ilin1 (947407), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Переходим к рассмотрению этой проблемы. Определение. Функция Р(х) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции )'(х) на интервале (а, Ь), если в любой точке х интервала (а, Ь) функция Р(х) дифференцируема и имеет производную Р',(х), равную )(х). 3 а м е ч а н и е. Аналогично определяется первообразная для функции [(х) на бесконечной прямой и на полупрямой**. * Вместо ускорения материальной точки можно задать дейстаующую на зту точку силу (ибо согласно второму закону Ньютона сила определяет ускорение этой точки).

'ч Ьбожио ввести первообразную для функции Пх) и на сегменте [и, Ь), понимая под такой перзообразной функцию Р(х), имеющую производную Ьб(х) н любой внутренней точке сегмента [а, Ь), равную [(х), и, кроме того, имеющую правую производную Р'(о+О), равную ((а+О), и левую произаодиую Р'(Ь вЂ” О), равную ((Ь вЂ” О). (оч 292 Гл. 8. Первообразиаи функция и иеоцределеииый интеграл ) 1(х) дх. (8.1) П р и м е р ы. 1) Функция Е(х) =) Т вЂ” х' является перво- образной для функции у(х) = — на интервале ( †!, тх! — х' +1), ибо в любой точке х этого интервала ()Г1 — х') = тг 1 — х' 2) Функция Р(х) =з!их является первообразной для функции 1(х) =сов х на бесконечной прямой ( — оо, +оо), ибо в каждой точке х бесконечной прямой (з!и х)'=сов х.

3) Функция Е(х)=!пх является первообразной для функции 1 1'(х)=- — на открытой полупрямой х)О, ибо в каждой точке х х этой полупрямой (!п х)' = —. в Если Р(х) является первообразной для функции 1(х) на интер- вале (а, Ь), то, очевидно, и функция Р(х)+С, где С вЂ” любая постоянная, является первообразной для функции 1(х) на интер- вале (а, Ь). Естественно, возникает вопрос, как связаны между собой раз- личные первообразные для одной и той же функции 1(х).

Справедлива следующая основная теорема. Те о р е м а 8.1. Если Р,(х) и Рз(х) — любые первообразные для функции 1(х) на интервале (а, Ь), то всюду на этом интер- вале Г1 (х) — Рз(х) =С, где С вЂ” некоторая постоянная, Другими словами, две любые первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную. До к а з а т ел ьс т во. Положим Ф(х) =Р,(х) — Рв(х).

Так как каждая из функций Г,(х) и Рв(х) дифференцируема на ин- тервале (а, Ь), то в силу теоремы 5.5 и функция Ф(х) дифферен- цируема иа интервале (а, Ь), причем всюду на этом интервале Ф'(х) =Р1'(х) — Рв'(х) =1(х) — 1'(х) =О. В и. 1 й 4 гл. 6 была доказана теорема 6.5 следующего со- держания: если функция Ф(х) дифференцируема всюду на интер- вале (а, Ь) и если всюду на этом интервале Ф'(х) =О, то функ- ция Ф (х) является постоянной на интервале (а, Ь). Из этой теоремы .получим, что Ф(х) =Е,(х) — Рв(х) =С=сонэ(, что и требовалось доказать.

Следствие. Если Е(х) — одна из первообразнык функ- ций для функции 1(х) на интервале (а, Ь), то любая первообраз- ная Ф(х) для функции 1(х) на интервале (а, Ь) имеет вид Ф(х) =Е(х)+С, где С вЂ” некоторая постоянная, 2. Неопределенный интеграл. Определение. Совокупность всех первообразных функ- ций для данной функции 1(х) на интервале (а, Ь) называется неон редел е иным интегралом от функции 1(х) (на этом интервале) и обозначается символом Е 1. Понятие первообрааной и неопределенного интеграла 293 В этом обозначении знак ) называется з н а к о м и н т е г р а л а, выражение 1(х) йх — поды н т е г р а л ь н ы м в ы р а ж е н и е м а сама функция 1(х) — подынтегральной функцией. Если г(х) — одна из первообразных функций для функции ,'(х) на интервале (а, Ь), то в силу следствия из теоремы 8.1 ) ~(х)йх=-г(х)+ С, (8.2) ' Равенство (8.2) следует понимать как равенство двух множеств.

где С вЂ” любая постоянная *. Подчеркнем, что если первообразная (а значит, и неопределенный интеграл) для функции 1(х) на интервале (а, Ь) существует, то подынтегралоное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообраэных. В самом деле, пусть г (х) — любая из первообразных для функции )с(х) на интервале (а, Ь), т. е. для всех х из интервала (а, Ь) г'(х) =)(х), Тогда )(х)йх=Г(х)йх=с(Г. П р и м е р ы. 1) ~:" с!х=)/1 — х'+ С на интервале Г ! — ха — !<х<1, ибо функция г"(х)=~'! — х' является одной из первообразных для функции с (х) = " на указанном интер)с 1 — ха вале.

2) ) соа хс(х = е)их+ С на всей бесконечной прямой — оо<х<+со, ибо функция г(х) =е(их является одной из перво- образных для функции !(х) =сов х на бесконечной прямой. В этой главе мы не будем заниматься вопросом о существовании первообразных (или неопределенных интегралов) для широких классов функций. Здесь мы лишь отметим, что в $4 гл. 9 будет доказано, что для всякой функции 1(х), непрерывной на интервале (а, Ь), существует на этом интервале первообразная функция (и неопределенный интеграл).

3. Основные свойства неопределенного интеграла. Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла: 1". й ~)'(х)йх=)(х)асх. 2. ~с(р(х)=р(х)+С. Свойство 1' означает, что знаки с( и ) взаимно сокращаются в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

Свойство 2' означает, что знаки ) и с( взаимно сокращаются и в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к г" (х) следует добавить произвольную постоянную С. 294 Гл, 8, Первообрааная функция н неонределенныа интеграл Для установления свойства 1' достаточно взять дифференциал от обоих частей формулы (8.2) и учесть, что йг'(х) = =г'(х)ах=1(х) ах. Для установления свойства 2' достаточно в леной части (8.2) воспользоваться равенством с(Р(х) =)(х) ах. Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла: 3'. ) Ц(х) "-д(х)1йх=))(х)с(х"-5д(х)йх.

4' ЯА!(х)1йх=А57(х)йх (А=сова(). Подчеркнем, что равенство в формулах 3' и 4' имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в формулах 3' и 4', определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого) . Поскольку две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную, то для доказательства свойства 3' достаточно доказать, что если г(х) — первообразная для 1(х), а 6(х) — первообразиая для д(х), то функция Р(х) ~- 6 (х) является первообразной для функции 1(х) ьй(х). Это последнее непосредственно вытекает из того, что произвольная (алгебраической) суммы функций равна сумме производных этих функций, т. е.

1г"(х) + 6 (х) 1' =Г(х) + 6'(х) =1(х) ->д(х). Аналогично доказывается свойство 4'. В этом случае использу. ется равенство 1АР(х)1'-АР'(х) =А!(х). 4. Таблица основных неопределенных интегралов. В гл. 5 мы получили таблицу производных простейших элементарных функций (см. 5 5 гл. 5), представляющую собой вычислительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та илн иная функция г (х) имеет производную, равную 1(х), приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления ))(х) йх= Р(х) + С.

Таким путем мы приходим к следующей таблице основных неопределенных интегралов: 1'. )О й =С. 2 ) 1.ах =х+ С. к"+ х" Нх= — "+С (ачь — 1). о+1 — = 1п ( х ( + С (х 4- .0). е" е(х= — е'+ С. 5'. а" йх=а"у!па+С (0< а~1), 4 !. Понятие пернообрааной и неопределенного интеграла 295 6'. ) з1пхо!х= — созх+С. 7'. ) созхг(х=а1пх+С. 8'. ( = ~ (1+ !да х) г(х = ,! соа'х =1дх+С (хчь — + па, и= — О, ~1, ...). 2 9'. ( — =~(1+с(дах) г(х= — с!их+С(хчьил, где 3 а!пал и=О, =Ы, ). ! т'1 — л' ! — агс сов х+ С лл / агсс(я х+ С, И'.

~ — =1 ! + л' ( — (а х+ С. 12 . ~ = 1п ! х+ )l'х' ~-1! + С (в случае знака «минус» либо Ух~~1 х' 1, либо х( — 1). 13. 1 '!' = — '1п!!+'.!+С (!х~~1). ,! 1 — ла 2 (1 — л! К этим формулам можно присоединить и соответствующие формулы для гиперболических функций: 14'. ) з)!хг(х=сЬх+С. 15'. ) свах!(х=з)!х+ С. 16'. ( — =111х+С. епа х 17'. ( — л = — с11! х+ С (х ~ О). ап х Сделаем замечания в отношении формул 4', 12' и 13'. Формула 4' справедлива для любого интервала, не содержащего значения х=О. В самом деле, если х>0, то из формулы (1пх)'=— 1 х заключаем, что ~! — =!их+С,, а если х<0, то из формулы г г!л л [1п( — х)) = — заключаем, что ~ — =1п( — х)+С.

Тем самым ! ах л ,),х формула 4' оправдана для любого хФО. Формулы 12' и 13' занимают исключительное положение в нашей таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы производных. Однако для проверки формул 12' и 13' достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями. 298 Гл, 8. Первовбразная функция и неопределенный интеграл Наша ближайшая цель — дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами н методами интегрирования. Но прежде чем приступить к реализации этой цели, сделаем одно важное замечание. В гл. 1 и 4 мы ввели понятие элементарной функции, а в п.

Характеристики

Список файлов книги