ilin1 (947407), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так как множество (х„) является подмножеством (х), то тем более нельзя из всякой системы открытых множеств, образующих покрытие (х), выделить конечную подсистему, такж~ образующую покрытие (х). Но это противоречит нашему предположению о множестве (х). Т)олученное противоречие доказывает ограниченность множества (х). Заметим в заключение, что все введенные в этом параграфе понятия в более общей ситуации изучаются в дополнении 2 к гл. 12.
Глава б ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В настоящей главе будут введены фундаментальные понятия производной и дифференциала функции. Мы установим основные правила дифференцирования и вычислим производные всех простейших элементарных функций, уже приведенные нами 'в гл. 1 н известные из школьного курса. В конце главы будут рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков и вопрос о дифференцировании функции, заданной параметрически. б Ь ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1. Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности. Рассмотрим функцию у=)(х), заданную на интервале (а, Ь)е. Пусть х — любая фиксированная точка интервала (а, Ь), а Лх — произвольное число, настолько малое, что значение х+Лх также находится на интервале (а, Ь). Это число Лх обычно называют приращением аргумента.
П р и р а и( е н и ем ф у н к ц и и у=)(х) в точке х, отве«ающизе приращению аргумента Лх, будем называть число Лу = ) (х+ Лх) — ((х) . (5.1) Так, для функции у=з(пх приращение в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, имеет внд Лу=яп(х+ Лх) — з(пх=2соз (х + — ) з(п —. (5 2) Дх ~ . Дх 2 ) 2 Справедливо следующее у т в е р ж д е и и е: Для того чтобы функция у=)"(х) являлась непрерывной в точке х, необходимо и достаточно, чтобы приращение Лу этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, являлось бесконечно мальгм при Лх- О.
В самом деле, по определению функция у=)(х) непрерывна в точке х, если существует предел 1нп ~(х+ Лх) =((х). (5 3) ал- о В силу п. 4 $ 4 гл. 3 существование предельного значения (5.3) ь В качестве множества задания функции вместо интервала (а, Ь) можно взять любое плотное в себе множество (л) (см. гл, 2, й 5, п. 3). Гл. В. дифференциальное исчисление эквивалентно тому, что функция (Ц(х+Лх) — 1(х)1 аргумента Лх является бесконечно малой при Лх-»0. Доказанное утверждение позволяет выразить условие непрерывности функции у=((х) в точке х в следующей форме: функция у=)(х) непрерывна в точке х, если приращение Лу. этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, является бесконечно малым при Лх-+-О, т. е.
если (5.4) 1пп Лу=1пп [1(х+ Лх) — ~(х)1 = О. ах-ьо ах-~о Условие (5.4) мы будем называть р а з н о с т н о й ф о р м о й условия не п р е р ы в ности функции у=1(х) в точке х. Это условие мы будем неоднократно использовать в дальнейшем. С помощью условия (5.4) еще раз убедимся в том, что функция у=з(пх непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Вх 1 В самом деле, из формулы (5.2), из условия ~сов(х+ — ~ ~( ах < 1 и из равенства 1пп з(п — = 0 непосредственно вытекает, д»ьо 2 что 1пп Лу=О. а о 2. Определение производной.
Пусть, как и в и. 1, функция у=1(х) определена на интервале (а, Ь), х — фиксированная точка этого интервала, Лх — любое приращение аргумента, настолько малое, что число х+Лх также принадлежит интервалу (а, Ь). Считая, что Лх-ФО, рассмотрим в данной фиксированной точке х отношение приращения Лу функции у=1(х) в этой точке и соответствующему приращению аргумента Лх: оу 1(х+ Лх) — 1(х) (5.5) Лх ах Отношение (5.5) будем называть р аз постным отношением (в данной точке х). Так как х фиксировано, разностное отношение (5.5) представляет собой функцию аргумента Лх.
Эта функция определена для всех значений аргумента Лх, принадлежащих некоторой достаточно малой б-окрестности точки Лх=О, за исключением самой точки Лх=О, т. е. определена всюду в достаточно малой проколотой б-окрестности точки Лх=О. Это дает нам право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Лх-»0. Определение 1. Производной функции у=1(х) в данной фиксированной точке х называется предел при Лх- 0 разностного отношения (5.5) (при условии, что этот предел сущестеуег). Производную функции у=((х) в данной фиксированной точке х будем обозначать символом )х(х) или у'(х) или кратким символом у'. $ 1.
Понятие производной Итак, по определению 1'(х) =1(ш — = 1пп ' + ах-о ах ах о Лх Если функция имеет производную для всех точек х интервала (а, Ь), то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на интервале (а, Ь). Приведем два тривиальных примера вычисления производныхе 1'. )(х) =С=сопз1. Совершенно очевидно„ что производная ('(х) втой функции тождественно равна нулю, ибо приращение этой функции Лу=((х+Лх) — ((х) равно нулю для всех х и всех Лх. 2'. ((х) =х. Для этой функции разностное отношение (5.5р равно ЛВ (х+ ах) — х Лх Лх Лх Лх Отсюда следует, что и производная указанной функции равна единице в любой точке х бесконечной прямой. В полной аналогии с понятиями правого и левого пределов функции в данной точке вводятся понятия п р а в о й и л е в о й производных функции у=((х) в данной фиксированной точке х.
Определение 2. Правой (левой] производной функции у=('(х) в данной фиксированной точке х называется правый (левый) предел разностного отношения (5.5) в точке Лх=0 (при условии, что этот предел существует). Для обозначения правой (левой) производной функции в точке х используют символ ('(х+О) (('(х — О)(. Из сопоставления определений 1 и 2 и из свойства правого и левого пределов функции, установленного в и.
2 Э 4 гл. 3*, вытекают следующие утверждения: 1) если функция ((х) имеет в точке х производную ('(х), то эта функция имеет в точке х как правую, так и левую производные, причем 1'(х+О) =1'(х — О) =('(х); 2) если функция ((х) имеет в точке х как правую, так и левую производные, причен эти производные разнос друг другу, то функция ((х) имеет в точке х производную ('(х), причем ('(х) =('(х+О) =-)'(х — О). В дополнение к утверждению 2) следует отметить, что если у функции 1(х) существуют правая и левая производные в точке х. но эти производные не равны друг другу, то у этой функции не * Если функция ((х) имеет в точке х и правый, и левый пределы, обо равные одному н тому же числу Ь, то функция 1(х) имеет в этой точке предел, равный числу Ь.
192 Гл. 5. Г«ифферен««иальное исчисление существует производной в точке х". Примером такой функции может служить функция хприх>О, ( — х при х( О. Эта функция имеет в точке х=О правую производную, равную Лх ( — Лх) 1пп — = 1, и левую производную, равную 1пп = — 1, лх-«О ах ьх о Лх но не имеет в точке х=О производной, 3. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции у=у(х), определенной и непрерывной на интервале (а, Ь). Фиксируем произвольу ную точку х интервала (а, Ь) и рассмотрим прис ращение ЛхФ-.О аргумен- та х, настолько малое, и л«) т«х'лх)-Г«' ) что число х+Ьх также принадлежит интервалу Ах (а, Ь). Пусть М и Р— точки графика функции )«о р«ах) у=((х), абсциссы кото- 0 в х хлхь х рык соответственно рав- ны х и к+ах (рис.
5.1). Рис. 5.1 Координаты точек М и Р, очевидно, будут иметь вид М (х, 1(х)), Р(к+бах, ~(х+Лх)). Прямую, проходящую через точки М н Р графика функции у=1(х), будем называть секущей. Поскольку точку М мы предполагаем фиксированной, то угол наклона каждой секущей МР к осн Ох будет функцией аргумента Лх (ибо значение Лх однозначно определяет точку Р графика функции у —.-Г(х)).
Обозначим указанный угол наклона секущей МР к оси Ох символом ф(бх), О п р ед ел е н не, Если существует предельное положение секущей МР при стремлении точки Р графика функции к точке М (или, что то же самое, при стремлении Лх к нулю), то это предельное положение называется касательной к графику функции у=)(х) в данной фиксированной точке М этого графика, Из этого определения следует, что для существования касательной к графику функции у=1(х) в точке М достаточно, чтобы существовал предел 1пп р(ах)= «р„ причем указанный предел ьх-~о «ро равен углу наклона касательной к оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
