стержня к плоскости, на которой стоит чашка. Пусть прямая РЕ параллельна прямой ОК, а прямая ОС перпендикулярна ОК (Р— точка, в которой стержень опирается на край чашки). Из рассмотрения прямоугольного треугольника ЕАР следует, 1 ято АР=ЕРсова=2гсова. По условию АО= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
