ilin1 (947407), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

точке с). В силу леммы 2 в малой окрестности точки с график .функции у=1(х) лежит слева и справа от с по разные стороньг от касательной, проходящей через точку М(с, 1(с)), а потому функция Е(х) в малой окрестности точки с имеет слева и справа. от с разно>е знаки. Значит, функция г(х) не может иметь в точке с локального экстремума. Предположим теперь, что )>з>(с)ФО. Тогда, поскольку Е'(х) = = 1'(х) — 1'(с), Е(з> (х) = 7"> (х), выполняются условия Г'(с) = О;, Е< >(с)МО и функция Е(х) в силу теоремы 7.2 имеет в точке с ло- кальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что предположение г'>(с)ФО является неверным, т. е. 7а>(с) =О.

Тео- рема доказана. Тот факт, что обращение в нуль второй производной является лишь необходимым условием перегиба графика дважды днффе- ренцируемой функции, вытекает, например, из рассмотрения 276 Гл. 7. Исследование графика функции графика функции у=х". Для этой функции вторая производная у"=!2х' обращается в нуль в точке х=О, но ее график не имеет перегиба в точке М(0, 0). В силу теоремы 7.7 для отыскания всех точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции у=)(х) нужно рассмотреть все корни уравнения Га>(х) =О.

Поскольку равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба, то нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой точке, для которой Га'(х) = О. Для проведения такого исследования следует установить достаточные условия перегиба, к чему мы и переходим. 2. Первое достаточное условие перегиба. Т е о р е м а 7.8. Пусть функция у=((х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и Г"а'(с) =О, Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная Рт) (х) имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке М (с, 1(с) ) .

До к а з а тел ь ство. Заметим, во-первых, что график функции у=((х) имеет касательную в точке М(с, 1(с)), ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной 1'(с). Далее, из того, что Р"(х) слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы 7.5 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным. Теорема доказана.

П р и м е р. Найти точки перегиба графика функции 1" (х) = =х' — Зх' — 4. Эту функцию мы неоднократно рассматривали выше (график ее изображен на рис. 7.1). Поскольку Тз~(х) = =бх — 6=6(х — 1), то единственное значение аргумента, для ко. .торого возможен 'перегиб, есть х= 1. Этому значению аргумента соответствует точка графика М (1, — 6). Так как Гт'(х) имеет разные знаки при х)1 и при х<1, то точка М(1, — 6) является точкой перегиба графика рассматриваемой функции. 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия пере- тиба. Прежде всего заметим, что в условиях теоремы 7.8 можно отказаться от требования двукратной дифференцируелости функ,ции у=((х) в самой точке с, сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от с.

При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной' Г'(с). Доказательство теоремы 7.8 с указанными изменениями дословно совпадает с доказательством, приведенным выше. Далее можно договориться при определении точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке параллельна оси Оу*, При такой договоренности в теореме 7.8 можно отказаться даже от требования однократной * В этом случае первая производная р(к) в точке с принимает бесконечное значение. $3. Точки перегиба 277 дифференцируемости функции )(х) в самой точке с и сформулировать эту теорему следующим образом: Пусть функция у=Их) имеет конечную вторую пооизводную всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть мозкет, самой точки с. Пусть, далее, функция у= — 1(х) непрерывна в точке с и график этой функции имеет касательную* в точка М(с, 7(с)).

Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная (!а!(х) имеет разные знаки слева и справа от точки с, то график функции у=)(х) имеет «у перегиб в точке М(с, 1(с)). Доказательство сформулированного утверждения полностью аналогично доказательству о теоремы 7.8. П р н м е р. Найти точки перегиба графика функции у=хна. Эта функция имеет вторую производную всюду на бесконечной прямой, за исключением точки х=О. В точ- Рис.

7.11 ке х=О рассматриваемая функция непрерывна, ио уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции у=хи' имеет в точке (О, 0) касательную, параллельную оси Оу'* (рис. 7.11). 2 1 Так как вторая производная уол = — —, имеет слева и 9 хагв справа от точки х=О разные знаки, то график функции у=хна имеет перегиб в точке (О, 0). 4. Второе достаточное условие перегиба. На случай, когда нежелательно исследование знака второй производной в окрестности точки с, мы сформулируем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции у=1(х) в точке с конечной третьей производной.

Теорем а 7.9. Если функция у=Цх) имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям Я(с) =О, )га!(с)чьО, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, 7(с)). Доказательство. Из условия )га!(с)~0 и нз теоремы 6.1 вытекает, что функция (оо(х) либо возрастает, либо убывает в точке с.

Так как 7!х!(с) =О, то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой )а>(х) имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции у=7(х) имеет перегиб в точке М(с, ) (с)). ' Быть может, параллельную осн Оу. Эте вытекает, например, иа того, что график обратной функции хб уа имеет в атой точке касательную х=о. Гл. 7. Исследование графика фувкквв 3 а м еч а н не.

Конечно, теорема 7.9 имеет более узкунг сферу. действия, чем теорема 7.8. Так, теорема 7.9 не решает вопроса о наличии перегиба для случая, когда у функции у=)(х) не существует конечной третьей производной, а также для случая, когда 1(а>(с) =О. В последнем случае для решения вопроса о наличии перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших. порядков, что будет сделано нами ниже (см.

п. 5). Возвратимся к примеру, рассмотренному в п. 2, и покажем, что вопрос о наличии перегиба у графика функции у=х' — Зх' — 4 может быть решен и при помощи теоремы 7.9. В самом деле, )<а>(х) =6МО, значит, точка М(1, — 6) является точкой перегиба согласно теореме 7.9. б. Третье достаточное условие перегиба. Установим еще одное достаточное условие перегиба, пригодное для случая, когда в данной точке с обращаются в нуль как вторая, так и третья производные рассматриваемой функции. Аналогом теоремы 7.3 является следующее утверждение. Теорема 7.10.

Луста п)2 некоторое четное число, и пусть функция у=)(х) имеет производную порядка и в некоторой окрестности гочки с и производную порядка и+1 в самой точке с. Тогда, если выполнены соотношения (<а>(с) =)>а>(с) = . =Я>(с) =О, 1(аы>(с)ФО, (7.3*), го график функции у=> (х) имеет перегиб в точке М(с, 7(с)). Дока з а тельство, При п=2 теорема 7.10 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7,9, так что нужно вести доказательство лишь для четного п)4. Пусть четное число и удовлетворяет условию пъ4, н пусть )ы+»(с) МО. Тогда, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания нли убывания функции в точке, функция )гл>(х) либо убывает в' точке с (при 1("+»(с) (0), либо возрастает в втой точке (при 1(вы>(с)>0).

Поскольку, кроме того, )>а>(с)=0, то н ь том, и в другом случае всюду в достаточно малой окрестност>ь точки с функция )са>(х) имеет разные знаки справа и слева от с Заметив зто, разложим функцию 7>а>(х) в окрестности точки а по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см, з 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между х и с найдется точка с тае кая, что Ра>(х)=Р>(с)+ " (') (х — с)+ ...

+ ~ (') (х — с), + 11 (л — 3)1 ра>а),, 4„, (в — 2)! 279 $4. Асииитогы графика функции В силу соотношений (7.3«) написанное разложение принимает вид 71и(х) = (х — с)"-'. 1(«1 («н) (7.4*) 1 и — 2)! Выше мы установили, что 'для всех х из достаточно малой *окрестности точки с производная )оо(х) имеет разные знаки справа и слева от с. Так как ~ лежит между х и с, то для всех х из достаточно малой окрестности точки с величина 71">5) (а значит, в силу четности п и вся правая часть (7.4«)) имеет разные знаки справа и слева от с. Итак, в силу равенства (7.4') для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная 1И1(х) имеет разные знаки справа и слева от с. В силу теоремы 7.8 график функции у=7(х) имеет перегиб в точке М(с, ((с)).

Теорема доказана. Замечание. Очень важным является требование четности л в теореме 7.10 (сравните эту теорему с теоремой 7.3). Рис. 7.12 эг 7.13 иллюстрируют исследование на экстремум и перегиб графи- Рис. 7.12 Рис. 7.13 ка функции у=(х — 1)"+'. В силу теорем 7.3 и 7.10 эта функция имеет минимум в точке х=1 при нечетном и, а ее график имеет перегиб в точке М(1, О) при четном п (проверьте это сами). а 4. АСИмнтОты ГРАФикА Функции Определение 1. Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимпто той графика функции у=1(х), если хотя бы один из пределов 1пп 7'(х) или 1пп 7'(х) «- «+а «- и — и равен +со или — оо, Гл.

7. Исследование графика функции 2ВО является наклонной асимптотой графика функции у= =1(х) при х — «.+со, если !(х) представимо в виде [(х) = Ьх+Ь+а(х), (7.9) где 1пп а(х) =О. «+Ф Рис. 7.!4 Теорем а 7.!1. Для того чтобы график функции у=)(х) имел х — +со наклонную асимптоту (7.8), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела !пп — =)е и !пп [/'(х) — Ах)=Ь. 7 (х) «.«+ х «-«+ « Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги