ilin1 (947407), страница 46
Текст из файла (страница 46)
и (х) Из (542) и (5.43) получим, что — =о'(х)1пи(х)+ п(х)— р и'(х) р и (х) Учитывая, что у=и(х) а<х>, окончательно получим следующеевыражение для производной степенно-показательной функции; (и (х)'1'>)' =и (х)'"> [и' (х) !пи (х) + п(х) — 1. (5.44) и(х) 1 Формула (5.44) справедлива в предположении, что и(х) н п(х) дифференцируемы в данной точке х и и(х) >О в этой точке. (5.43) й 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ а Для обозначения второй производной используют также символм млн у".
1. Понятие производной и-го порядка. Как уже отмечалось в и. 2 3 1, производная 1'(х) функции у=((х), определенной и дифяреренцируемой на интервале (а, Ь), представляет собой функцию, также определенную на интервале (а, Ь). Может случиться, что функция 1'(х) сама является дифференцируемой в некоторой точке х интервала (а, Ь), т. е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют в т о р о й и р о и з в о д н о й (или производной второго порядка) функции у= — 1(х) в точке х и обозначают символом [1Я>(х) или у!Я> а.
После того как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т. д. Если предположить, что нами уже введено понятие (и — 1)-й производной и что (и — 1)-я производная дифференцнруема в некоторой точке х интервала (а, Ь), т. е. Гл. о. Дифференциальное исчисление 214 имеет в этой точке производную, то указанную производную называют п-й производной (или производной и-го порядка) функции у=((х) в точке х и обозначают символом )>о>(х) или у>в>. Таким образом, мы вводим понятие и-й производной индуктивно, переходя от первой производной к последующим.
Соотношение, определяющее и-ю производную, имеет вид у!а> (у(а — ») т (5.45) Функцию, имеющую на данном множестве (х) конечную производную порядка и, обычно называют и раз дифференцнруемой на данном множестве. Понятие производных высших порядков находит многочисленные применения. Здесь мы ограничимся тем, что укажем механический смысл второй производной. Если функция у=)(х) описывает закон движения материальной точки вдоль осн Оу, то, как мы уже знаем из гл, 1, первая производная Г'(х) дает мгновенную скорость движущейся точки в момент времени х. В таком случае вторая производная 1<з>(х) равна скорости изменения скорости, т.
е, равна ускорению движущейся точки в момент времени х. Методика вычисления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только производные первого п о р я д к а, ибо последовательное применение формулы (5.45) есть не что иное, как многократное вычисление первых производных. В качестве примеров вычислим производные и-го порядка некоторых простейших элементарных функций.
2. и-ые производные некоторых функций, 1'. Вычислим п-ю производную степенной функции у =х (х>0, а — любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, будем иметь у'=ах ', уа>=а(а — 1)х'-Я„у<в>=а(а — 1) (а — 2)х' ', .... Отсюда легко уяснить общий закон (ха)>л> а (а ]) (а п.) 1) хо — в ~ ! Строгое доказательство этого закона легко проводится методом математической индукции. В частном случае а=>и, где и — натуральное число, получим (Хю)1 >=па!, (Х )ги>=(> Прн И>ит. Таким образом, п-я производная многочлена и-го порядка при п>ги равна нулю"'.
а Прн атом мы используем следуюгцую очевидную формулу: (Аи(х) + +Во(х)]"=Ан>'>(х)+Во>">(х), где А и  — постоянные. $6. Производные и дифференциалы вывших порядков 216 2'. Далее вычислим л-ю производную показательной функции у=а". Последовательно дифференцируя, будем иметь у'=а"!пх, у(а!=а"!пех, уы(=а'!пва, .... Общая формула, легко устанавливаемая по методу индукции, имеет внд (ая)(Ю =- а' 1и" а.
~ !я— В частности, (ех)(ш ея ~ ! 3'. Вычислим л-ю производную функции у=-з!их. Первую производную этой функции можно записать в виде у' = соз х =- в!и (х + — 1. Таким образом, дифференцирование 2 / функции у=з!их прибавляет к аргументу этой функции величину — Отсюда получаем формулу ,2 ! ( -('= (*~ — "(. ! 2 / 4'. Совершенно аналогично устанавливается формула ( е = (*~ — '(./ 2 / 5'. Вычислим л-ю производную функции у=агс!их. Докажем с помощью метода математической индукции, что справедлива следующая формула: (агс1их)(я(= ~ абп (л(агс1йх+ — )1. (5.46) (1 ! хе)л/а 2 / Учитывая, что у=агс!дх, х=!яу, 1 1 = соз'у, мы 1 + х' 1 + (аа у, можем переписать устанавливаемую формулу в виде у(е( = (л — 1) ! соз" у з! и ~ и ( у + — ) 1, (5.46*) 2 / Убедимся методом индукции в справедливости формулы (5.46*).
При л=1, в силу п. 3 $5, у'=(агс!як)'= — =савау.То же ! 1+х' самое выражение получается при л=1 из (5.46*) (достаточно учесть, что з!и ! у+ — 1! =сову). 2 / Таким образом, ири л= 1 формула (5.46е) справедлива. 2(б Гл. б. Дифференциальное исчисление Предположим теперь, что формула (5.46е) справедлива для некоторого и', и убедимся, что в таком случае зта формула справедлива н для следующего номера п+1. В самом деле, производя дифференцирование (5.46е), получим у(о+и = (и — 1) ! — ( соз" у з(п ~ и ~ у + — ") ~ ~ = = (л — 1)! — ~сж" уз(п ~л (у+ —.) ~ ~ — ~ = = (и — 1) ! ~ — (созе у) з)п ~ и ( у + — ~ ~ + 1~ + соз" у — ~з!пи (у + — ") 11'у'.
учитывая, что у'=соилу, — (соз" у)=леон" — 'у( — з!пу), мы поар лучнм, что у(а+П = Л ! Севе+4 у ~ — З(П у З(П ~ Л (у + — ) ~ + СОЗ у СОЗ ~и ~у + — ) Д = = л! сои+' у соз ~ (и + 1) у + л — 1 = и ! сов+' у з(п ~ (и + 1) ( у + — ) 1. 2 ] 2 / Мы получаем для у("+и формулу вида (5,464), взятую для номера л+1. Тем самым индукцня завершена и формула (5.46) доказана. 6'. В заключение вычислим п-ю производную так называемой ах+ Ь дробно-линейной функции у= , где а, Ь; с и 4!— ох+а некоторые постоянные.
Последовательно дифференцируя зту функцию, будем иметь а(ох+ Н) — с (ах+ Ь) (сх+ а)' уа> = (ас( — Ьс) ( — 2) (сх+ 4() — ес, уа>= (а4( — Ьс) ( — 2) ( — 3) (ах+4!) — 4сл Легко усмотреть и общий закон ! У(м = ( ах + ь ) ( ) = ( 1 — Ь ) ( — 1) -3 и! ( х+ с()-( +и 4 (сх+а / который доказывается по методу индукции. 3. Формула Лейбница для и-й производной произведения двух функций. В то время как установленное выше правило вычисления 4 6. Провзводвые в двфферендввлы высших порядков 217 первой производной от суммы или разности двух функций (и-еп)'=и'-> и' легко переносится (например, по методу индукции) на случай л-й производной (ис-в)!">=и!">+.о<л>, возникают затруднения при вычислении и-й производной от произведения двух функций и о.
Соответствующее правило носит название формулы Лейбница и имеет следующий вид: (ио)(л> и!л>п ( С>и>л-пп' ! Сеи!л — х>о!д> ! С~и>л — з>пн> .(, + ип>о> (5.47) Легко подметить закон, по которому построена правая часть формулы Лейбница (5.47): она совпадает с формулой разложения бинома (и+о)о, лишь вместо степеней и н о стоят производные соответствующих порядков. Это сходство становится еще более полным, если вместо самих функций и н о писать соответственно и<о> н о<о> (т. е. если рассматривать саму функцию как производную нулевого порядка).
Докажем формулу Лейбница по методу индукции. Прн л=1 эта формула принимает внд (ио)'=и'п+ип', что совпадает с установленным выше (в $ 4) правилом дифференцирования произведения двух функций. Поэтому достаточно, предположив сира. ведливость формулы (5.47) для некоторого номера л, доказать ее справедливость для следующего номера л+1. Итак, пусть для некоторого номера л формула (5.47) верна. Продиффсренцируем эту формулу и объединим слагаемые, стоящие в правой части, так, как это указано ниже: (ио)!"+'> = и!"+пи+ ]Сли!">п'+ Спи!л>п'] + [Сли!" нп>в> + Сли!и пп>я>]+ + ]Спи!л — х>о>в> ! Сли!л — я>п>з>] ! ио>о+и (5 45) (При этом мы воспользовались тем, что 1=С„о.) Легко проверить, что для любого номера л, не превосходящего л, справедлива формула С."+ С'„-' = С„'+,.
(5А9) Для того чтобы убедиться в справедливости формулы (5.49), достаточно заметить, что д л (л — 1) ... (л — л -)- 1) в †! л (л — 1) ...(л — л + 2) ы , С„ (л — 1)! Се (л+ 1) л ... (л — л+ 2) С„+6= л! Из написанных соотношений вытекает, что Се Св > л(л — 1) ... (л — д+ 1) л(л — 1) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
