ilin1 (947407), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Таким образом, 2 ОР= АР— А0=2гсова — —. 2 С другой стороны, РС=РР— ОК=г — ОК. Поэтому из рассмотрения прямоугольного треугольника ОРС следует, что ОС г — 01Г в!п а= — = ОО 2г ооа и —— 2 Таким образом, длина отрезка ОК, которую мы обозначим !" (а), равна 1 7(а) =г+ — в!па — гв!п2а. 2 Переходим к отысканию того значения угла а, которое доставляет минимум )(а). (Понятно, что мы можем ограничиться значениями угла а из первой четверти.) Так как 7'(а) = — сова — 2гсов2а= — сова+ 2г — 4гсов'а, 1 2 2 то стационарные точки находятся как решения квадратного уравнения 4г сов-' а — — сов сс — 2г = О.

2 Поскольку сова в первой четверти положителен, то нам пригоден только положительный корень этого уравнения 1'; Г Г+ ~и Оба,= (7.2) Хотя по смыслу задачи и ясно, что единственная стационарная точка ао ЯвлЯетсЯ точкой минимУма фУнкЦии 1(а), мы Установим это строго при помощи теоремы 7.2. Достаточно убедиться в том, что )а1(ао) )О. Поскольку 7Са1(а) = — — В!П а+ 4Г ян 2СС = 8Г З)П аа ( СОВ а — — ), 1 2 16г з 1. Отыскание стационарных точек то в силу (7.2) >'~( >=8 ~, (~ ъ — > = — "' > >~тта8Р)О.

1бс/ 2 Тем самым установлено, что положению равновесия стержня отвечает угол наклона его к плоскости, на которой стоит чашка, определяемый формулой (7.2). 2) Еше раз найдем точки эксртемума функции )Тх) = =х' — Зх' — 4, Стационарными точками этой функции, как мы уже видели выше, являются точки х=О и х=2. Так как )(т>(х) =бх — б ~(х>(0) = — 6(0, ~1х>(2) =6>0, то в силу теоремы 7.2 функция 1(х) имеет максимум в точке 0 и минимум в точке 2.

Экстремальные значения этой функции равны (аах=)(0) = — 4, (щ>п=((2) = — 8 б. Третье достаточное условие, экстремума. Установим еше одно достаточное условие локального экстремума, пригодное в случае, когда вторая производная функции в данной стационарной точке обрашается в нуль. Т е о р е м а 7.3. Пусть п=.-1 — некоторое нечетное число, и пусть функция у=((х) имеет производную порядка'и в некоторой окрестности точки с и производную порядка и+1 в самой точке с. Тогда, если выполнены соотношения ~'(с) =)1х>(с) = ... =~го>(с) =О, (1"+»(с)ФО, (7.3) то функция у=((х) имеет в точке с локальный экстремум, точнее, локальный максимум ири 11"+»(с) <О и локальный минимум при 7шч.»(с))0. Доказательство. Прн п=1 теорема 7 3 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7.2, так что нужно вести доказательство лишь при н счетно м пъЗ.

Пусть нечетное число и удовлетворяет условию п)3, и пусть ради определенности 1("+»(с))0. Докажем, что функция у=((х) имеет в точке с локальный минимум. Так как 11"+»(с) >О, то, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания функции в точке, функция 71':>(х) в о з р а от а е т в точке с. Но тогда, поскольку )1">(с) =О, можно утверждать, что всюду в достаточно малой окрестности точки с функция 11">(х) отрицательна слева от с и положительна справа от с.

Заметив это, разложим функцию 1'(х) в окрестности точки с по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см. 5 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между х н с найдется точка ц такая, что )а (с) а" > (с) 7'(х)=1'(с)+ — (х — с)+ ... + ' (х — с)" — '+ 11 (л — 2)1 268 Гл. 7. Исследование графика функции В силу соотношений (7.3) написанное разложение принимает внд (7.4) Выше мы установили, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная )оо(х) отрицательна слева от с н положительна справа от с.

Так как с лежит между х и с, то для всех х из достаточно малой окрестности точки с величина (ео(с) (а значит, в силу нечетности п и вся правая часть (7.4)) отрицательна слева от с и положительна справа от с. Итак, с помощью равенства (7.4) мы доказали, что производная Г'(х) для всех х из достаточно малой окрестности точки с отрицательна слева от с и положительна справа от с. В этой ситуации, в силу первого достаточного условия экстремума (т. е. теоремы 7.1), функция у=)(х) имеет в точке с локальный минимум. Случай 11"+п(с) <О рассматривается совершенно аналогично. Те же рассуждения и формула (7.4) в этом случае дают возможность заключить, что функция у=)(х) имеет в точке с локальный максимум. Теорема полностью доказана. 3 а м е ч а н и е.

Очень важным является требование н е ч с тн о с т и числа и в теореме 7.3, При ч е т н о м и и при сохранении всех остальных условий теоремы 7.3 никакого экстремума у функции у=)(х) в точке с не будет (см, по этому поводу теорему 7,10 из п. 5 э 3 этой главы). 6. Экстремум функции, недиффереицируемой в данной точке. Выше мы рассмотрели вопрос о наличии у функции )(х) экстремума в такой точке с, в которой функция 1(х) дифференцируема. В этом пункте мы изучим вопрос о наличии экстремума в точке с у такой функции, котозая недифференцируема в точке с, но дифференцируема всюду в некоторой окрестности справа и слева от с и, кроме того, непрерывна в точке с.

Оказывается, теорема 7.1 может быть обобщена на случай такой функции. Именно, имеет место следующее утверждение. Те о р е м а 7.4. Пусть функция 1(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная 7'(х) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (гюложительна) справа от точки с, то функция 1(х) имеет в точке с локальньчй максимум (лиьни.иулс).

Если же производная )" (х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. $1. Отыскание стапионарных точек Доказательство в точности совпадает с доказатель«1твом теоремы 7.1. Достаточно заметить, что условия теоремы 7.4 и на этот раз обеспечивают применимость к )(х) теоремы 6.4 Лагранжа по сегменту, ограниченному точками с и хо, где хо — любое число из достаточно малой окрестности точки с. П р н м е р ы. 1) Найти точки экстрелтума функции 1(х) = ~х~. Эта функция дифференцируема всюду на бесконечной прямой, кроме точки х=О, и непрерывна в точке х=О, причем производная !'(х) равна 1 при х)0 и равна — 1 при х<0.

Теорема 7.! к этой функции неприменима, а согласно теореме 7.4 она имеет минимум при х=О (рис. 7.4). Рис. 7.5 Рис. 7.4 2) Найти точни экстремума функции у=хт7а. Эта функция не. прерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема всюду иа этой прямой, за исключением точки х=О.

Производная при хФО равна 2 1 у з В предыдущем примере производная имела в точке х=О конечный скачок*, на этот раз производная имеет в точке х=О разрыв 2-го рода («бесконечный скачок»). Из выражения для производной заключаем, что эта производная отрицательна слева от точки х= 0 и положительна справа от этой точки. Значит, теорема 7.4 позволяет утверждать, что рассматриваемая функция имеет минимум в точке х=О (график рассматриваемой функции изображен на рис. 7.5). ' В том смысле, что эта производная хотя и не существовала в точке х=-с, ио имела в этой точке правое и левое предельные вначения, не совпадающие между собой.

'гл. 7. Исслелоаанне графика функции 3) Найти точки экстремума функции х при хчеО, 1+е О при х=О. У=1(х) =- Легко видеть, что функция непрерывна на всей бесконечной пря. мой, В самом деле, единственной «сомнительной» точкой явх ляется точка х=О, ио и в этой точке функция непрерывна, ибо 1)гпи=1ппу=О. х с+В х- о-о Далее, очевидно, что рассматриваемая функция дифференцируема на всей'бесконечной прямой, кроме точки х=О. Всюду, кроме этой точки, производная определяется формулой 1 1 .т 1+е + — е х у 1 (1+ е )' Легко видеть, что предел 1пп 1(х) — 1(0) 1 = 1(гп, не сушех о х х-ю 1+с ствует, так что функция у=)(х) недифференцируема в точке х=б. Поскольку производная у' положительна и слева„и справа от точки х=О, рассматриваемая функция согласно теореме 7А- не имеет экстремума в точке х=О, а значит, и вообще не имеет экстремумов. (График рассматриваемой функции изображен на рис.

7.6.) Рис. 7.6 Рис. 7.7 7. Общая схема отыскания экстремумов. Переходим к общей схеме отыскания точек локального экстремума. Предположим, что функция 1'(х) непрерывна на интервале е (а, Ь) и ее производная " Вместо интернала (а, Ь) можно рассматривать бесконечную прямую нлв открытую полупрямую. 27| $2. Выпуклость графика функции 7 (х) существует и непрерывна на этом интервале всюду, кроме кОнечного числа точек. Кроме того, предположим, что производная 7'(х) обращается в (зуль на интервале (а, Ь) не более чем в конечном числе точек. Ийыми словами, мы предполагаем, что на интервале (а, Ь) имеется лишь конечное число точек, в которых производная ~'(х) не существует или обращается в нуль. Обозначим эти точки символами х|, хь ..., х„(а<х| <ха« ... х„<Ь), В силу сделанных предположений производная 7'(х) сохраняет постоянный знак на каждом из интервалов (а, х|), (х|, ха),..., (х„, Ь), Значит, вопрос о наличии экстремума в каждой из точек х|, хз, ...,х„может быть решен (в утвердительном или отрицательном смысле) при помощи теоремы 7.4.

й 2. выпуклость ГРАФикА Функции Предположим, что функции 7(х) днфференцируема в любой точке интервала (а, Ь). Тогда„как установлено в п. 3 5 1 гл. 5, существует касательная к графику функции у=Цх), проходящая через любую точку М(х, 7(х)) этого графика (а<х<Ь), причем эта касательная не параллельна * оси Оу. Определение.

Будем говорить, что график функции у= =7(х) имеет на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже |не выше) любой своей касательной. 3 а м е ч а н и е 1. Термин «график лежит не ниже (или не выше) своей касательной» имеет смысл, ибо касательная не параллельна оси Оу. Рис.

Характеристики

Список файлов книги