ilin1 (947407), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Аналогично, для гого чтобы функция у=[(х), обладающая в точке а правой производной, имела в этой' точке краевой макси- ' Для граничной точки а достаточным условием краевого максимума (крае.вого минимума) является отрицательность (положительность) правой производной в точке а. $6. Краевой экстремум 287 мум (краевой минимум), необходимо, чтобы указанная производная была неположительной (неотрицательной). 3. Теорема Дарбу*. Определение. Будем говорить, что функция [(х) имеет производную на сегменте [а, Ь), если [[х) имеет конечную производную в каждой внутренней точке [а, Ь] и, кроме того, имеет конечные односторонние производные ['(а+О) и ['(Ь вЂ” О) .
Очевидно, функция, имеющая производную на сегменте, будет непрерывной на этом сегменте е*. Докажем теперь следующую теорему. Теорем а 7.12 (теорем а Дарбу). Пусть функция 1(х) имеет производную на сегменте [а, Ь), Тогда, каково бы ни было число С, заключенное между А="Г'(а+О) и В= =['(Ь вЂ” О), на этом сегменте найдется точка й такая, что [(В=С. Итак, производная при одном только условии существования на сегменте [а, Ь] принимает любое промежуточное значение. До к а з а тел ь ство.
Сначала докажем следующее утверждение: если г(х) имеет конечную производную на [а, Ь) и если г'(а+О) и г"(Ь вЂ” О) — числа разных знаков, то на сегменте [а, Ь) найдется точка й такая, что Г'(й) =О. Пусть ради определенности Г'(а+0)<0, г"'(Ь вЂ” 0))0. Тогда, функция г" (х) имеет краевой максимум на обоих концах сегмента [а, Ь]. Но это означает, что минимальное значение г(х) на сегменте [а, Ь"1 достигается в некоторой внутренней точке $ этого сегмента (функция г (х) имеет производную, а значит,. и чгепрерывна на сегменте [а, Ь") и поэтому достигает на этом сегменте своего минимального значения).
В указанной точке й функция г(х) имеет локальный минимум, и поэтому Р'(Е) =О. Для доказательства теоремы 7.12 остается положить г"(х) = =[(х) — Сх"** и применить к Р(х) только что доказанное. утверждение. Заметим, что непрерывность производной ['(х) мы ие предполагали. Из теоремы Дарбу сразу же следует доказанное в и. 3 $ 4. гл.
6 утверждение об отсутствии у прозводной точек разрыва первого рода. * Гастон Ларбу — французский математик (1842 — 1917). чч В самом деле. из существования производной р(х) во внутрекаих точках [а, Ь), вытекает непрерывность [(х) во внутренних точках [а, Ь), а из. существования односторонних производных р(л+О) н р(Ь вЂ” О) вытекает непрерывность справа в точке а и слева в точке Ь. *а* При атом мы, не ограничивая общности, предполагаем, что р(а+О) = =А(С(В=Р(Ь вЂ” О). Гл.
7. Исследование графика функнии ЙОНОЛНЕННЕ Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции Предположим, что функция 1(х) задана на сегменте [а, Ь], мы располагаем значениями этой функции в узлах сетки, получающейся при делении сегмента [а, Ь] на 2" равных частей (п=1, 2, 3, ...). Ради определенности остановимся на отыскании точки минимума функции [(х).
При этом мы будем предполагать, что выполнены следующие два условия: 1) функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] единственную точку минимума с; 2) при а<с функция [(х) убывает на сегменте [а, с] (т, е, убывает слева от точки минимума), а при с<Ь функция [(х) возрастает на сегменте [с, Ь] (т. е. возрастает справа от точки минимума).
Эти условия будут выполнены, например, в случае, если функция [(х) дна раза дифференцнруема на сегменте [а, Ь], причем 1'(с) =О, а [н(х) строго положительна на [а, Ь]. Однако для выполнения указанных двух условий дифферснцируемость [(х), вообще говоря, не требуется. Мы сейчас укажем алгоритм построения стягивающейся системы сегментов*, содержащих точку с минимума функции [(х). Остановимся на построении первого сегмента стягивающейся системы, имея в виду, что все последующие сегменты этой системы строятся по тому же принципу, что и первый ее сегмент. Разделим сегмент [а, Ь] при помощи точек а=хо, хь хе, хз и х4=Ь на четыре р а в н ы х частичных сегмента [х; ь х,] (г'=1, 2, 3, 4), Данный частичный сегмент [хг ь х;] договоримся называть сегментом убывания, если [(х; ~))[(х;), т.
е. если значение функции [(х) на левом его конце строго больше, чем на правом, н соответственно сегментом возрастания, если ,[(хг1)<[(х,), т. е. если значение функции [(х) на левом конце строго меньше, чем на правом. Так как функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] единственную точку минимума с, то указанная точка минимума с принадлежит одному из четырех частичных сегментов [х. ь х;].
Тот частичный сегмент [х; ь х;], которому принадлежит точка минимума с, можем являться либо сегментом возрастания, либо сегментом убывания, либо, наконец, сегментом, на концах которого функция [(х) имеет равные значения. " Определение и свойства стягивающейся системы сегментон см. н п. 2 $2 гл. 3. 289 Дополнение Кроме того, нз того, что по условию функция [(х) убывает слева от точки минимума с и возрастает справа от этой точки, вытекает, что если данный частичный сегмент содержит точку л|инимума с, го любой частичный сегмент, лежащий налево ог данного, является сегментом убывания, а любой частичный сегмент, лежащий направо от данного, является сегментом возрастанияя.
Но тогда можно утверждать, что тот частичный сегмент, кя. торый содержит точку минимума с, является либо самым правым сегментом убывания, либо самым левым сегментом возрастания, либо, наконец, частичным сегментом, на концах которого )(х) имеет равные значения. Сформулированное утверждение позволяет указать алгоритм построения первого сегмента [а|, Ь,) стягивающейся системы сегментов [аго Ь„], каждый из которых содержит точку минимума с. Рассмотрим четыре возможных случая.
1) Среди частичных сегментов [х| |, х;) есть сегмент, на концах которого 1(х) имеет равные значения. В этом случае этот сегмент содержит точку минимума с*, н мы примем его за первый сегмент [аь Ь|) стягивающейся системы. 2) Все частичные сегменты [х; |, х;) (|=1, 2, 3, 4) являются сегментами убывания. В этом случае точка минимума с лежит на самом пРавом из частичных сегментов, т.
е. на сегмецте [хз, х[], н мы примем этот сегмент за [аь Ьз]. 3) Все частичные сегменты [х| |, х|) (1=1, 2, 3, 4) являются сегментами возрастания. В этом случае точка минимума лежит на самом левом из частичных сегментов, т. е. на сегменте [хо, х|], н мы примем этот сегмент за [а|, Ь|]. 4) Среди частичных сегментов имеются как сегменты убывания, так и лежащие правее их сегменты возрастания. В этом случае можно утверждать, что точка минимума с лежит на объединении самого правого сегмента убывания и самого левого сегмента возрастания.
Указанное объединение двух частичных сегментов мы и примем за [а|, ЬД. Тем самым мы указали однозначный алгоритм построения первого сегмента [аь Ь~) нз стягивающейся системы сегментов ([ан, Ь,]). Второй сегмент этой системы [аз, Ьз) строится, отправляясь от [аь Ь|), точно так же, как сегмент [а|, Ь|] строился, отправляясь от [а, Ь]. По такому же принципу, отправляясь от и-го сегмента [а„Ь„), строится (и+1)-й сегмент стягивающейся системы. ' Точка минимума с не может лежать налево от частичного сегмента [х, ь л,:], на концах которого [(х) имеет равные значения, ибо при этом указанный сегмент является сегментом возрастания, Аналогично предположение о том, что с лежит направо от частичного сегмента, на концах которого [(х) имеет равные значения, привело бы к тому, что этот частичный сегмент является сегментом убывания. 290 Гл.
7. Исследование графика фуикции Ясно, что построенная система сегментов [[а„, Ь„)) является стягивающейся и, поскольку все эти сегменты содержат точку минимума с, обе последовательности правых концов [Ь„) этих сегментов и левых их концов [аа) сходятся к точке минимума с. Аналогично строится алгоритм отыскания точки максимума функции [(к), имеющей на сегменте [а, Ь1 единственную точку максимума с при условии, что эта функция возрастает слева от с прн с)а и убывает справа от с прн с<Ь.
Глава 8 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В этой главе мы изучим операцию, обратную по отношению к операции дифференцирования, т. е, займемся вопросом о восстановлении функции по известной производной этой функции. Изучение этого вопроса естественно приведет нас к понятиям первообразной и неопределенного интеграла (уже упоминавшимся в гл.
1). Откладывая до гл. 9 вопрос о существовании первообразнор( и неопределенного интеграла, мы изучим в настояшей главе важнейшие методы интегрирования и выделим классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции. й П ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОИ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Понятие первообразной функции. К числу важных задач механики относятся задача об определении закона движения материальной точки по заданной ее скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному ее ускорению ". Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
