ilin1 (947407), страница 51
Текст из файла (страница 51)
«-~ о х / Замечание 2. Если к условиям теоремы 6.9 добавить требование непрерывности производных !'(х) и л'(х) в точке а, то при условии у'(а) чьО соотношение (6.20) можно переписать в виде 1ип — =-— !(х) !'(о) «а я(х) я (о) Замечание 3. Если производные !'(х) и у'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции !(х) и д(х), то правило Лопиталя можно применять повторно, т. е. предел отношения первых производных функций !(х) и д(х) можно заменить пределом отношения вторых производных этих функций. Мы получим прн этом, что !ип — = Нгп =!ип !(х) .
р(х) . !" (х) х е я(х) «-~е д'(х) «е В"(х)' Примеры, 1) !ип, =- 1 оп = — ° «,о х««о 2х 2 2) Следующий предел вычисляется двукратным применением правила Лопиталя: 11 . =- (ип — г — 1!т х — Бгп х ° 1 — Го! х 5!н х 1 о !««~о Зхг «о 6х 6 238 Гл, б. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 4хв = 1пп 2х — 2 Мп х хео 12хв 1пп хх =Ил х о хо+ 2совх — 2 к-ео 2 — 2 стих 24х = Пгп — = 12. х о 2ыпх Мы рассмотрели вопрос о раскрытии неопределенности вида Π— для случая предела в точке а.
Совершенно аналогичные О результаты справделивы и для случаев предела в точке а справа [слева], предела при х- оо, а также предела при х-т-+оо [при х- — оо]. Мы сейчас убедимся в том, что теорема 6.9 остается справедливой в каждом нз следующих т р е х с л у ч а е в: 1) в случае, если в этой теореме в качестве множества С, взять интервал (а, а+6) [соответственно (а — б, а)], а все пределы (6.17) — (6.20) взять при х- а+0 [соответственно при х-иа — О]; 2) в случае, если в теореме 6.9 в качестве С, взять множество всех точек, лежащих вне сегмента [ — б, б], а все пределы (6.17) — (6.20) взять прн х — иоо; 3) в случае, если в теореме 6.9 в качестве множества С, взять полупрямую (б, +со) [соответственно ( — оо, — 6)], а все пределы (6.17) — (6.20) взять при х- +со [соответственно прн х — — оо].
С л у ч а й 1. В этом случае остается справедливой вся схема доказательства теоремы 6,9, только вместо последовательности ,[х„'), сходящейся к а и состоящей из чисел х„отличных от а, следует взять последовательность (х ] точек интервала (а, а+6) [соответственно (а — б, а)], сходящуюся к а, Детали рассуждений предоставляем читателю. С луча й 2. Пусть функции 1'(х) и я(х) определены и дифференцируемы всюду вне сегмента [ — 6, 6] прн некотором 6>0 и производная й'(х) не обращается в нуль вне указанного сегмента.
Путь, кроме того, существует предел Пт— р(х) х ФФ и (х) (6.18') 1 1 Сделаем замену переменной 1 = — и положим О(1) =А'] — ~1 = х )— /1) =д(х), Е(1) =- Г [ — ) = 7(х). Тогда, очевидно, функции г"(1) и 6(1) будут определены и дифференцируемы в проколо- 3) Трехкратным применением правила Лопиталя вычисляется предел 239 $ 6.
Раскрытие неопределенностей той — -окрестности точки 1=0 " и производная 1 6 6' (1) = и' ~ — ) ( — —;-) = и' (х) ( — х') ! — -ок- 6 не будет обращаться в нуль в указанной проколотой рестности. Кроме того, в силу существования предела (6.18') существует предел Но тогда в силу теоремы 6.9 существует и предел 1 — ',~ 1ип =1ип, ', =!ип, (6.24) о 6(Г) ! о ( 1 ) х а(х) ' причем справедливо соотношение (6.20), принимающее (в силу (6.23) н (6.24)) вид хо 6хо 1ип = ! ип,, = 1ип бхо — ' (1+х) = О. х ото 1п(1 + х) х-то+о ( 1 ! х о+о 'т 1+х / 1 1 ' Т. е, всюду в интервале — — ~ 1 ( †, аа нснлюченнем точки !=О.
6 6' 1!гп 1(х) . Р(т) . Р'(1) . !'(х) =-1ип = 1'ип = 1ип— х-+ ч К(х) т.то о(1) т о Й (т) х ч я'(х) Рассмотрение случая 2 завершено. С л у ч а й 3. В этом случае действует та же замена 1= —, 1 х что и в случае 2, однако на этот раз эта замена сводит рассмотрение предела при х — + оо(х - — оо) к пределу при 1-+.0+011- 0 — 01, рассмотренному в случае 1. Детали рассуж- дений предоставляем читателю, хо П р и м е р ы. 1) Вычислить !ип (для любого х о+о 1п(1+х) 6>1). Этот пример относится к случаю 1.
Применяя правило Лопиталя, получим 246 Гл. 6. Осиовиые теоремы о лиффереицируемых функциях Я 1 — — агс!я (1 — — ) 4 х, 2) Вычислить 1пп 1 а!ив х (этот пример отно- сится к случаю 2). Применяя правило Лопиталя, получим Я / 1 — — агс!и ( 1 — — ) 1цп 4 х «-«ь а1в— х = 1(пт ! со«в х если 1ип 7 (х) = оо, 1пп сг (х) = оо'. (6.26) Для' раскрытия этой неопределенности, т. е. для вычисления предела 1пп —, справедливо утверждение, полностью анало/(х) «-«в у(х) гичное теореме 6.9. Теорем а 69« (второе правило Лопнталя).
Пусть множество С, представляет собой проколотую Ь-окрестность точки а, функции !(х) и д(х) определены и дифференцируемы на С, и, кроме того, производная у'(х) не обращается на Са в нуль. Пусть, далее, 1нп 7'(х) = оо, 1!птй(х) = оо. (6.17') Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел (6;18') «-нз Я (х) то существует и предел 1(пг — ' 1(х) «-««и (х) (6.19') * Вместо «с в (625) может стоять +со или — со.
2. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что отношение двух определенных в окрестности точки а функций 1(х) и д(х) представляет собой при х- а неопределенность вида 5 6. Рвскрьжие неопределенностей 241 причем справедливо соотношение 1пп — = 1пп— Дх) . Р(х) (6. 26л) к-та я(х) «-+а И (х) Доказательство. 1) Предположим, сначала, что существует конечный предел (6.18*), равный числу Ь. Докажем, что в этом случае существует предел (6.19*), также равный числу Ь. Пусть (х„) — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а либо справа, либо слева *.
Так как все элементы этой последовательности принадлежат множеству С„то, каковы бы ни были два элемента этой последовательности х и х, для функций [(х) и д(х) выполнены на сегменте (х „, х„) все условия теоремы Коши 6.8. По этой теореме между х и х„найдется точка $ „такая, что справедливо равенство [(хм) 1— 1(хл) — У(хл) Д«л) [(хл) У'(Ьлл) и(хл) — е(х,л) [е(хл) я(хм) я'($~л) я(хл) Из этого равенства заключаем, что 'е(х ) Ихл) ['(В ) я(х«) (6.26) я(хл) а'Я,лл) 1 [(«ж) ', [(хл) Фиксируем теперь произвольное положительное число е.
Так как по условию 1ип — = Ь, а последовательность (х ) схо['(х) «-ц~ е'(х) е дится к а, то для положительного числа — можно фиксировать 2 такой номер и, что для любого номера и, превосходящего пт„ будет выполняться условие ** = Ь+ ссмл, где [а,„„[( —. (6.27). Далее заметим, что в силу условий (6.17*) 1пп ~(х„) '= оо, 1пп8(х,)= оо, а поэтому, поскольку номер т фиксирован„ л-«а существует равный единице предел е (х,„) 1 —— 11т и(") 1 ныл 1 й ~т) Е(хл) .
ла — *« .у лг все х„)а, либо все к а.а. *л Мы Учитываем, что 1мл внключено междУ х и х„. 242 Гл. 6. Основные теоремы о днфференцируемык функцняк Это означает, что для положительного числа и для е/2 | Ь 1 + е/2 фиксированного нами номера т найдется превосходящий его номер по такой, что при всех п~ и, и( х,„) | Ь! + а/2 ~~ ") =1+ р „, где ||1 „|< ', (6.28) /( а) Из соотношений (6.26), (6.27) и (6.28) вытекает, что — ") =(Ь+са )(1+|1 „)=Ь+(Ь+а „)р „+се „. я(ха) Значит, справедливо неравенство — Ь~ < (|Ь! +|аам |) | ра,„|+|и,„„| .
Ы(ха) Учитывая неравенства, стоящие в условиях (6.27) и (6.28), мы получим, что при всех п)пе (|Ь|+ |се „|). |р „|+ |а „|< / |Ь(-|- — ) .(- — "' =-в. 2 / |Ы+а/2 2 Итак, для произвольного фиксированного нами а>0 мы нашли номер по~та такой, что при всех и) и, ~ —,","„"', — Ь|<' Это и означает, что предел (6.19*) равен числу Ь и справед- ливо соотношение (6.20а). Таким образом, для случая конечно- го предела (6.18*) теорема доказана. 2) Пусть теперь предел (6.18') равен оо. Тогда, очевидно, предел обратного отношения 11гп ~ " будет равен нулю и по »-»а / (Х) только что рассмотренному нами случаю конечного предела (6.18*) мы получим, что а 1пп — = О. а(х) х-»а /(Х) Последнее соотношение с учетом (6.17*) эквивалентно тому, что 1(щ — = оо, /(х) к- д(х) Теорема 6.9" полностью доказана. * Мы учитываем, что для обратного отношения выполнены все условия теоремы 6.9'.
В частности, производная Г(х) пе обращается в нуль в достаточно малой проколотой Ь.окрестности точки а. (Это вытекает из существования равного са предела (6.26') и из необращения в указанной проколотой 4-окрестности производной а'(х).) 24В $ 6. Раскрытие иеопрепелепиостей Так же как и теорема 6.9, теорема 6.9* остается справедливой в каждом из следующих трех случаев: 1) в случае, если в этой теореме в качестве множества С, взять интервал (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)), а все пределы (6.17*) — (6.20*) взять при х-иа+О [соответственно при х- а — 01; 2) в случае, если в качестве множества С, взять совокупность всех х, лежащих вне сегмента [ — б, 6), а все пределы (6.17*)— (6.20*) взять прн х-е- оо; 3) в случае, если в качестве множества С, взять полупрямую* (6, + оо) [соответственно ( — оо, — 6)1, а все пределы (6.17*)— (6.20«) взять при х- + оо [соответственно при х-к- — оо|.
Обоснование справедливости теоремы 6.9* в этих трех случаях может быть заимствовано из предыдущего пункта. Примеры. 1) !пк Игп )/х !пх = 1'пп к е+е «-,е+е к' "' 1пп = — 211ш~/х = О. к е+е ~ ) .— За кое+а 1 2 2) и-кратным применением правила Лопиталя вычисляетсж предел .»" . и»к ' . и(и — 1)»" ' . и1 1пп — .=- 1пп — = 1!ш = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
